Континуум (топология)

Не путать с Непрерывностью (топологией) .

В математической области топологии точечного множества континуум непустое (множественное число: «континуумы») — это компактное связное метрическое пространство или, реже, компактное связное Хаусдорфово пространство . Теория континуума — это раздел топологии, посвященный изучению континуумов.

Определения

• Континуум, содержащий более одной точки, называется невырожденным .
• Подмножество A континуума X такое, что само является континуумом, называется подконтинуумом X A . Пространство, гомеоморфное субконтинууму евклидовой плоскости R ² называется плоским континуумом .
• Континуум X является однородным , если для каждых двух точек x и y в X существует гомеоморфизм h : X → X такой, что h ( x ) = y .
• Континуум Пеано — это континуум, локально связный в каждой точке.
• Неразложимый континуум — это континуум, который нельзя представить как объединение двух собственных субконтинуумов. Континуум X если наследственно неразложим, каждый подконтинуум X неразложим.
• Под размерностью континуума обычно понимают его топологическую размерность . Одномерный континуум часто называют кривой .

Примеры

• Дуга — это пространство [ 0,1 , гомеоморфное отрезку ]. Если h : [0,1] → X гомеоморфизм и h (0) = p и h (1) = q , то p и q называются концами X — ; также говорят, что X — дуга из p в q . Дуга — самый простой и привычный тип континуума. Оно одномерно, дугообразно связно и локально связно.
• — Синусоидальная кривая тополога это подмножество плоскости, которое представляет собой объединение графика функции f ( x ) = sin(1/ x ), 0 < x ≤ 1, с отрезком −1 ≤ y ≤ 1 y - ось. Это одномерный континуум, который не является дугообразно связным и локально разъединен в точках вдоль оси y .
• Варшавский круг получается «замыканием» синусоидальной кривой тополога дугой, соединяющей (0,−1) и (1,sin(1)). Это одномерный континуум, все гомотопические группы которого тривиальны, но он не является стягиваемым пространством .

Варшавский круг

• n — это пространство , -клетка гомеоморфное замкнутому шару в евклидовом пространстве R ^н . Он сжимаем и является простейшим примером n -мерного континуума.
• n — это пространство , -сфера гомеоморфное стандартной n-сфере в ( n + 1)-мерном евклидовом пространстве. Это n -мерный однородный континуум, который несжимаем и, следовательно, отличается от n -клетки.
• Куб Гильберта представляет собой бесконечномерный континуум.
• Соленоиды являются одними из простейших примеров неразложимых однородных континуумов. Они не связаны ни по дуге, ни локально.
• Ковер Серпинского , также известный как универсальная кривая Серпинского , представляет собой одномерный плоский континуум Пеано, который содержит гомеоморфный образ любого одномерного плоского континуума.
• Псевдодуга представляет собой однородный наследственно неразложимый плоский континуум.

Свойства

Существует два фундаментальных метода построения континуумов с помощью вложенных пересечений и обратных пределов .

• Если { X _n } — вложенное семейство континуумов, т. е. X _n ⊇ X _{n +1} , то их пересечение является континуумом.

• Если {( X _n , f _n )} — обратная последовательность континуумов X _n , называемых координатными пространствами , вместе с непрерывными отображениями f _n : X _{n +1} → X _n , называемыми связующими отображениями , то ее обратный предел — это континуум.

Конечный или счетный продукт континуумов является континуумом.

См. также

• Линейный континуум
• Моя губка
• Теория форм (математика)

Источники

• Сэм Б. Надлер-младший, Теория континуума. Введение . Чистая и прикладная математика, Марсель Деккер. ISBN   0-8247-8659-9 .

Внешние ссылки

• Открытые проблемы теории континуума
• Примеры из теории континуума
• Теория континуума и топологическая динамика , М. Бардж и Дж. Кеннеди, в книге «Открытые проблемы топологии», Дж. ван Милль и Г. М. Рид (редакторы), Elsevier Science Publishers BV (Северная Голландия), 1990.
• Гиперпространствовики