Низкоразмерная топология

Трехмерное изображение утолщенного узла-трилистника , простейшего нетривиального узла . Теория узлов является важной частью низкоразмерной топологии.

В математике или, в более общем смысле , низкоразмерная топология — это раздел топологии , изучающий многообразия топологические пространства четырех или менее измерений . Типичными темами являются структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий , теория узлов и группы кос . Это можно рассматривать как часть геометрической топологии . Его также можно использовать для обозначения изучения топологических пространств размерности 1, хотя чаще это считается частью теории континуума .

История

Ряд достижений, начавшихся в 1960-х годах, привели к подчеркиванию малых размерностей в топологии. Решение Стивеном Смейлом в 1961 году гипотезы Пуанкаре в пяти или более измерениях сделало измерения три и четыре самыми трудными; и действительно, они требовали новых методов, в то время как свобода более высоких измерений означала, что вопросы можно было свести к вычислительным методам, доступным в теории хирургии . Тёрстона Гипотеза о геометризации , сформулированная в конце 1970-х годов, предложила основу, которая предполагала, что геометрия и топология тесно переплетаются в малых размерностях, а доказательство Тёрстона геометризации многообразий Хакена использовало множество инструментов из ранее лишь слабо связанных областей математики. Воаном Джонсом Открытие полинома Джонса в начале 1980-х годов не только привело теорию узлов в новых направлениях, но и привело к до сих пор загадочным связям между низкоразмерной топологией и математической физикой . В 2002 году Григорий Перельман объявил о доказательстве трехмерной гипотезы Пуанкаре, используя С. Гамильтона Ричарда Поток Риччи — идея, принадлежащая области геометрического анализа .

В целом, этот прогресс привел к лучшей интеграции этой области в остальную часть математики.

Два измерения

Основная статья: поверхность (топология)

Поверхность — это двумерное топологическое многообразие . Наиболее знакомыми примерами являются те, которые возникают как границы твёрдых объектов в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R. ³ — например, поверхность шара . С другой стороны, существуют поверхности, такие как бутылка Клейна , которые невозможно встроить в трехмерное евклидово пространство без введения особенностей или самопересечений.

Классификация поверхностей

Классификационная теорема замкнутых поверхностей утверждает, что любая связная замкнутая поверхность гомеоморфна некоторому члену одного из этих трех семейств:

1. сфера;
2. связная сумма g для торов , $g\geq 1$;
3. связная сумма k вещественных проективных плоскостей , для $k\geq 1$.

Поверхности первых двух семейств ориентируемы . Удобно объединить два семейства, рассматривая сферу как связную сумму 0 торов. Число g задействованных торов называется родом поверхности. Сфера и тор имеют эйлеровы характеристики 2 и 0 соответственно, и вообще эйлерова характеристика связной суммы g торов равна 2 - 2 g .

Поверхности третьего семейства неориентируемы. Эйлерова характеристика вещественной проективной плоскости равна 1, и вообще эйлерова характеристика связной суммы k из них равна 2 − k .

Пространство Тейхмюллера

Основная статья: Пространство Тейхмюллера

В математике T пространство Тейхмюллера X ₍ вещественной) топологической поверхности X — это пространство, которое параметризует комплексные структуры на X с точностью до действия гомеоморфизмов , которые изотопны тождественному гомеоморфизму . Каждую точку в T _X можно рассматривать как класс изоморфизма «отмеченных» римановых поверхностей , где «отметка» — это изотопический класс гомеоморфизмов из X в X . Пространство Тейхмюллера является универсальным накрывающим орбифолдом (риманова) пространства модулей.

Пространство Тейхмюллера имеет каноническую комплексную структуру многообразия и множество естественных метрик. Топологическое пространство, лежащее в основе пространства Тейхмюллера, изучалось Фрике, а метрика Тейхмюллера на нем была введена Освальдом Тейхмюллером ( 1940 ).

Теорема

Основная статья: Теорема униформизации

В математике гласит теорема униформизации , что каждая односвязная риманова поверхность одной конформно эквивалентна из трех областей: открытому единичному диску , комплексной плоскости или сфере Римана . В частности, он допускает риманову метрику постоянной кривизны . Это классифицирует римановы поверхности как эллиптические (положительно искривленные — скорее, допускающие постоянную метрику положительно искривленных), параболические (плоские) и гиперболические (отрицательно искривленные) в соответствии с их универсальным покрытием .

Теорема об униформизации представляет собой обобщение теоремы Римана об отображении собственных односвязных открытых подмножеств плоскости на произвольные односвязные римановы поверхности.

Три измерения

Основная статья: 3-многообразие

Топологическое пространство X называется 3-многообразием, если каждая точка в имеет окрестность , гомеоморфную евклидову X 3-пространству .

