Теория форм (математика)

Теория форм — это раздел топологии , который обеспечивает более глобальный взгляд на топологические пространства, чем теория гомотопий . Они совпадают на компактах, гомотопически доминируемых конечными многогранниками . Теория форм связана с теорией гомологии Чеха , а теория гомотопии связана с теорией сингулярной гомологии .

Предыстория [ править ]

Теория формы была изобретена и опубликована DE Christie в 1944 году; она была заново изобретена, развита и продвинута польским математиком Каролем Борсуком в 1968 году. Фактически, теория формы имени была придумана Борсуком.

Варшавский круг [ править ]

Борсук жил и работал в Варшаве , отсюда и название одного из фундаментальных образцов этого района — Варшавского круга . ^[1] Это компактное подмножество плоскости, полученное путем «закрытия» синусоидальной кривой тополога (также называемой варшавской синусоидальной кривой ) дугой. Все гомотопические группы варшавского круга тривиальны , как и группы точки, и поэтому любое отображение между варшавским кругом и точкой индуцирует слабую гомотопическую эквивалентность . Однако эти два пространства не гомотопически эквивалентны . Таким образом, по теореме Уайтхеда варшавский круг не имеет гомотопического типа комплекса CW .

Историческое развитие [ править ]

Теория форм Борсука была обобщена на произвольные (неметрические ) компакты и даже на общие категории Влодзимежем Холштыньским в 1968/1969 году и опубликована в Fund. Математика. 70 , 157–168, г. 1971 г. (см. Жан-Марк Кордье, Тим Портер (1989) ниже). Это было сделано в непрерывном стиле , характерном для гомологии Чеха, представленной Сэмюэлем Эйленбергом и Норманом Стинродом в их монографии «Основы алгебраической топологии» . В силу обстоятельств ^{[ нужны разъяснения ]}Статья Холштынского была почти не замечена, а вместо этого большую популярность в этой области приобрела более поздняя статья Сибе Мардешича и Джека Сигала из Fund. Математика. 72 , 61–68, 1971 г. Дальнейшее развитие событий отражено в приведенных ниже ссылках и их содержании.

Для некоторых целей, например, для динамических систем , были разработаны более сложные инварианты под названием « сильная форма» . обобщения некоммутативной геометрии , например, теории форм операторных алгебр Были найдены .

См. также [ править ]

Список топологий

Ссылки [ править ]

^ « Польский круг и некоторые его необычные свойства ». Конспект лекций по математике 205B-2012, Калифорнийский университет в Риверсайде. Проверено 16 ноября 2023 г. См. также сопроводительную схему « Строения на Польском кольце ».

Мардешич, Сибе (1997). «Тридцать лет теории форм» ( PDF ) . Математические коммуникации . 2 : 1–12.
теория форм в n лаборатории
Жан-Марк Кордье и Тим Портер, (1989), Теория формы: категориальные методы аппроксимации, математика и ее приложения, Эллис Хорвуд . Перепечатанный Дувр (2008)
Аристид Делеану и Питер Джон Хилтон , О категориальной форме функтора, Fundamenta Mathematicae 97 (1977) 157–176.
Аристид Делеану и Питер Джон Хилтон , Форма Борсука и категории прообъектов Гротендика, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 79 (1976) 473–482.
Сибе Мардешич и Джек Сигал, Формы компактов и ANR-системы, Fundamenta Mathematicae 72 (1971) 41–59
Кароль Борсук , О гомотопических свойствах компактов, Fundamenta Mathematicae 62 (1968) 223–254.
Кароль Борсук , Теория формы, Monografie Matematyczne Volume 59, Варшава, 1975.
Д. А. Эдвардс и Х. М. Гастингс, Теория Чеха: ее прошлое, настоящее и будущее , Математический журнал Rocky Mountain , том 10, номер 3, лето 1980 г.
Д. А. Эдвардс и Х. М. Гастингс, (1976), Гомотопические теории Чеха и Стинрода с приложениями к геометрической топологии , Конспекты лекций по математике 542, Springer-Verlag .
Тим Портер, Чехская гомотопия I, II, Журнал Лондонского математического общества , 1, 6, 1973, стр. 429–436; 2, 6, 1973, стр. 667–675.
Дж. Т. Лисица и Сибе Мардешич , Когерентная прогомотопия и теория сильных форм, Glasnik Matematicki 19 (39) (1984) 335–399.
Михаил Батанин, Категорическая теория сильных форм, Cahiers Topologie Géom. Дифференциальная категория 38 (1997), вып. 1, 3–66, нумдам
Мариус Дэдэрлат, Теория форм и асимптотические морфизмы для C *-алгебр, Duke Mathematical Journal , 73 (3): 687–711, 1994.
Мариус Дэдэрлат и Терри А. Лоринг, Деформации топологических пространств, предсказанные E-теорией, В алгебраических методах теории операторов, с. 316–327. Биркхойзер 1994.

[1] « Польский круг и некоторые его необычные свойства ». Конспект лекций по математике 205B-2012, Калифорнийский университет в Риверсайде. Проверено 16 ноября 2023 г. См. также сопроводительную схему « Строения на Польском кольце ».

[1]