Близость пространства

В топологии пространство близости , также называемое пространством близости , представляет собой аксиоматизацию интуитивного понятия «близости», которое придерживается множества, в отличие от более известного понятия «точка-множество», которое характеризует топологические пространства .

Эта концепция была описана Фриджесом Риссом ( 1909 ), но в то время игнорировалась. Оно было переоткрыто и аксиоматизировано В. А. Ефремовичем в 1934 году под названием бесконечно малого пространства , но опубликовано только в 1951 году. Тем временем А. Д. Уоллес ( 1941 ) открыл версию той же концепции под названием разделительного пространства .

Определение

Пространство близости $(X,\delta )$ это набор $X$ с отношением $\delta$ между подмножествами $X$ удовлетворяющий следующим свойствам:

Для всех подмножеств $A,B,C\subseteq X$

1. $A\;\delta \;B$ подразумевает $B\;\delta \;A$
2. $A\;\delta \;B$ подразумевает $A\neq \varnothing$
3. $A\cap B\neq \varnothing$ подразумевает $A\;\delta \;B$
4. $A\;\delta \;(B\cup C)$ подразумевается ( $A\;\delta \;B$ или $A\;\delta \;C$)
5. (Для всех $E,$ $A\;\delta \;E$ или $B\;\delta \;(X\setminus E)$) подразумевает $A\;\delta \;B$

Близость без первой аксиомы называется квазиблизостью (но тогда аксиомы 2 и 4 должны быть сформулированы двусторонне).

Если $A\;\delta \;B$ мы говорим $A$ рядом $B$ или $A$ и $B$ являются проксимальными ; иначе мы говорим $A$ и $B$ находятся отдельно . Мы говорим $B$ является проксимальным или $\delta$ окрестности - $A,$ написано $A\ll B,$ тогда и только тогда, когда $A$ и $X\setminus B$ находятся отдельно.

Основные свойства этого отношения близости множества, перечисленные ниже, обеспечивают альтернативную аксиоматическую характеристику пространств близости.

Для всех подмножеств $A,B,C,D\subseteq X$

1. $X\ll X$
2. $A\ll B$ подразумевает $A\subseteq B$
3. $A\subseteq B\ll C\subseteq D$ подразумевает $A\ll D$
4. ( $A\ll B$ и $A\ll C$) подразумевает $A\ll B\cap C$
5. $A\ll B$ подразумевает $X\setminus B\ll X\setminus A$
6. $A\ll B$ подразумевает, что существует некоторый $E$ такой, что $A\ll E\ll B.$

Пространство близости называется разделенным, если $\{x\}\;\delta \;\{y\}$подразумевает $x=y.$

Карта близости или проксимальная карта - это карта, которая сохраняет близость, то есть с учетом $f:(X,\delta )\to \left(X^{*},\delta ^{*}\right),$ если $A\;\delta \;B$ в $X,$ затем $f[A]\;\delta ^{*}\;f[B]$ в $X^{*}.$ Эквивалентно, карта является проксимальной, если обратная карта сохраняет проксимальную окрестность. В тех же обозначениях это означает, что если $C\ll ^{*}D$ держится $X^{*},$ затем $f^{-1}[C]\ll f^{-1}[D]$ держится $X.$

Свойства

Учитывая пространство близости, можно определить топологию, полагая $A\mapsto \left\{x:\{x\}\;\delta \;A\right\}$ быть оператором замыкания Куратовского . Если пространство близости разделено, результирующая топология будет Хаусдорфовой . Карты близости будут непрерывными между индуцированными топологиями.

Результирующая топология всегда полностью регулярна . Это можно доказать, подражая обычным доказательствам леммы Урысона , используя последнее свойство проксимальных окрестностей для создания бесконечной возрастающей цепи, используемой при доказательстве леммы.

Для компактного хаусдорфова пространства существует уникальная близость, соответствующая топология которой является данной топологией: $A$ рядом $B$ тогда и только тогда, когда их замыкания пересекаются. В более общем смысле, близости классифицируют компактификации вполне регулярного хаусдорфова пространства.

Единое пространство $X$ индуцирует отношение близости, объявляя $A$ рядом $B$ тогда и только тогда, когда $A\times B$ имеет непустое пересечение с каждым окружением. Тогда равномерно непрерывные отображения будут проксимально непрерывными.

См. также

• Пространство Коши - Концепция общей топологии и анализа
• Пространство сходимости - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Претопологическое пространство - Обобщенное топологическое пространство.

Ссылки

• Ефремович, В. А. (1951), "Бесконечно малые пространства", Доклады Академии наук СССР , Новая серия, 76 : 341–343, MR   0040748
• Наимпалли, Сомашехар А.; Варрак, Брайан Д. (1970). Пространства близости . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 59. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-07935-7 . Збл   0206.24601 .
• Рисс, Ф. (1909), «Непрерывность и абстрактная теория множеств», Рим. 4. Матем. 2 : 18–24, ЖФМ   40.0098.07.
• Уоллес, AD (1941), «Пространства разделения» , Ann. математики. , 2, 42 (3): 687–697, doi : 10.2307/1969257 , JSTOR   1969257 , MR   0004756.
• Вита, Люминита; Бриджес, Дуглас (2001). «Конструктивная теория близости точек». CiteSeerX   10.1.1.15.1415 .

Внешние ссылки

• «Пространство близости» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]