Топологические, кусочно-линейные и гладкие категории эквивалентны в трех измерениях, поэтому мало различий в том, имеем ли мы дело, скажем, с топологическими 3-многообразиями или с гладкими 3-многообразиями.

Явления в трех измерениях могут разительно отличаться от явлений в других измерениях, поэтому преобладают очень специализированные методы, которые не распространяются на измерения больше трех. Эта особая роль привела к открытию тесных связей с множеством других областей, таких как теория узлов , геометрическая теория групп , гиперболическая геометрия , теория чисел , теория Тейхмюллера , топологическая квантовая теория поля , калибровочная теория , гомологии Флоера и частные дифференциалы. уравнения . Теория трехмерных многообразий считается частью маломерной топологии или геометрической топологии .

Теория узлов и кос

Основные статьи: Теория узлов и теория кос

Теория узлов — это изучение математических узлов . Хотя математический узел вдохновлен узлами, которые встречаются в повседневной жизни на шнурках и веревках, он отличается тем, что концы соединены вместе так, что его невозможно развязать. На математическом языке узел — это окружности в , 3-мерное евклидово пространство вложение R ³ (поскольку мы используем топологию, круг связан не с классической геометрической концепцией, а со всеми ее гомеоморфизмами ). Два математических узла эквивалентны, если один можно преобразовать в другой путем деформации R. ³ на себя (так называемая окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной веревкой, которые не предполагают перерезания веревки или пропускания веревки через себя.

Дополнения узлов — это часто изучаемые трехмерные многообразия. Дополнением к ручному узлу K является трехмерное пространство, окружающее узел. Чтобы уточнить это, предположим, что K — узел в трехмерном многообразии M (чаще всего M — это 3-сфера ). Пусть N — трубчатая окрестность точки K ; поэтому N — полноторий . Дополнение к узлу тогда является дополнением к N ,

$X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).$

Смежная тема — теория кос . Теория кос — это абстрактная геометрическая теория, изучающая повседневную концепцию кос и некоторые ее обобщения. Идея состоит в том, что косы можно организовать в группы , в которых групповая операция заключается в том, чтобы «заплести первую косу на наборе ниток, а затем за ней вторую на скрученных веревках». Такие группы можно описать с помощью явных представлений , как показал Эмиль Артин ( 1947 ). Элементарное рассмотрение этого вопроса можно найти в статье о группах кос . Группам кос также может быть дана более глубокая математическая интерпретация: как фундаментальная группа определенных конфигурационных пространств .

Гиперболические 3-многообразия

Основная статья: Гиперболическое 3-многообразие

Гиперболическое 3-многообразие — это 3-многообразие, снабженное полной римановой метрикой постоянной секционной кривизны -1. Другими словами, это фактор трехмерного гиперболического пространства по подгруппе гиперболических изометрий, действующих свободно и правильно разрывно . См. также модель Кляйниана .

Его толсто-тонкое разложение имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических и/или концов, являющихся произведением евклидовой поверхности и замкнутого полулуча. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна. В этом случае концы имеют форму тора, пересекающего замкнутый полулуч, и называются каспами . Дополнения к узлам — наиболее часто изучаемые многообразия с каспами.

и

Основная статья: Гипотеза о геометризации

Гипотеза геометризации Терстона утверждает, что каждое из определенных трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которую можно с ними связать. Это аналог теоремы об униформизации для двумерных поверхностей , которая утверждает, что каждой односвязной римановой поверхности можно придать одну из трех геометрий ( евклидову , сферическую или гиперболическую ).В трех измерениях не всегда возможно приписать одну геометрию всему топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое трехмерное многообразие можно каноническим образом разложить на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном ( 1982 ) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре Терстона и гипотеза Эллипизации .

Четыре измерения

Основная статья: 4-х коллекторный

— 4-многообразие это 4-мерное топологическое многообразие . Гладкое 4-многообразие — это 4-многообразие с гладкой структурой . В четвертом измерении, в отличие от нижних измерений, топологические и гладкие многообразия совершенно различны. Существуют некоторые топологические 4-многообразия, которые не допускают гладкой структуры, и даже если существует гладкая структура, она не обязательно должна быть единственной (т. е. существуют гладкие 4-многообразия, которые гомеоморфны , но не диффеоморфны ).

4-многообразия имеют важное значение в физике, потому что в общей теории относительности пространство -время моделируется как псевдориманово 4-многообразие.

Экзотический Р ⁴

Основная статья: Экзотический R ⁴

Экзотический ​ Р ⁴ — дифференцируемое многообразие , гомеоморфное , но не диффеоморфное евклидову пространству R ⁴ . Первые примеры были найдены в начале 1980-х годов Майклом Фридманом , используя контраст между теоремами Фридмана о топологических 4-многообразиях и Саймона Дональдсона о гладких 4-многообразиях. теоремами Существует континуум недиффеоморфных дифференцируемых R структур ⁴ , как это впервые показал Клиффорд Таубс .

