✖


Jump to content

Настоящая алгебраическая геометрия

В математике отображения действительная алгебраическая геометрия — это подраздел алгебраической геометрии , изучающий вещественные алгебраические множества , то есть в действительных числах решения алгебраических уравнений с коэффициентами вещественных чисел, а также между ними (в частности, вещественные полиномиальные отображения ).

Полуалгебраическая геометрия - это изучение полуалгебраических множеств , то есть решений алгебраических неравенств в действительных числах с вещественными коэффициентами и отображений между ними. Наиболее естественными отображениями между полуалгебраическими множествами являются полуалгебраические отображения , т. е. отображения, графиками которых являются полуалгебраические множества.

Терминология

[ редактировать ]

В настоящее время слова «полуалгебраическая геометрия» и «реальная алгебраическая геометрия» используются как синонимы, поскольку реальные алгебраические множества невозможно серьезно изучать без использования полуалгебраических множеств. Например, проекция вещественного алгебраического множества на ось координат не обязательно должна быть вещественным алгебраическим множеством, но это всегда полуалгебраическое множество: это теорема Тарского–Зейденберга . [1] [2] Связанными областями являются o-минимальная теория и реальная аналитическая геометрия .

Примеры: вещественные плоские кривые являются примерами вещественных алгебраических множеств, а многогранники являются примерами полуалгебраических множеств. Действительные алгебраические функции и функции Нэша являются примерами полуалгебраических отображений. Кусочно-полиномиальные отображения (см. гипотезу Пирса–Биркгофа ) также являются полуалгебраическими отображениями.

Вычислительная реальная алгебраическая геометрия занимается алгоритмическими аспектами реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. Основной алгоритм — цилиндрическая алгебраическая декомпозиция . Он используется для разрезания полуалгебраических множеств на красивые части и вычисления их проекций.

Реальная алгебра — это часть алгебры, которая имеет отношение к реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. В основном это касается изучения упорядоченных полей и упорядоченных колец (в частности, вещественных замкнутых полей ) и их приложений к изучению положительных многочленов и сумм квадратов многочленов . (См. 17-ю проблему Гильберта и Positivestellensatz Кривина .) Отношение реальной алгебры к реальной алгебраической геометрии аналогично отношению коммутативной алгебры к комплексной алгебраической геометрии . Смежными областями являются теория проблем моментов , выпуклая оптимизация , теория квадратичных форм , теория оценки и теория моделей .

