Кусочно-линейное многообразие
В математике ( кусочно-линейное многообразие PL -многообразие ) — это топологическое многообразие вместе с кусочно-линейной структурой на нем. Такую структуру можно определить с помощью атласа , в котором можно будет переходить от карты к карте с помощью кусочно-линейных функций . Это немного сильнее, чем топологическое понятие триангуляции . [а] Изоморфизм PL - многообразий называется PL-гомеоморфизмом .
Связь с другими категориями многообразий
[ редактировать ]
PL, или, точнее, PDIFF, находится между DIFF (категорией гладких многообразий ) и TOP (категорией топологических многообразий): он категорически «ведёт себя лучше», чем DIFF — например, обобщенная гипотеза Пуанкаре верна в PL (с возможное исключение измерения 4, где оно эквивалентно DIFF), но обычно является ложным в DIFF, но «ведёт себя хуже», чем TOP, как это разработано в теории хирургии .
Гладкие коллекторы
[ редактировать ]Гладкие многообразия имеют канонические PL-структуры — они однозначно триангулизуемы согласно теореме Уайтхеда о триангуляции ( Уайтхед, 1940 ). [1] [2] — но PL-многообразия не всегда имеют гладкую структуру — они не всегда сглаживаемы. Это отношение можно уточнить, введя категорию PDIFF , которая содержит как DIFF, так и PL и эквивалентна PL.
Один из способов, в котором PL ведет себя лучше, чем DIFF, заключается в том, что можно брать конусы в PL, но не в DIFF — точка конуса приемлема в PL.Следствием этого является то, что обобщенная гипотеза Пуанкаре верна в PL для размерностей больше четырех — доказательство состоит в том, чтобы взять гомотопическую сферу , удалить два шара, применить теорему h -кобордизма , чтобы заключить, что это цилиндр, а затем присоединить конусы к восстановить сферу. Этот последний шаг работает в PL, но не в DIFF, что приводит к появлению экзотических сфер .
Топологические многообразия
[ редактировать ]Не каждое топологическое многообразие допускает структуру PL, а из тех, которые допускают, структура PL не обязательно должна быть уникальной — ее может быть бесконечно много. Это разрабатывается в Hauptvermutung .
Препятствием для размещения структуры PL на топологическом многообразии является класс Кирби – Зибенмана . Точнее, класс Кирби-Зибенмана является препятствием для размещения PL-структуры на M x R, а в размерностях n > 4 класс KS исчезает тогда и только тогда, когда M имеет хотя бы одну PL-структуру.
Реальные алгебраические множества
[ редактировать ]A-структура на PL-многообразии — это структура, которая дает индуктивный способ разрешения PL-многообразия в гладкое многообразие. Компактные PL-многообразия допускают A-структуры. [3] [4] Компактные PL-многообразия гомеоморфны вещественно-алгебраическим множествам . [5] [6] Другими словами, A-категория располагается над PL-категорией как более богатая категория без препятствий для поднятия, то есть BA → BPL — это расслоение произведения с BA = BPL × PL/A, а PL-многообразия являются вещественными алгебраическими множествами, потому что A -многообразия являются действительными алгебраическими множествами.
Комбинаторные многообразия и цифровые многообразия
[ редактировать ]- — Комбинаторное многообразие это разновидность многообразия, которая представляет собой дискретизацию многообразия. Обычно это означает кусочно-линейное многообразие, составленное из симплициальных комплексов .
- — Цифровое многообразие это особый вид комбинаторного многообразия, определенный в цифровом пространстве. См. цифровую топологию .
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Структура PL также требует, чтобы звено симплекса было PL-сферой. Примером топологической триангуляции многообразия, не являющегося структурой PL, является в размерности n ≥ 5 ( n − 3)-кратная надстройка сферы Пуанкаре (с некоторой фиксированной триангуляцией): оно имеет симплекс, зацепление которого равно сфера Пуанкаре — трехмерное многообразие, не гомеоморфное сфере и, следовательно, не являющееся PL-сферой. см. в разделе «Триангуляция (топология) § Кусочно-линейные структуры» . Подробности
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Лурье, Джейкоб (13 февраля 2009 г.), Триангуляции Уайтхеда (лекция 3) (PDF)
- ^ М.А. Штанько (2001) [1994], «Топология многообразий» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- ^ Акбулут, С.; Тейлор, Л. (1980). «Теорема о топологическом разрешении» . Бюллетень Американского математического общества . (НС). 2 (1): 174–176. дои : 10.1090/S0273-0979-1980-14709-6 .
- ^ Акбулут, С.; Тейлор, Л. (1981). «Теорема о топологическом разрешении» . Публикации IHÉS по математике . 53 (1): 163–196. дои : 10.1007/BF02698689 . S2CID 121566364 .
- ^ Акбулут, С.; Кинг, ХК (1980). «Топологическая характеристика вещественных алгебраических многообразий» . Бюллетень Американского математического общества . (НС). 2 (1): 171–173. дои : 10.1090/S0273-0979-1980-14708-4 .
- ^ Акбулут, С.; Кинг, ХК (1981). «Реальные алгебраические структуры на топологических пространствах» . Публикации IHÉS по математике . 53 (1): 79–162. дои : 10.1007/BF02698688 . S2CID 13323578 .
- Уайтхед, JHC (октябрь 1940 г.). «На С 1 -Комплексы». Анналы математики . Вторая серия. 41 (4): 809–824. doi : 10.2307/1968861 . JSTOR 1968861 .
- Рудяк, Юлий Б. (2001). «Кусочно-линейные структуры на топологических многообразиях». arXiv : math.AT/0105047 .