Тета-характеристика

В математике тэта -характеристикой неособой каноническим алгебраической кривой C является класс дивизоров Θ такой, что 2Θ является классом . Следовательно , в терминах голоморфных линейных расслоений L на связной компактной римановой поверхности такое, L что L ² — каноническое расслоение , здесь также, что эквивалентно, голоморфное кокасательное расслоение . В терминах алгебраической геометрии эквивалентное определение — это обратимый пучок , который соответствует пучку дифференциалов первого рода . Тета-характеристики были введены Розенгайном ( 1851 ).

История и род 1

Важность этого понятия впервые осозналась в аналитической теории тэта-функций , а геометрически — в теории бикасательных . В аналитической теории есть четыре фундаментальные тэта-функции в теории эллиптических функций Якоби . Их метки, по сути, представляют собой тэта-характеристики эллиптической кривой . В этом случае канонический класс тривиален (ноль в группе классов дивизоров ), и поэтому тэта-характеристики эллиптической кривой E над комплексными числами , как видно, находятся в соответствии 1-1 с четырьмя точками P на E с 2 P = 0; это подсчет решений ясно из структуры группы, продукта двух групп окружностей , когда E рассматривается как комплексный тор .

Высший род

Для C рода 0 существует один такой класс дивизоров, а именно класс -P , где P — любая точка кривой. В случае более высокого рода g , предполагая, что поле, в котором определяется C, не имеет характеристики 2 , тета-характеристики можно считать как

2 ^{2 г}

числом, если основное поле алгебраически замкнуто.

Это происходит потому, что решения уравнения на уровне класса дивизоров образуют один смежный класс решений уравнения

2D = 0.

Другими словами, где K — канонический класс, а Θ — любое данное решение

2Θ = К ,

любое другое решение будет иметь форму

+ Д. Θ

Это сводит подсчет тэта-характеристик к нахождению 2-ранга якобианского многообразия J ( C ) C. группы В комплексном случае результат снова следует из того, что J ( C ) — комплексный тор размерности 2 g . В общей области см. теорию, объясненную в матрице Хассе-Витта для подсчета p-ранга абелева многообразия . Ответ тот же, при условии, что характеристика поля не равна 2.

Тета-характеристику Θ будем называть четной или нечетной в зависимости от размерности ее пространства глобальных сечений. $H^{0}(C,\Theta )$. Оказывается, на C есть $2^{g-1}(2^{g}+1)$ даже и $2^{g-1}(2^{g}-1)$ странные тэта-характеристики.

Классическая теория

Классически тэта-характеристики делились на эти два вида, нечетные и четные, в соответствии со значением инварианта Arf некоторой квадратичной формы Q со значениями по модулю 2. Таким образом, в случае g = 3 и плоской кривой квартики было 28 одного типа, а остальные 36 — другого; это является основным в вопросе подсчета битангенсов, так как соответствует 28 битангенсам квартики . Геометрическое построение Q как формы пересечения с помощью современных инструментов возможно алгебраически. Фактически спаривание Вейля применимо в его абелевой форме.Тройки (θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) тета-характеристик называются сизигетическими и асизигетическими в зависимости от того, является ли Arf(θ ₁ )+Arf(θ ₂ )+Arf(θ ₃ )+Arf(θ ₁ +θ ₂ +θ ₃ ) равно 0 или 1.

Спиновые структуры

Атья (1971) показал, что для компактного комплексного многообразия выбор тэта-характеристик биективно соответствует спиновым структурам .

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис (1971), «Римановы поверхности и спиновые структуры» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 4 : 47–62, ISSN   0012-9593 , MR   0286136
• Долгачев , Лекции на классические темы, Гл. 5 (PDF)
• Фаркас, Гаврил (2012), Тета-характеристики и их модули , arXiv : 1201.2557 , Бибкод : 2012arXiv1201.2557F
• Мамфорд, Дэвид (1971), «Тэта-характеристики алгебраической кривой» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 4 (2): 181–192, MR   0292836
• Розенхайн, Иоганн Георг (1851), Мемуары о функциях двух переменных, которые являются обратными к ультраэллиптическим интегралам первого класса , Париж