Хронология реальной алгебры и реальной алгебраической геометрии

[ редактировать ]
  • 1826 Алгоритм Фурье для систем линейных неравенств. [3] Вновь открыт Ллойдом Дайнсом в 1919 году. [4] и Теодор Моцкин в 1936 году. [5]
  • 1835 г. Теорема Штурма о подсчете действительных корней. [6]
  • 1856 г. Теорема Эрмита о подсчете вещественных корней. [7]
  • 1876 ​​г. Теорема Гарнака о кривой . [8] (Эта оценка числа компонентов позже была распространена на все числа Бетти всех вещественных алгебраических множеств. [9] [10] [11] и все полуалгебраические множества. [12] )
  • 1888 г. Теорема Гильберта о тройных квартиках. [13]
  • 1900 г. Проблемы Гильберта (особенно 16- я и 17- я проблемы)
  • 1902 г. Лемма Фаркаса [14] (Можно переформулировать как линейный позитивстеллензац.)
  • 1914 г. Аннибале Комессатти показал, что не каждая вещественная алгебраическая поверхность бирациональна RP. 2 [15]
  • 1916 г. Гипотеза Фейера о неотрицательных тригонометрических полиномах. [16] (Решено Фриджесом Риссом . [17] )
  • 1927 г. Эмилем Артином Решение 17-й проблемы Гильберта. [18]
  • Теорема Крулля – Бэра 1927 г. [19] [20] (связь между заказами и оценками)
  • Теорема Пойа 1928 года о положительных многочленах на симплексе [21]
  • 1929 Б.Л. ван дер Варден набросал доказательство того, что вещественные алгебраические и полуалгебраические множества триангуляризуемы. [22] но необходимые инструменты не были разработаны, чтобы сделать аргумент строгим.
  • 1931 г. Альфреда Тарского Устранение реального квантора . [23] Усовершенствован и популяризирован Авраамом Зайденбергом в 1954 году. [24] (Оба используют теорему Штурма .)
  • 1936 Герберт Зайферт доказал, что каждое замкнутое гладкое подмногообразие с тривиальным нормальным расслоением, может быть изотопирован компоненте неособого вещественного алгебраического подмножества это полное пересечение [25] (из заключения этой теоремы слово «компонент» убрать нельзя [26] ).
  • 1940 Маршалла Стоуна о представлении частично упорядоченных колец. Теорема [27] Улучшено Ричардом Кэдисоном в 1951 году. [28] и Дональд Дюбуа в 1967 году. [29] (Теорема о представлении Кадисона–Дюбуа). Дальнейшее улучшение Михая Путинара в 1993 году. [30] и Якоби в 2001 году [31] (Теорема Путинара–Якоби о представлении).
  • 1952 Джон Нэш доказал, что каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособой компоненте вещественного алгебраического множества. [32]
  • 1956 г. Сформулирована гипотеза Пирса – Биркгофа . [33] (Решено в размерностях ≤ 2. [34] )
  • 1964 Теорема Кривина о нулевом месте и теорема о положительном месте . [35] Вновь открыт и популяризирован Стенглом в 1974 году. [36] (Кривин использует устранение действительных кванторов , а Стенгл использует теорему о гомоморфизме Ланга. [37] )
  • 1964 Триангулированные полуаналитические множества Лоясевича [38]
  • 1964 Хейсуке Хиронака доказал разрешение теоремы о особенности. [39]
  • 1964 Хасслер-Уитни доказал, что каждое аналитическое многообразие допускает стратификацию, удовлетворяющую условиям Уитни . [40]
  • 1967 Теодор Моцкин находит положительный многочлен, который не является суммой квадратов многочленов . [41]
  • 1972 Vladimir Rokhlin proved Gudkov's conjecture . [42]
  • 1973 Альберто Тоньоли доказал, что каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособому вещественному алгебраическому множеству. [43]
  • 1975 Джордж Э. Коллинз открывает алгоритм цилиндрической алгебраической декомпозиции Тарского , который улучшает метод устранения реальных кванторов и позволяет реализовать его на компьютере. [44]
  • 1973 Жан-Луи Вердье доказал, что каждое субаналитическое множество допускает стратификацию с условием (w). [45]
  • 1979 Мишель Кост и Мари-Франсуаза Рой открывают реальный спектр коммутативного кольца. [46]
