Кривая плоскости четвертой степени

В алгебраической геометрии плоская кривая четвертой степени — плоская алгебраическая кривая четвертой степени . Его можно определить двумерным уравнением четвертой степени :

Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,

по крайней мере один из $A, B, C, D, E$ не равен нулю. Это уравнение имеет 15 констант. Однако ее можно умножить на любую ненулевую константу без изменения кривой; таким образом, выбрав подходящую константу умножения, любой из коэффициентов можно установить равным 1, оставив только 14 констант. Следовательно, пространство кривых четвертой степени можно отождествить с вещественным проективным пространством ⁠ $\mathbb {RP} ^{14}.$ ⁠ также следует Из теоремы Крамера об алгебраических кривых , что существует ровно одна кривая квартики, которая проходит через набор из 14 различных точек в общем положении , поскольку квартика имеет 14 степеней свободы .

Кривая четвертой степени может иметь максимум:

Четыре связных компонента
Двадцать восемь бикасательных
Три обычных двойных очка .

Можно также рассматривать кривые четвертой степени над другими полями (или даже кольцами ), например над комплексными числами . Таким образом, получаются римановы поверхности , которые являются одномерными объектами над ⁠ $\mathbb {C} ,$ ⁠, но двумерны над ⁠ $\mathbb {R} .$ ⁠ Примером является квартика Клейна . Дополнительно можно посмотреть кривые на проективной плоскости , заданные однородными полиномами.

Примеры

Различные комбинации коэффициентов в приведенном выше уравнении приводят к появлению различных важных семейств кривых, перечисленных ниже.

Кривая амперсанда
Кривая боба
Двустворчатая кривая
Кривая лука
Крестообразная кривая с параметрами (b,a) (1,1) красным цветом; (2,2) зелёного цвета; (3,3) синего цвета.
Крестообразная кривая с параметрами (b,a) (1,1) красным цветом; (2,1) зелёного цвета; (3,1) синего цвета.
Спирический раздел
Трехлистный клевер в декартовых координатах
Трехлистный клевер в полярных координатах

Кривая амперсанда

Кривая амперсанда представляет собой плоскую кривую четвертой степени, определяемую уравнением:

\ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.

Он имеет нулевой род и имеет три обычные двойные точки, все в реальной плоскости. ^[1]

Кривая боба

Бобовая кривая представляет собой плоскую кривую четвертой степени с уравнением:

x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,

Бобовая кривая имеет нулевой род. Имеет одну особенность в начале координат — обычную тройную точку. ^[2]^[3]

Двустворчатая кривая

Пресвитер представляет собой плоскую кривую четвертой степени с уравнением

(x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,

где a определяет размер кривой.Двустворчатый имеет только две точки возврата в качестве особенностей и, следовательно, является кривой рода один. ^[4]

Кривая лука

представляет Кривая носа собой кривую на плоскости четвертой степени с уравнением:

x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,

Кривая лука имеет единственную тройную точку в точках x = 0, y = 0 и, следовательно, является рациональной кривой нулевого рода. ^[5]

Крестообразная кривая

Крестообразная кривая , или перекрестная кривая, представляет собой плоскую кривую четвертой степени, заданную уравнением

x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,

где a и b — два параметра, определяющие форму кривой.Крестообразная кривая связана стандартным квадратичным преобразованием x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y с эллипсом a ²х ² + б ²и ² = 1 и, следовательно, является рациональной плоской алгебраической кривой рода нуль. Крестообразная кривая имеет три двойные точки на вещественной проективной плоскости : x =0 и y =0, x =0 и z =0, а также y =0 и z =0. ^[6]

Поскольку кривая рациональна, ее можно параметризовать рациональными функциями. Например, если a =1 и b =2, то

x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}

параметризует точки кривой за исключением исключительных случаев, когда знаменатель равен нулю.

Обратная теорема Пифагора получается из приведенного выше уравнения путем замены x на AC , y на BC и каждого a и b на CD , где A , B — концы гипотенузы прямоугольного треугольника ABC , а D — основание треугольника. перпендикуляр, опущенный из точки C , вершины прямого угла, на гипотенузу:

{\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}

Спирический раздел

Спирические сечения можно определить как бикруговые кривые четвертой степени, симметричные относительно осей x и y . Спирические сечения входят в семейство торических сечений и включают семейство гиппопедов и семейство овалов Кассини . Название происходит от σπειρα, что на древнегреческом языке означает тор.

Декартово уравнение можно записать как

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,

и уравнение в полярных координатах как

r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,

Клевер трехлистный (trifolium)

Клевер трехлистный или трехлистный ^[7] - кривая плоскости четвертой степени

x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,

Решив значение y , кривую можно описать следующей функцией:

y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},

где два появления ± независимы друг от друга, что дает до четырех различных значений y для каждого x .

Параметрическое уравнение кривой:

x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,

^[8]

В полярных координатах ( x = r cos φ, y = r sin φ) уравнение имеет вид

r=\cos(3\varphi ).\,

Это частный случай розы с k = 3.Эта кривая имеет тройную точку в начале координат (0, 0) и три двойные касательные.

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Кривая амперсанда» . Математический мир .
^ Канди, Х. Мартин; Роллетт, AP (1961) [1952], Математические модели (2-е изд.), Clarendon Press, Oxford, стр. 72, ISBN 978-0-906212-20-2 , МР 0124167
^ Вайсштейн, Эрик В. «Бин-кривая» . Математический мир .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Двустворчатая кривая» . Математический мир .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Лук» . Математический мир .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Крестообразная кривая» . Математический мир .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Трифолиум» . Математический мир .
^ Гибсон, К.Г., Элементарная геометрия алгебраических кривых, введение в бакалавриат , издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2001 г., ISBN 978-0-521-64641-3 . Страницы 12 и 78.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Кривая амперсанда» . Математический мир .

[2] Канди, Х. Мартин; Роллетт, AP (1961) [1952], Математические модели (2-е изд.), Clarendon Press, Oxford, стр. 72, ISBN 978-0-906212-20-2 , МР 0124167

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Бин-кривая» . Математический мир .

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Двустворчатая кривая» . Математический мир .

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Лук» . Математический мир .

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Крестообразная кривая» . Математический мир .

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Трифолиум» . Математический мир .

[8] Гибсон, К.Г., Элементарная геометрия алгебраических кривых, введение в бакалавриат , издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2001 г., ISBN 978-0-521-64641-3 . Страницы 12 и 78.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]