Псевдодуга
В общей топологии псевдодуга представляет собой простейший невырожденный наследственно неразложимый континуум . Псевдодуга представляет собой дугообразный однородный континуум и играет центральную роль в классификации однородных плоских континуумов. Р. Х. Бинг доказал, что в определенном смысле большинство континуумов в R н , n ≥ 2, гомеоморфны псевдодуге.
История [ править ]
В 1920 году Бронислав Кнастер и Казимеж Куратовский задали вопрос, существует ли невырожденный однородный континуум в евклидовой плоскости R 2 должна быть жордановой кривой . В 1921 году Стефан Мазуркевич задал вопрос, существует ли невырожденный континуум в R 2 гомеоморфное . каждому из своих невырожденных подконтинуумов, должно быть дугой В 1922 году Кнастер открыл первый пример наследственно неразложимого континуума K , позже названного псевдодугой, дав отрицательный ответ на вопрос Мазуркевича. В 1948 году Р. Х. Бинг доказал, что континуум Кнастера однороден, т. е. для любых двух его точек существует гомеоморфизм, переводящий одну в другую. Однако также в 1948 году Эдвин Мойс показал, что континуум Кнастера гомеоморфен каждому из своих невырожденных подконтинуумов. за сходства с фундаментальным свойством дуги, а именно гомеоморфности всем своим невырожденным подконтинуумам, Мойс назвал свой пример М псевдодугой Из - . [а] Конструкция Бинга представляет собой модификацию конструкции М Мойзе , описание которой он впервые услышал в лекции. В 1951 году Бинг доказал, что все наследственно неразложимые дугообразные континуумы гомеоморфны — это означает, что Kнастера K Мойзе , M Бинга и B гомеоморфны. Бинг также доказал, что псевдодуга типична среди континуумов в евклидовом пространстве размерности не менее 2 или бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве . [б] Бинг и Ф. Бертон Джонс построили разложимый плоский континуум, который допускает открытое отображение на окружность, где прообраз каждой точки гомеоморфен псевдодуге, называемый кругом псевдодуг. Бинг и Джонс также показали, что он однороден. В 2016 году Логан Хен и Лекс Оверстейген классифицировали все плоские однородные континуумы с точностью до гомеоморфизма как круг, псевдодугу и круг псевдодуг. В 2019 году Хен и Оверстеген показали, что псевдодуга топологически является единственным, кроме дуги, наследственно эквивалентным плоским континуумом, тем самым обеспечив полное решение плоского случая проблемы Мазуркевича 1921 года.
Строительство [ править ]
Следующая конструкция псевдодуги следует Льюису (1999) .
Цепи [ править ]
В основе определения псевдодуги лежит понятие цепи , которое определяется следующим образом:
- Цепь . — это конечная совокупность открытых множеств в метрическом пространстве таком, что тогда и только тогда, когда Элементы если цепи называются ее звеньями , а цепь называется ε-цепью, каждое из ее звеньев имеет диаметр меньше ε.
Будучи самым простым из перечисленных выше пространств, псевдодуга на самом деле очень сложна. Концепция искривленности цепи ( определенная ниже) — это то, что придает псевдодуге сложность. Неформально, для этого требуется, чтобы цепочка следовала определенному рекурсивному зигзагообразному шаблону в другой цепочке. Чтобы «перейти» от m -го звена большей цепи к n -му, меньшая цепочка должна сначала криво перейти от m -го звена к ( n − 1)-му звену, затем криво к n-му звену. ( m + 1)-я ссылка, а затем, наконец, n -я ссылка.
Более формально:
- Позволять и быть такими цепями, что
- каждая ссылка является подмножеством ссылки , и
- для любых индексов i , j , m и n с , , и , существуют индексы и с (или ) и и
- Затем криво в
Псевдодуга [ править ]
Для любого набора C множеств пусть обозначают объединение всех элементов C . То есть пусть
Псевдодуга определяется следующим образом:
- Пусть p и q — разные точки на плоскости и — последовательность цепей на плоскости такая, что для каждого i ,
- первая ссылка содержит p , а последняя ссылка содержит q ,
- цепь это -цепь,
- закрытие каждого звена является подмножеством некоторой ссылки , и
- цепь криво в .
- Позволять
- Тогда P — псевдодуга .
Примечания [ править ]
- ^ Хендерсон (1960) позже показал, что разложимый континуум, гомеоморфный всем своим невырожденным подконтинуумам, должен быть дугой.
- ↑ История открытия псевдодуги описана в работе Надлера (1992) , стр. 228–229.
Ссылки [ править ]
- Бинг, Р.Х. (1948), «Однородный неразложимый плоский континуум», Duke Mathematical Journal , 15 (3): 729–742, doi : 10.1215/S0012-7094-48-01563-4
- Бинг, Р.Х. (1951), «О наследственно неразложимых континуумах», Pacific Journal of Mathematics , 1 : 43–51, doi : 10.2140/pjm.1951.1.43
- Бинг, Р.Х. ; Джонс, Ф. Бертон (1959), «Другой однородный плоский континуум», Труды Американского математического общества , 90 (1): 171–192, doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0100823-3
- Хендерсон, Джордж В. (1960), «Доказательство того, что каждый компактный разложимый континуум, топологически эквивалентный каждому из его невырожденных подконтинуумов, является дугой», Annals of Mathematics , 2-я серия, 72 (3): 421–428, doi : 10.2307 /1970224
- Хен, Логан С.; Оверстиген, Лекс Г. (2016), «Полная классификация однородных плоских континуумов», Acta Mathematica , 216 (2): 177–216, arXiv : 1409.6324 , doi : 10.1007/s11511-016-0138-0
- Хен, Логан С.; Оверстиген, Лекс Г. (2020), «Полная классификация наследственно эквивалентных плоских континуумов», Advances in Mathematics , 368 : 107131, arXiv : 1812.08846 , doi : 10.1016/j.aim.2020.107131
- Ирвин, Тревор; Солецкий, Славомир (2006), «Проективные пределы Фрэссе и псевдодуга», Труды Американского математического общества , 358 (7): 3077–3096, doi : 10.1090/S0002-9947-06-03928-6
- Кавамура, Казухиро (2005), «О гипотезе Вуда», Glasgow Mathematical Journal , 47 (1): 1–5, doi : 10.1017/S0017089504002186
- Кнастер, Бронислав (1922), «Un continu dont tot tout sous-contin est indecomposable», Основы математики , 3 : 247–286, doi : 10.4064/fm-3-1-247-286
- Льюис, Уэйн (1999), «Псевдодуга», Бюллетень Мексиканского математического общества , 5 (1): 25–77.
- Льюис, Уэйн; Минц, Петр (2010), «Рисование псевдодуги» (PDF) , Houston Journal of Mathematics , 36 : 905–934
- Мойс, Эдвин (1948), «Неразложимый плоский континуум, гомеоморфный каждому из своих невырожденных подконтинуумов», Transactions of the American Mathematical Society , 63 (3): 581–594, doi : 10.1090/S0002-9947-1948-0025733 -4
- Надлер, Сэм Б. младший (1992), Теория континуума. Введение , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, вып. 158, Марсель Деккер, Инк., Нью-Йорк, ISBN 0-8247-8659-9
- Рамбла, Фернандо (2006), «Контрпример к гипотезе Вуда», Журнал математического анализа и приложений , 317 (2): 659–667, doi : 10.1016/j.jmaa.2005.07.064
- Ремпе-Гиллен, Лассе (2016), Дугоподобные континуумы, множества Жюлиа целых функций и гипотеза Еременко , arXiv : 1610.06278