  • 1980 Олег Виро представил технику «обработки лоскутов» и использовал ее для классификации реальных алгебраических кривых низкой степени. [47] Позже Илья Итенберг и Виро использовали его для создания контрпримеров к гипотезе Рэгсдейла . [48] [49] а Григорий Михалкин применил его к тропической геометрии для подсчета кривых. [50]
  • 1980 Селман Акбулут и Генри К. Кинг дали топологическую характеристику вещественных алгебраических множеств с изолированными особенностями и топологически охарактеризованы неособые вещественные алгебраические множества (не обязательно компактные). [51]
  • 1980 Акбулут и Кинг доказали, что каждый узел в является звеном вещественного алгебраического множества с изолированной особенностью в [52]
  • 1981 Акбулут и Кинг доказали, что каждое компактное PL-многообразие PL гомеоморфно вещественному алгебраическому множеству. [53] [54] [55]
  • 1983 Акбулут и Кинг представили «Башни топологического разрешения» как топологические модели реальных алгебраических множеств, на основе этого они получили новые топологические инварианты реальных алгебраических множеств и топологически охарактеризовали все трехмерные алгебраические множества. [56] Эти инварианты позже были обобщены Мишелем Косте и Кшиштофом Курдыкой. [57] а также Клинт МакКрори и Адам Парусинский. [58]
  • 1984 Теорема Людвига Брёкера о минимальном порождении базовых открытых полуалгебраических множеств [59] (улучшено и распространено на основные замкнутые полуалгебраические множества Шайдерером. [60] )
  • 1984 Бенедетти и Дедо доказали, что не каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно вполне алгебраическому неособому вещественному алгебраическому множеству (тотально алгебраическое означает, что все его циклы Z/2Z-гомологии представлены вещественными алгебраическими подмножествами). [61]
  • 1991 Акбулут и Кинг доказали, что каждое замкнутое гладкое многообразие гомеоморфно вполне алгебраическому вещественному алгебраическому множеству. [62]
  • 1991 Решение Шмюдгена многомерной проблемы моментов для компактных полуалгебраических множеств и связанного с ней строгого позитива. [63] Алгебраическое доказательство, найденное Верманном. [64] Подразумевает версию теоремы Артина Резника с равномерными знаменателями. [65]
  • 1992 Акбулут и Кинг доказали объемлющие версии теоремы Нэша-Тогноли: каждое замкнутое гладкое подмногообразие R н изотопно неособым точкам (компонентам) вещественного алгебраического подмножества R н , и они распространили этот результат на погруженные подмногообразия R н . [66] [67]
  • 1992 Бенедетти и Марин доказали, что каждое компактное замкнутое гладкое 3-многообразие M можно получить из последовательностью раздутий и опусканий вдоль гладких центров и что M гомеоморфно, возможно, сингулярному аффинному вещественному алгебраическому рациональному трехмерному многообразию. [68]
  • 1997 Бирстон и Милман доказали каноническую теорему о разрешении особенностей. [69]
  • 1997 Михалкин доказал, что любое замкнутое гладкое n-многообразие можно получить из последовательностью топологических раздутий и падений [70]
  • 1998 Янош Коллар показал, что не каждое замкнутое трехмерное многообразие является проективным действительным трехмерным многообразием, которое бирационально RP. 3 [71]
  • 2000 Локально-глобальный принцип Шайдерера и связанное с ним нестрогое расширение positivstellensatz Шмюдгена в размерностях ≤ 2. [72] [73] [74]
  • 2000 Янош Коллар доказал, что каждое замкнутое гладкое 3-многообразие является вещественной частью компактного комплексного многообразия, которое можно получить из серией реальных взрывов и падений. [75]
  • 2003 Велшингер вводит инвариант для подсчета действительных рациональных кривых. [76]
  • 2005 Акбулут и Кинг показали, что не каждое невырожденное вещественное алгебраическое подмножество RP н гладко изотопно вещественной части неособого комплексного алгебраического подмножества CP н [77] [78]

