Битангенсы квартики

Кривая Тротта и семь ее касательных. Остальные симметричны относительно поворота на 90° через начало координат.

В теории алгебраических плоских кривых плоская кривая общего четвертого порядка имеет 28 бикасательных линий, линий, которые касаются кривой в двух местах. Эти линии существуют в комплексной проективной плоскости , но можно определить кривые четвертой степени, для которых все 28 этих линий имеют действительные числа в качестве координат и, следовательно, принадлежат евклидовой плоскости .

Явная квартика с двадцатью восемью действительными битангенсами была впервые дана Плюкером ( 1839 ) . ^{[ 1 ]} Как показал Плюкер, число действительных битангенсов любой квартики должно быть 28, 16 или число меньше 9. Другая квартика с 28 действительными битангенсами может быть образована геометрическим местом центров эллипсов с фиксированными длинами осей, касательных к двум не -параллельные линии. ^{[ 2 ]} Сиода (1995) предложил другую конструкцию квартики с двадцатью восемью битангенсами, образованную проецированием кубической поверхности ; двадцать семь биткасательных к кривой Сиоды действительны, а двадцать восьмая - это бесконечная линия в проективной плоскости.

Пример

Кривая Тротта , еще одна кривая с 28 действительными битангенсами, представляет собой набор точек ( x , y ), удовлетворяющих степени четвертой полиномиальному уравнению .

\displaystyle 144(x^{4}+y^{4})-225(x^{2}+y^{2})+350x^{2}y^{2}+81=0.

Эти точки образуют неособую кривую четвертой степени, имеющую род три и имеющую двадцать восемь действительных битангенсов . ^{[ 3 ]}

Как и в примерах Плюкера, Блюма и Гинанда, кривая Тротта имеет четыре отдельных овала, максимальное число для кривой четвертой степени, и, следовательно, является М-кривой . Четыре овала можно сгруппировать в шесть разных пар овалов; для каждой пары овалов есть четыре касательные, касающиеся обоих овалов в паре: две, которые разделяют два овала, и две, которые этого не делают. Кроме того, каждый овал ограничивает невыпуклую область плоскости и имеет одну касательную, охватывающую невыпуклую часть его границы.

Связи с другими структурами

Двойная кривая к кривой четвертой степени имеет 28 действительных обычных двойных точек, двойственных 28 касательным к основной кривой.

28 битангенсам квартики также можно поставить в соответствие символы вида

{\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\\end{bmatrix}}

где $a, b, c, d, e, f$ все равны нулю или единице и где

ad+be+cf=1\ (\operatorname {mod} \ 2).

^{[ 4 ]}

Существует 64 варианта выбора для $a, b, c, d, e, f$ , но только 28 из этих вариантов дают нечетную сумму. Можно также интерпретировать $a, b, c$ как однородные координаты точки плоскости Фано и $d, e, f$ как координаты прямой в той же конечной проективной плоскости; условие нечетности суммы эквивалентно требованию, чтобы точка и линия не касались друг друга, и существует 28 различных пар точки и линии, которые не соприкасаются.

Точки и прямые плоскости Фано, которые не пересекаются с парой невходящих точек и прямых, образуют треугольник, а биткасательные квартики считаются соответствующими 28 треугольникам плоскости Фано. ^{[ 5 ]} Графом Леви плоскости Фано является граф Хивуда , в котором треугольники плоскости Фано представлены 6-циклами. 28 6-циклов графа Хивуда, в свою очередь, соответствуют 28 вершинам графа Кокстера . ^{[ 6 ]}

28 битангенсов квартики также соответствуют парам из 56 прямых на поверхности дель Пеццо степени 2 . ^{[ 5 ]} и 28 с лишним тэта-характеристик .

27 прямых на кубе и 28 бикасательных на квартике вместе со 120 трикасательными плоскостями канонической секстической кривой рода 4 образуют « троицу » в смысле Владимира Арнольда , а именно форму соответствия Маккея . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} и может быть связано со многими другими объектами, включая E7 _и E8 _, как обсуждалось на Trinities .

