Теорема Гарнака о кривой

Эллиптическая кривая (гладкость степени 3) слева является М-кривой, так как имеет максимальное (2) компонента, тогда как кривая справа имеет только 1 компонент.

В реальной алгебраической геометрии теорема Гарнака о кривой , названная в честь Акселя Харнака , дает возможное количество компонентов связности , которые может иметь алгебраическая кривая , в терминах степени кривой. Для любой алгебраической кривой степени $m$ на вещественной проективной плоскости число компонент $c$ ограничено величиной

{\frac {1-(-1)^{m}}{2}}\leq c\leq {\frac {(m-1)(m-2)}{2}}+1.\

Максимальное число на единицу больше, чем максимальный род кривой степени $m$ , достигаемый, когда кривая неособа . Более того, может быть достигнуто любое количество компонентов в этом диапазоне возможных значений.

Кривая, которая имеет максимальное количество действительных компонентов, называется М-кривой (от слова «максимум») - например, эллиптическая кривая с двумя компонентами, такая как $y^{2}=x^{3}-x,$ или кривая Тротта , квартика с четырьмя компонентами, являются примерами М-кривых.

Эта теорема легла в основу шестнадцатой проблемы Гильберта .

В недавней разработке показано, что кривая Харнака представляет собой кривую, площадь амебы которой равна многоугольнику Ньютона многочлена было $P$ , который называется характеристической кривой моделей димеров , и каждая кривая Харнака является спектральной кривой некоторой модели димера. ( Михалкин 2001 ) ( Кеньон, Окуньков и Шеффилд (2006) )

Ссылки

Дмитрий Андреевич Гудков , Топология вещественных проективных алгебраических многообразий , Успехи матем. наук 29 (1974), 3–79 (русский), английский пер., Русская математика. Обзоры 29:4 (1974), 1–79.
Карл Густав Аксель Гарнак , О разнообразии плоских алгебраических кривых , Матем. 10 (1876), 189–199
Джордж Уилсон, шестнадцатая проблема Гильберта , Топология 17 (1978), 53–74.
Кеньон, Ричард ; Окуньков Андрей ; Шеффилд, Скотт (2006). «Димеры и амебы». Анналы математики . 163 (3): 1019–1056. arXiv : math-ph/0311005 . дои : 10.4007/анналы.2006.163.1019 . МР 2215138 . S2CID 119724053 .
Михалкин, Григорий (2001), Амебы алгебраических многообразий , arXiv : math/0108225 , MR 2102998