Псевдодуга

В общей топологии представляет псевдодуга собой простейший невырожденный наследственно неразложимый континуум . Псевдодуга представляет собой дугообразный однородный континуум и играет центральную роль в классификации однородных плоских континуумов. Р. Х. Бинг доказал, что в определенном смысле большинство континуумов в R ^н , n ≥ 2, гомеоморфны псевдодуге.

История

В 1920 году Бронислав Кнастер и Казимеж Куратовский задали вопрос, существует ли невырожденный однородный континуум в евклидовой плоскости R ² должна быть жордановой кривой . В 1921 году Стефан Мазуркевич задал вопрос, существует ли невырожденный континуум в R ² гомеоморфное каждому из своих невырожденных подконтинуумов , должно быть дугой. В 1922 году Кнастер открыл первый пример наследственно неразложимого континуума K , позже названного псевдодугой, дав отрицательный ответ на вопрос Мазуркевича. В 1948 году Р. Х. Бинг доказал, что континуум Кнастера однороден, т. е. для любых двух его точек существует гомеоморфизм, переводящий одну в другую. Однако также в 1948 году Эдвин Мойс показал, что континуум Кнастера гомеоморфен каждому из своих невырожденных подконтинуумов. Из-за сходства с фундаментальным свойством дуги, а именно гомеоморфности всем своим невырожденным подконтинуумам, Мойс назвал свой М псевдодугой пример . Конструкция Бинга представляет собой модификацию конструкции М Мойзе , описание которой он впервые услышал в лекции. В 1951 году Бинг доказал, что все наследственно неразложимые дугообразные континуумы ​​гомеоморфны — это означает, что Kнастера K Мойзе , M и B Бинга гомеоморфны. Бинг также доказал, что псевдодуга типична среди континуумов в евклидовом пространстве размерности не менее 2 или бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве . Бинг и Ф. Бертон Джонс построили разложимый плоский континуум, который допускает открытое отображение на окружность, где прообраз каждой точки гомеоморфен псевдодуге, называемый кругом псевдодуг. Бинг и Джонс также показали, что оно однородно. В 2016 году Логан Хен и Лекс Оверстейген классифицировали все плоские однородные континуумы ​​с точностью до гомеоморфизма как круг, псевдодугу и круг псевдодуг. В 2019 году Хен и Оверстеген показали, что псевдодуга топологически является единственным, кроме дуги, наследственно эквивалентным плоским континуумом, тем самым обеспечив полное решение плоского случая проблемы Мазуркевича 1921 года.

Строительство

Следующая конструкция псевдодуги следует Льюису (1999) .

Цепи

В основе определения псевдодуги лежит понятие цепи , которое определяется следующим образом:

Цепь . — это конечная совокупность множеств открытых ${\mathcal {C}}=\{C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n}\}$ в метрическом пространстве таком, что $C_{i}\cap C_{j}\neq \emptyset$ если и только если $|i-j|\leq 1.$ Элементы если цепи называются ее звеньями , а цепь называется ε-цепью, каждое из ее звеньев имеет диаметр меньше ε.

Будучи самым простым из перечисленных выше пространств, псевдодуга на самом деле очень сложна. Концепция искривленности цепи ( определенная ниже) — это то, что придает псевдодуге сложность. Неформально, это требует, чтобы цепочка следовала определенному рекурсивному зигзагообразному шаблону в другой цепочке. Чтобы «перейти» от m -го звена большей цепи к n -му, меньшая цепочка должна сначала криво перейти от m -го звена к ( n − 1)-му звену, затем криво к n-му звену. ( m + 1)-я ссылка, а затем, наконец, n- я ссылка.