До этой конструкции уже было известно о существовании недиффеоморфных гладких структур на сферах — экзотических сферах , хотя вопрос о существовании таких структур для частного случая 4-сферы оставался открытым (и остается открытым и по сей день). ). Для любого натурального числа n, не существует экзотических гладких структур . отличного от 4, на R ^н ; другими словами, если n ≠ 4, то любое гладкое многообразие, гомеоморфное R ^н диффеоморфен R ^н .

Другие особые явления

Существует несколько фундаментальных теорем о многообразиях, которые могут быть доказаны методами малой размерности в размерности не более 3 и совершенно другими методами высокой размерности в размерности не менее 5, но которые неверны в четырех измерениях. Вот несколько примеров:

• В размерностях, отличных от 4, инвариант Кирби – Зибенмана препятствует существованию структуры PL; другими словами, компактное топологическое многообразие имеет PL-структуру тогда и только тогда, когда его инвариант Кирби–Зибенмана в H ⁴ ( M , Z /2 Z ) исчезает. В размерности 3 и ниже каждое топологическое многообразие допускает по существу уникальную PL-структуру. В размерности 4 существует множество примеров с исчезающим инвариантом Кирби–Зибенмана, но без структуры PL.
• В любой размерности, отличной от 4, компактное топологическое многообразие имеет только конечное число существенно различных PL или гладких структур. В размерности 4 компактные многообразия могут иметь счетное бесконечное число недиффеоморфных гладких структур.
• Четыре — единственное измерение n, для которого R ^н может иметь экзотическую гладкую структуру. Р ⁴ имеет бесчисленное количество экзотических гладких структур; увидеть экзотику R ⁴ .
• Решение гладкой гипотезы Пуанкаре известно во всех измерениях, кроме 4 (обычно оно неверно в измерениях не ниже 7; см. экзотическую сферу ). Гипотеза Пуанкаре для PL-многообразий была доказана для всех измерений, кроме 4, но неизвестно, верна ли она в 4-х измерениях (она эквивалентна гладкой гипотезе Пуанкаре в 4-х измерениях).
• Теорема о гладком h-кобордизме справедлива для кобордизмов при условии, что ни сам кобордизм, ни его граница не имеют размерности 4. Она может оказаться ошибочной, если граница кобордизма имеет размерность 4 (как показал Дональдсон). Если кобордизм имеет размерность 4, то неизвестно, верна ли теорема о h-кобордизме.
• Топологическое многообразие размерности, отличной от 4, имеет разложение по телу-ручке. Многообразия размерности 4 имеют разложение тела ручки тогда и только тогда, когда они сглаживаемы.
• Существуют компактные 4-мерные топологические многообразия, не гомеоморфные никакому симплициальному комплексу. В размерности не менее 5 существование топологических многообразий, не гомеоморфных симплициальному комплексу, было открытой проблемой. В 2013 году Чиприан Манолеску опубликовал на ArXiv препринт, показывающий, что существуют многообразия в каждом измерении, большем или равном 5, которые не гомеоморфны симплициальному комплексу.

низкоразмерную топологию

Существует несколько теорем, которые фактически утверждают, что многие из самых основных инструментов, используемых для изучения многообразий большой размерности, не применимы к многообразиям низкой размерности, например:

Теорема Стинрода утверждает, что ориентируемое трехмерное многообразие имеет тривиальное касательное расслоение . Другими словами, единственный характерный класс 3-многообразия — это препятствие к ориентируемости.

Любое замкнутое 3-многообразие является границей 4-многообразия. Эта теорема принадлежит независимо нескольким людям: она следует из теоремы Дена – Ликориша через расщепление Хигора 3-многообразия. Это также следует из Рене Тома вычислений кольца кобордизмов замкнутых многообразий.

Существование экзотических гладких структур на R ⁴ . Первоначально это было замечено Майклом Фридманом на основе работ Саймона Дональдсона и Эндрю Кассона . С тех пор он был разработан Фридманом, Робертом Гомпфом , Клиффордом Таубсом и Лоуренсом Тейлором, чтобы показать, что существует континуум недиффеоморфных гладких структур на R. ⁴ . Между тем, Р. ^н известно, что он имеет ровно одну гладкую структуру с точностью до диффеоморфизма при n ≠ 4.

См. также

• Список тем геометрической топологии

Внешние ссылки

• Проблемы Роба Кирби в низкомерной топологии - постскриптум в формате gzip (1,4 МБ)
• Ссылки Марка Бриттенхема на низкоразмерную топологию - списки домашних страниц, конференций и т. д.