Ссылки

[ редактировать ]
  • С. Акбулут и Х. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, паб MSRI, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992). ISBN   0-387-97744-9
  • Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари Франсуаза. Настоящая алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 года. Доработано авторами. Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 36. Springer-Verlag, Берлин, 1998. x + 430 стр. ISBN   3-540-64663-9
  • Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии. Второе издание. Алгоритмы и вычисления в математике, 10. Springer-Verlag, Берлин, 2006. x+662 стр. ISBN   978-3-540-33098-1 ; 3-540-33098-4
  • Маршалл, Мюррей Положительные полиномы и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii+187 стр. ISBN   978-0-8218-4402-1 ; 0-8218-4402-4

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ ван ден Дрис, Л. (1998). Ручная топология и o-минимальные структуры . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 248. Издательство Кембриджского университета . п. 31. Збл   0953.03045 .
  2. ^ Хованский, А.Г. (1991). Малономиалы . Переводы математических монографий. Том. 88. Перевод с русского Смилки Здравковской. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-4547-0 . Збл   0728.12002 .
  3. ^ Джозеф Б. Дж. Фурье , Решение частного вопроса о вычислении неравенств. Бык. наука Соц. Филомн. Париж 99–100. Сочинения 2, 315–319.
  4. ^ Дайнс, Ллойд Л. (1919). «Системы линейных неравенств». Анналы математики . (2). 20 (3): 191–199. дои : 10.2307/1967869 . JSTOR   1967869 .
  5. ^ Теодор Моцкин , Вклад в теорию линейных неравенств. IV+ 76 стр. Дисс., Базель (1936).
  6. ^ Жак Шарль Франсуа Штурм , Разные мемуары, представленные иностранными учеными 6, стр. 273–318 (1835).
  7. ^ Чарльз Эрмит , О количестве корней алгебраического уравнения между заданными пределами, Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 52, с. 39–51 (1856).
  8. ^ CGA Harnack О разнообразии плоских алгебраических кривых, Mathematical Annals 10 (1876), 189–199
  9. ^ И. Г. Петровский, О. А. Олейник, О топологии вещественных алгебраических поверхностей, Известия академии наук. Наук СССР. Сер.Мат. 13 (1949). 389–402
  10. ^ Джон Милнор , О числах Бетти действительных разновидностей, Труды Американского математического общества 15 (1964), 275–280.
  11. ^ Рене Том , Sur l'homologie des vari'et'es algebriques r'eelles, в: SS Cairns (ed.), Дифференциальная и комбинаторная топология, стр. 255–265, Princeton University Press , Принстон, Нью-Джерси, 1965.
  12. ^ Басу, Саугата (1999). «Об ограничении чисел Бетти и вычислении эйлеровой характеристики полуалгебраических множеств». Дискретная и вычислительная геометрия . 22 (1): 1–18. дои : 10.1007/PL00009443 . hdl : 2027.42/42421 . S2CID   7023328 .
  13. ^ Гильберт, Дэвид (1888). «О представлении определенных форм в виде суммы квадратов фигур» . Математические летописи . 32 (3): 342–350. дои : 10.1007/BF01443605 . S2CID   177804714 .
  14. ^ Фаркас, Юлиус . «К теории простых неравенств» . Журнал чистой и прикладной математики . 124 :1–27.
  15. ^ Комессатти, Аннибале (1914). «О связи вещественных рациональных поверхностей» . Анналы чистой и прикладной математики . 23 (3): 215–283. дои : 10.1007/BF02419577 . S2CID   121297483 .
  16. ^ Липот Фейер , «Убер-тригонометрический полином», Дж. Рейн Ангью. Математика. 146 (1916), стр. 53–82.
  17. ^ Фридьес Рис и Бела Секефальви-Надь , Функциональный анализ, Frederick Ungar Publ. Ко., Нью-Йорк, 1955 год.
  18. ^ Артин, Эмиль (1927). «О разложении определенных функций в квадраты». Деф. Гамбург . 5 :85-99. дои : 10.1007/BF02952512 . S2CID   122881707 .
  19. ^ Крулль, Вольфганг (1932). «Общая теория оценки». Журнал чистой и прикладной математики . 1932 (167): 160–196. дои : 10.1515/crll.1932.167.160 . S2CID   199547002 .
  20. ^ Баер, Рейнхольд (1927), «О неархимедовых упорядоченных телах», труды Гейдельбергской академии наук. Класс математики и естествознания , 8 :3–13
  21. ^ Джордж Полиа , О положительном представлении полиномов Quarterjschr, Naturforsch. Ges Zurich 73 (1928) 141–145, в: Р. П. Боас (ред.), Сборник статей, том 2, MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1974, стр. 309–313.
  22. ^ Б.Л. ван дер Варден , Топологическое обоснование счетной геометрии. Математика Энн. 102, 337–362 (1929).
  23. ^ Альфред Тарский , Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии, Rand. Корп. 1948 г.; UC Press, Беркли, 1951 г., объявлено в: Ann. Соц. Пол. Математика. 9 (1930, опубликовано в 1931 г.) 206–7; и в Фонде. Математика. 17 (1931) 210–239.
  24. ^ Авраам Зайденберг , Новый метод принятия решений для элементарной алгебры, Annals of Mathematics 60 (1954), 365–374.
