Синусоидальная кривая тополога
В разделе математики, известном как топология , синусоидальная кривая тополога или варшавская синусоида представляет собой топологическое пространство с несколькими интересными свойствами, которые делают ее важным примером для учебников.
Его можно определить как график функции sin(1/ x ) на полуинтервале (0, 1] вместе с началом координат в топологии, индуцированной из евклидовой плоскости :
![{\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0 )\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4221bd712b70257f7e0f8d9b1ca74eaff5661c)
Характеристики
[ редактировать ]Синусоидальная кривая тополога T связна , но не связана ни локально , ни по траектории . Это связано с тем, что она включает точку (0,0), но нет способа связать функцию с началом координат, чтобы создать путь .
Пространство T является непрерывным образом локально компактного пространства (а именно, пусть V — пространство {−1} ∪ (0, 1] и используйте отображение f из V в T, определенное формулой f (−1) = (0 ,0) и f ( x ) = ( x , sin(1/ x )) для x > 0), но T сам по себе не является локально компактным.
Топологическая размерность T . равна 1
Варианты
[ редактировать ]Два варианта синусоидальной кривой тополога обладают и другими интересными свойствами.
Синусоидальную кривую замкнутого тополога можно определить, взяв синусоидальную кривую тополога и добавив к ней набор предельных точек : ; в некоторых текстах сама синусоидальная кривая тополога определяется как эта закрытая версия, поскольку они предпочитают использовать термин «синусоидальная кривая закрытого тополога» для обозначения другой кривой. [ 1 ] Это пространство замкнуто, ограничено и настолько компактно по теореме Гейне-Бореля , но имеет свойства, аналогичные синусоиде тополога: оно тоже связно, но не локально связно и не линейно связно.
![{\displaystyle \{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff9ac5c2a53868d76f8bf3f7a7a841876b3ca0)
можно Синусоиду расширенного тополога определить, взяв синусоиду закрытого тополога и добавив к ней набор . Он подключен по дуге , но не локально .
![{\displaystyle \{(x,1)\mid x\in [0,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5327e8b84efd6909fc334b522974b34963cd7e8f)
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Манкрес, Джеймс Р. (1979). Топология; Первый курс . Энглвудские скалы. п. 158. ИСБН 9780139254956 .
- Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дверское переиздание издания 1978 года), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 137–138, ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 1382863
- Вайсштейн, Эрик В. «Синусоидальная кривая тополога» . Математический мир .