Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли и два ее фокуса F ₁ и F _2.

Лемниската Бернулли — это педальная кривая прямоугольной гиперболы.

Синусоидальные спирали ( r ^н = –1 ^н cos( nθ ), θ = π /2 ) в полярных координатах и ​​их эквиваленты в прямоугольных координатах :

  n = −2 : равносторонняя гипербола

  n = −1 : линия

  n = −1/2 : Парабола

  n = 1/2 : Кардиоида

  n = 1 : Круг

  n = 2 : лемниската Бернулли.

В геометрии лемниската Бернулли — это плоская кривая, определенная из двух заданных точек F ₁ и F ₂ , известных как фокусы , на расстоянии 2 c друг от друга как геометрическое место точек P так, что PF ₁ · PF ₂ = c ² . Кривая имеет форму, похожую на цифру 8 и символ ∞ . Его название происходит от lemniscatus , что в переводе с латыни означает «украшенный свисающими лентами». Это частный случай овала Кассини и рациональная алгебраическая кривая степени 4.

Эта лемниската была впервые описана в 1694 году Якобом Бернулли как модификация эллипса , который является местом расположения точек, для которых сумма расстояний до каждой из двух фиксированных фокальных точек является постоянной . Овал Кассини , напротив, представляет собой геометрическое место точек, для которых произведение этих расстояний является постоянным. В случае, когда кривая проходит через точку посередине между фокусами, овал представляет собой лемнискату Бернулли.

Эту кривую можно получить как обратное преобразование гиперболы с инверсии центром в центре гиперболы (биссектриса двух ее фокусов). Его также можно нарисовать с помощью механической связи в форме связи Уатта , при этом длины трех стержней связи и расстояние между ее конечными точками выбираются так, чтобы образовать перекрещенный параллелограмм .

Уравнения

Уравнения можно сформулировать в терминах фокусного расстояния c или полуширины a лемнискаты. Эти параметры связаны соотношением a = c √ 2 .

• Его декартово уравнение (с точностью до перемещения и вращения):

  ${\begin{aligned}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}&=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\\&=2c^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\end{aligned}}$

• В виде параметрического уравнения :

  $x={\frac {a\cos t}{1+\sin ^{2}t}};\qquad y={\frac {a\sin t\cos t}{1+\sin ^{2}t}}$

• Рациональная параметризация:

  $x=a{\frac {t+t^{3}}{1+t^{4}}};\qquad y=a{\frac {t-t^{3}}{1+t^{4}}}$

• В полярных координатах :

  $r^{2}=a^{2}\cos 2\theta$

• Его уравнение в комплексной плоскости :

  $|z-c||z+c|=c^{2}$

• В двухцентровых биполярных координатах :

  $rr'=c^{2}$

• В рациональных полярных координатах :

  $Q=2s-1$

Длина дуги и эллиптические функции

Основная статья: Лемнискатные эллиптические функции

Лемнискатный синус и косинус связывают длину дуги лемнискаты с расстоянием одной конечной точки от начала координат.

Определение длины дуг лемнискаты приводит к эллиптическим интегралам , как это было обнаружено в восемнадцатом веке. Около 1800 года эллиптические функции, обращающие эти интегралы, изучались К. Ф. Гауссом (в то время это практически не публиковалось, но есть намеки в примечаниях к его Disquisitiones Arithmeticae ). имеют Решетки периодов особую форму и пропорциональны целым гауссовым числам . По этой причине случай эллиптических функций с комплексным умножением на √ −1 в некоторых источниках называется лемнискатическим случаем .

Используя эллиптический интеграл

$\operatorname {arcsl} x{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}$

формулу длины дуги L можно записать как

${\begin{aligned}L&=4{\sqrt {2}}\,c\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}=4{\sqrt {2}}\,c\,\operatorname {arcsl} 1\\[6pt]&={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}\,c={\frac {2\pi }{\operatorname {M} (1,1/{\sqrt {2}})}}c\approx 7{.}416\cdot c\end{aligned}}$

где $\Gamma$ и функция гамма - $\operatorname {M}$ – среднее арифметико-геометрическое .

Углы

Учитывая два различных момента ${\rm {A}}$ и ${\rm {B}}$, позволять ${\rm {M}}$ быть серединой ${\rm {AB}}$. Тогда лемниската диаметра ${\rm {AB}}$ также можно определить как множество точек ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, ${\rm {M}}$, вместе с местоположением точек ${\rm {P}}$ такой, что $|{\widehat {\rm {APM}}}-{\widehat {\rm {BPM}}}|$ — прямой угол (ср. теорему Фалеса и ее обратную).

соотношение между углами в лемнискате Бернулли

Следующая теорема об углах, возникающих в лемнискате, принадлежит немецкому математику Герхарду Кристофу Герману Фехтману , который описал ее в 1843 году в своей диссертации по лемнискатам.

F ₁ и F ₂ — фокусы лемнискаты, O — середина отрезка F ₁ F ₂ и P — любая точка лемнискаты вне линии, соединяющей F ₁ и F ₂ . Нормаль n лемнискаты в P пересекает линию, соединяющую F ₁ и F ₂ в R . Теперь внутренний угол треугольника OPR в точке O составляет одну треть внешнего угла треугольника в точке R (см. также трисекцию угла ). Кроме того, внутренний угол P в два раза больше внутреннего угла O .

Дальнейшие свойства

Обращение гиперболы дает лемнискату.

• Лемниската симметрична линии, соединяющей ее фокусы F ₁ и F ₂ , а также серединному перпендикуляру отрезка F ₁ F ₂ .
• Лемниската симметрична середине отрезка F ₁ F ₂ .
• Территория, окруженная лемнискатой, представляет собой ² = 2 с ² .
• Лемниската – это окружность гиперболы перевернутая и наоборот.
• Две касательные в средней точке О перпендикулярны, и каждая из них образует угол π / 4 линией, F1 _{соединяющей} и F2 _с .
• Плоское сечение стандартного тора , касательное к его внутреннему экватору, представляет собой лемнискату.
• Кривизна ​ в $(x,y)$ является ${3 \over a^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$. Максимальная кривизна, возникающая при $(\pm a,0)$, поэтому $3/a$.

Приложения

Динамика на этой кривой и ее более обобщенных вариантах изучается в квазиодномерных моделях.

См. также

• Лемниската или Бут
• Лемниската или Джероно
• постоянная Гаусса
• Лемнискатическая эллиптическая функция
• Кассини овал

Ссылки

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 4–5, 121–123, 145, 151, 184 . ISBN  0-486-60288-5 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Лемниската» . Математический мир .
• «Лемниската Бернулли» в архиве истории математики MacTutor
• «Лемниската Бернулли» в MathCurve.
• Взгляд на лемнискату Бернулли (на французском языке)