  25. ^ Герберт Зейферт , Алгебраическая аппроксимация многообразий, Mathematical Journal 41 (1936), 1–17
  26. ^ Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Подмногообразия и гомологии неособых вещественных алгебраических многообразий, Американский журнал математики , том. 107, нет. 1 (февраль 1985 г.) с.72
  27. ^ Стоун, Маршалл (1940). «Общая теория спектров. I». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (4): 280–283. дои : 10.1073/pnas.26.4.280 . ПМЦ   1078172 . ПМИД   16588355 .
  28. ^ Кадисон, Ричард В. (1951), «Теория представлений для коммутативной топологической алгебры», Мемуары Американского математического общества , 7 : 39 стр., MR   0044040
  29. ^ Дюбуа, Дональд В. (1967). «Заметка о теории предпростых чисел Дэвида Харрисона» . Тихоокеанский математический журнал . 21 :15–19. дои : 10.2140/pjm.1967.21.15 . МР   0209200 . S2CID   120262803 .
  30. ^ Михай Путинар, Положительные многочлены на компактных полуалгебраических множествах. Математический журнал Университета Индианы 42 (1993), вып. 3, 969–984.
  31. ^ Т. Якоби, Теорема о представлении некоторых частично упорядоченных коммутативных колец. Математический журнал 237 (2001), вып. 2, 259–273.
  32. ^ Нэш, Джон (1952). «Реальные алгебраические многообразия». Анналы математики . 56 (3): 405–421. дои : 10.2307/1969649 . JSTOR   1969649 .
  33. ^ Биркгоф, Гарретт ; Пирс, Ричард Скотт (1956). «Решетчатые упорядоченные кольца». Анналы Бразильской академии наук . 28 :41–69.
  34. ^ Маэ, Луи (1984). «О гипотезе Пирса-Биркгофа» . Математический журнал Роки Маунтин . 14 (4): 983–985. дои : 10.1216/RMJ-1984-14-4-983 . МР   0773148 .
  35. ^ Кривин, Ж.-Л. (1964). «Предопределенные кольца» (PDF) . Журнал математического анализа . 12 : 307–326. дои : 10.1007/BF02807438 .
  36. ^ Г. Стенгл, Теорема о нулевом месте и теорема о положительном месте в полуалгебраической геометрии. Математика Энн. 207 (1974), 87-97.
  37. ^ С. Ланг, Алгебра. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Ридинг, Массачусетс, 1965 xvii+508 стр.
  38. ^ С. Лоясевич, Триангуляция полуаналитических множеств, Ann. Ску. Норм. ди Пиза, 18 (1964), 449–474.
  39. ^ Хейсуке Хиронака , Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем нулевой характеристики. I, Анналы математики (2) 79 (1): (1964) 109–203 и часть II, стр. 205–326.
  40. ^ Хасслер Уитни , Локальные свойства аналитических многообразий, Дифференциальная и комбинаторная топология (ред. С. Кэрнс), Princeton Univ. Пресс, Принстон, штат Нью-Джерси (1965), 205–244.
  41. ^ Теодор С. Моцкин , Арифметико-геометрическое неравенство. Неравенство 1967 года (Proc. Sympos. База ВВС Райт-Паттерсон, Огайо, 1965), стр. 205–224 MR. 0223521 .
  42. ^ " Доказательство гипотезы Гудкова ". В.А. Рохлин. Функциональный анализ и его приложения , том 6, стр. 136–138 (1972).
  43. ^ Альберто Тоньоли , О гипотезе Нэша, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 27, 167–185 (1973).
  44. ^ Джордж Э. Коллинз , «Устранение квантора для вещественных замкнутых полей путем цилиндрического алгебраического разложения», Lect. Примечания Вычисл. наук. 33, 134–183, 1975 г.р. 0403962 .
  45. ^ Жан-Луи Вердье , Расслоения Уитни и теорема Бертини-Сара, Inventiones Mathematicae 36, 295–312 (1976).
  46. ^ Мари-Франсуаза Косте-Рой , Мишель Косте, Топологии реальной алгебраической геометрии. Теоретико-топосные методы в геометрии, стр. 37–100, Разные публ. Сер., 30 лет, Орхусский ун-т, Орхус, 1979.
  47. ^ Олег Я. Виро , Склеивание плоских вещественных алгебраических кривых и конструкции кривых степени 6 и 7. В сб. Топология (Ленинград, 1982), том 1060 Конспектов лекций по математике , стр. 187–200. Шпрингер, Берлин, 1984 г.
  48. ^ Viro, Oleg Ya. (1980). "Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейл" [Curves of degree 7, curves of degree 8 and the hypothesis of Ragsdale]. Doklady Akademii Nauk SSSR . 254 (6): 1306–1309. Translated in «Кривые 7-й степени, кривые 8-й степени и гипотеза Рэгсдейла». Советская математика — Доклады . 22 : 566–570. 1980. Збл   0422.14032 .
  49. ^ Итенберг, Илья; Михалкин, Григорий; Шустин, Евгений (2007). Тропическая алгебраическая геометрия . Семинары в Обервольфахе. Том. 35. Базель: Биркхойзер. стр. 34–35. ISBN  978-3-7643-8309-1 . Артикул   1162.14300 .
  50. ^ Михалкин, Григорий (2005). «Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в Американского Журнал математического общества . 18 : 313–377. doi : 10.1090/S0894-0347-05-00477-7 .
  51. ^ Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств с изолированными особенностями, Annals of Mathematics 113 (1981), 425–446.