Примечания

^ См., например, Грей (1982) .
^ Блюм и Гуинанд (1964) .
^ Тротт (1997) .
^ Риман (1876) ; Кэли (1879) .
^ Jump up to: ^а ^б Манивель (2006) .
^ Дейтер, Итало Дж. (2011), «От графа Коксетера к графу Клейна», Journal of Graph Theory , 70 : 1–9, arXiv : 1002.1960 , doi : 10.1002/jgt.20597 , S2CID 754481 .
^ Ле Брюн, Ливен (17 июня 2008 г.), Троицы Арнольда , заархивировано из оригинала 11 апреля 2011 г.
^ Арнольд 1997, с. 13 – Арнольд, Владимир, 1997, Лекции в Торонто, Лекция 2: Симплектизация, комплексификация и математические троицы , июнь 1997 г. (последнее обновление: август 1998 г.). TeX , PostScript , PDF
^ ( Маккей и Себбар, 2007 , стр. 11)

Ссылки

Блюм, Р.; Гинан, AP (1964). «Квартика с 28 действительными битангенсами». Канадский математический бюллетень . 7 (3): 399–404. дои : 10.4153/cmb-1964-038-6 .
Кэли, Артур (1879), «О бикасательных квартики», Кривые высшей плоскости Салмона , стр. 387–389 . В сборнике математических статей Артура Кэли , Эндрю Рассела Форсайта, изд., The University Press, 1896, vol. 11, стр. 221–223.
Грей, Джереми (1982), «Из истории простой группы», The Mathematical Intelligencer , 4 (2): 59–67, CiteSeerX 10.1.1.163.2944 , doi : 10.1007/BF03023483 , MR 0672918 , S2CID 14602496 . Перепечатано в Леви, Сильвио, изд. (1999), Восьмеричный путь , Публикации ИИГС, том. 35, Издательство Кембриджского университета, стр. 115–131, ISBN. 0-521-66066-1 , МР 1722415 .
Манивель, Л. (2006), «Конфигурации линий и модели алгебр Ли», Journal of Algebra , 304 (1): 457–486, arXiv : math/0507118 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 , S2CID 17374533 .
Маккей, Джон; Себбар, Абделла (2007). «Реплицируемые функции: Введение». Границы теории чисел, физики и геометрии II . стр. 373–386. дои : 10.1007/978-3-540-30308-4_10 . ISBN 978-3-540-30307-7 .
Плюкер, Дж. (1839), Теория алгебраических кривых: основана на новой трактовке аналитической геометрии , Берлин: Адольф Маркус .
Риман, GFB (1876), «К теории абелевых функций для случая p = 3», Ges. , Лейпциг, стр. 456–472. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) . По словам Кэли.
Сиода, Тецудзи (1995), «Преобразования Вейерштрасса и кубические поверхности» (PDF) , Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 44 (1): 109–128, MR 1336422
Тротт, Майкл (1997), «Применение базиса Грёбнера к трем задачам геометрии», Mathematica в образовании и исследованиях , 6 (1): 15–28 .

[1] См., например, Грей (1982) .

[2] Блюм и Гуинанд (1964) .

[3] Тротт (1997) .

[4] Риман (1876) ; Кэли (1879) .

[M06-5] Jump up to: ^а ^б Манивель (2006) .

[6] Дейтер, Итало Дж. (2011), «От графа Коксетера к графу Клейна», Journal of Graph Theory , 70 : 1–9, arXiv : 1002.1960 , doi : 10.1002/jgt.20597 , S2CID 754481 .

[arntrin-7] Ле Брюн, Ливен (17 июня 2008 г.), Троицы Арнольда , заархивировано из оригинала 11 апреля 2011 г.

[8] Арнольд 1997, с. 13 – Арнольд, Владимир, 1997, Лекции в Торонто, Лекция 2: Симплектизация, комплексификация и математические троицы , июнь 1997 г. (последнее обновление: август 1998 г.). TeX , PostScript , PDF

[9] ( Маккей и Себбар, 2007 , стр. 11)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]