Более формально:

Позволять ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$ быть такими цепями, что

1. каждая ссылка ${\mathcal {D}}$ является подмножеством ссылки ${\mathcal {C}}$, и
2. для любых индексов i , j , m и n с $D_{i}\cap C_{m}\neq \emptyset$, $D_{j}\cap C_{n}\neq \emptyset$, и $m<n-2$, существуют индексы $k$ и $\ell$ с $i<k<\ell <j$ (или $i>k>\ell >j$) и $D_{k}\subseteq C_{n-1}$ и $D_{\ell }\subseteq C_{m+1}.$

Затем ${\mathcal {D}}$ криво ​ в ${\mathcal {C}}.$

Псевдодуга

Для любого набора C множеств пусть $C^{*}$обозначают объединение всех элементов C . То есть пусть

$C^{*}=\bigcup _{S\in C}S.$

Псевдодуга : определяется следующим образом

Пусть p и q — разные точки на плоскости и $\left\{{\mathcal {C}}^{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }$ — последовательность цепей на плоскости такая, что для каждого i ,

1. первая ссылка ${\mathcal {C}}^{i}$ содержит p , а последняя ссылка содержит q ,
2. цепь ${\mathcal {C}}^{i}$ это $1/2^{i}$-цепь,
3. закрытие каждого звена ${\mathcal {C}}^{i+1}$ является подмножеством некоторой ссылки ${\mathcal {C}}^{i}$, и
4. цепь ${\mathcal {C}}^{i+1}$ криво в ${\mathcal {C}}^{i}$.

Позволять

$P=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left({\mathcal {C}}^{i}\right)^{*}.$

Тогда P — псевдодуга .

Ссылки

• Бинг, Р.Х. (1948), «Однородный неразложимый плоский континуум», Duke Mathematical Journal , 15 (3): 729–742, doi : 10.1215/S0012-7094-48-01563-4
• Бинг, Р.Х. (1951), «О наследственно неразложимых континуумах», Pacific Journal of Mathematics , 1 : 43–51, doi : 10.2140/pjm.1951.1.43
• Бинг, Р.Х. ; Джонс, Ф. Бертон (1959), «Другой однородный плоский континуум», Труды Американского математического общества , 90 (1): 171–192, doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0100823-3
• Хендерсон, Джордж В. (1960), «Доказательство того, что каждый компактный разложимый континуум, топологически эквивалентный каждому из его невырожденных подконтинуумов, является дугой», Annals of Mathematics , 2-я серия, 72 (3): 421–428, doi : 10.2307 /1970224
• Хен, Логан С.; Оверстиген, Лекс Г. (2016), «Полная классификация однородных плоских континуумов», Acta Mathematica , 216 (2): 177–216, arXiv : 1409.6324 , doi : 10.1007/s11511-016-0138-0
• Хен, Логан С.; Оверстиген, Лекс Г. (2020), «Полная классификация наследственно эквивалентных плоских континуумов», Advances in Mathematics , 368 : 107131, arXiv : 1812.08846 , doi : 10.1016/j.aim.2020.107131
• Ирвин, Тревор; Солецкий, Славомир (2006), «Проективные пределы Фрэссе и псевдодуга», Труды Американского математического общества , 358 (7): 3077–3096, doi : 10.1090/S0002-9947-06-03928-6
• Кавамура, Казухиро (2005), «О гипотезе Вуда», Glasgow Mathematical Journal , 47 (1): 1–5, doi : 10.1017/S0017089504002186
• Кнастер, Бронислав (1922), «Un continu dont tot tout sous-contin est indecomposable», Основы математики , 3 : 247–286, doi : 10.4064/fm-3-1-247-286
• Льюис, Уэйн (1999), «Псевдодуга», Бюллетень Мексиканского математического общества , 5 (1): 25–77.
• Льюис, Уэйн; Минц, Петр (2010), «Рисование псевдодуги» (PDF) , Houston Journal of Mathematics , 36 : 905–934
• Мойс, Эдвин (1948), «Неразложимый плоский континуум, гомеоморфный каждому из своих невырожденных подконтинуумов», Transactions of the American Mathematical Society , 63 (3): 581–594, doi : 10.1090/S0002-9947-1948-0025733 -4
• Надлер, Сэм Б. младший (1992), Теория континуума. Введение , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, вып. 158, Марсель Деккер, Инк., Нью-Йорк, ISBN  0-8247-8659-9
• Рамбла, Фернандо (2006), «Контрпример к гипотезе Вуда», Журнал математического анализа и приложений , 317 (2): 659–667, doi : 10.1016/j.jmaa.2005.07.064
• Ремпе-Гиллен, Лассе (2016), Дугоподобные континуумы, множества Жюлиа целых функций и гипотеза Еременко , arXiv : 1610.06278