  52. ^ Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Все узлы алгебраические, Commentarii Mathematici Helvetici 56, Fasc. 3 (1981), 339–351.
  53. ^ С. Акбулут и Х. Кинг, Вещественные алгебраические структуры в топологических пространствах, Публикации Mathématiques de l’IHÉS 53 (1981), 79–162.
  54. ^ С. Акбулут и Л. Тейлор, Топологическая теорема о разрешении, Публикации Mathématiques de l’IHÉS 53 (1981), 163–196.
  55. ^ С. Акбулут и Х. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, L'Enseignement Mathématique 29 (1983), 221–261.
  56. ^ Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Топология действительных алгебраических множеств, паб MSRI, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992). ISBN   0-387-97744-9
  57. ^ Косте, Мишель; Курдыка, Кшиштоф (1992). «О связи страта в вещественном алгебраическом множестве» . Топология . 31 (2): 323–336. дои : 10.1016/0040-9383(92)90025-д . МР   1167174 .
  58. ^ МакКрори, Клинт; Парусинский, Адам (2007), «Алгебраически конструируемые функции: вещественная алгебра и топология», Пространства дуг и аддитивные инварианты в реальной алгебраической и аналитической геометрии , Panoramas et Synthèses, vol. 24, Париж: Société mathématique de France , стр. 69–85, arXiv : math/0202086 , MR   2409689.
  59. ^ Брокер, Людвиг (1984). «Минимальная генерация положительных областей». Geometriae Dedicata (на немецком языке). 16 (3): 335–350. дои : 10.1007/bf00147875 . МР   0765338 . S2CID   117475206 .
  60. ^ К. Шайдерер, Индекс стабильности реальных многообразий. Inventiones Mathematicae 97 (1989), вып. 3, 467–483.
  61. ^ Р. Бенедетти и М. Дедо, Контрпримеры к представлению классов гомологии вещественными алгебраическими подмногообразиями с точностью до гомеоморфизма, Compositio Mathematica , 53, (1984), 143–151.
  62. ^ С. Акбулут и Х. Кинг, Все компактные многообразия гомеоморфны вполне алгебраическим действительным алгебраическим множествам, Комментарий. Математика. Хелв. 66 (1991) 139–149.
  63. ^ К. Шмюдген, Проблема K -моментов для компактных полуалгебраических множеств. Математика. Энн. 289 (1991), вып. 2, 203–206.
  64. ^ Т. Верманн Строго положительные полиномы в полуалгебраической геометрии, Univ. Дортмунд, 1998 год.
  65. ^ Б. Резник, Равномерные знаменатели в семнадцатой проблеме Гильберта. Математика. З. 220 (1995), вып. 1, 75–97.
  66. ^ С. Акбулут и Х.К. Кинг Об аппроксимации подмногообразий алгебраическими множествами и решении гипотезы Нэша, Inventiones Mathematicae 107 (1992), 87–98
  67. ^ С. Акбулут и Х.К. Кинг, Алгебраичность погружений, Топология , том. 31, нет. 4, (1992), 701–712.
  68. ^ Р. Бенедетти и А. Марин, Разрывы многообразий размерности три...., Комментарий. Математика. Хелв. 67 (1992), 514–545.
  69. ^ Э. Бирстоун и П.Д. Милман, Каноническая десингуляризация в нулевой характеристике путем расширения максимальных слоев локального инварианта, Inventiones Mathematicae 128 (2) (1997) 207–302.
  70. ^ Г. Михалкин, Разрушение эквивалентности гладких замкнутых многообразий, Топология , 36 (1997) 287–299.
  71. ^ Янош Коллар , Гипотеза Нэша для алгебраических трехмерных многообразий, ERA of AMS 4 (1998) 63–73
  72. ^ К. Шайдерер, Суммы квадратов регулярных функций на вещественных алгебраических многообразиях. Труды Американского математического общества 352 (2000), вып. 3, 1039–1069.
  73. ^ К. Шайдерер, Суммы квадратов на вещественных алгебраических кривых, Математический журнал 245 (2003), № 4, 725–760.
  74. ^ К. Шайдерер, Суммы квадратов на вещественных алгебраических поверхностях. Manuscripta Mathematica 119 (2006), вып. 4, 395–410.
  75. ^ Янош Коллар , Гипотеза Нэша для непроективных трехмерных многообразий, arXiv:math/0009108v1
  76. ^ Ж.-Ю. Вельшингер, Инварианты вещественных рациональных симплектических 4-многообразий и нижние границы в вещественной перечислительной геометрии, Inventiones Mathematicae 162 (2005), вып. 1, 195–234. Збл   1082.14052
  77. ^ С. Акбулут и Х.К. Кинг, Трансцендентные подмногообразия RP н Комментарий. Математика. Хелв., 80, (2005), 427–432.
  78. ^ С. Акбулут, Реальные алгебраические структуры, Труды GGT, (2005) 49–58, arXiv:math/0601105v3.
[ редактировать ]
Викискладе есть медиафайлы, связанные с реальной алгебраической геометрией .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Real_algebraic_geometry&oldid=1222001329"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 66e65e649bc9a8ba234c6d00815abad9__1714722960
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/66/d9/66e65e649bc9a8ba234c6d00815abad9.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Real algebraic geometry - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)