Джейкоб Бернулли

Чтобы узнать о других членах семьи по имени Джейкоб , см. Семья Бернулли .

Джейкоб Бернулли
Рожденный	( 1655-01-06 ) 6 января 1655 г. Базель , Швейцария
Умер	16 августа 1705 г. (1705-08-16) (50 лет) Базель, Швейцария
Образование	Базельский университет (Д.Т., 1676; доктор фил. хаб., 1684)
Известный	Дифференциальное уравнение Бернулли Числа Бернулли Формула Бернулли Полиномы Бернулли Карта Бернулли Суд над Бернулли Процесс Бернулли Схема Бернулли оператор Бернулли Скрытая модель Бернулли Выборка Бернулли Распределение Бернулли Случайная величина Бернулли Золотая теорема Бернулли. Неравенство Бернулли Лемниската или Бернулли
Научная карьера
Поля	Математика , механика
Учреждения	Базельский университет
Тезисы	Сопоставление Первого и Второго Адамов   (1676 г.) Решения тройной задачи по арифметике, геометрии и астрономии   (1684 г.)
Докторантура	Питер Веренфельс (руководитель диссертации 1676 г.)
Другие научные консультанты	Готфрид Вильгельм Лейбниц (эпистолярный корреспондент)
Докторанты	Джейкоб Германн Николай I Бернулли
Другие известные студенты	Иоганн Бернулли
Примечания
Брат Иоганна Бернулли.

Джейкоб Бернулли (также известный как Джеймс на английском языке или Жак на французском языке; 6 января 1655 г. [ OS 27 декабря 1654 г.] - 16 августа 1705 г.) был одним из многих выдающихся математиков в швейцарской семье Бернулли . Он встал на сторону Готфрида Вильгельма Лейбница во время спора об исчислении Лейбница-Ньютона и был одним из первых сторонников исчисления Лейбница , в которое он внес большой вклад; вместе со своим братом Иоганном он был одним из основоположников вариационного исчисления . Он также открыл фундаментальную математическую константу e . Однако его самый важный вклад был в области теории вероятностей , где он вывел первую версию закона больших чисел в своей работе Ars Conjectandi .

Биография

Якоб Бернулли родился в Базеле в Старой Швейцарской Конфедерации . По желанию отца он изучил богословие и поступил на служение. Но вопреки желанию родителей, он также изучал математику и астрономию . Он путешествовал по Европе с 1676 по 1682 год, узнавая о последних открытиях в области математики и естественных наук под руководством ведущих деятелей того времени. Сюда вошли работы Йоханнеса Худде , Роберта Бойля и Роберта Гука . За это время он также создал неправильную теорию комет .

Изображение из Acta Eruditorum (1682 г.), где была опубликована критика работы Бернулли Conamen novi systemas Cometarum.

Бернулли вернулся в Швейцарию и с 1683 года начал преподавать механику в Базельском университете. Его докторская диссертация Solutionem tergemini проблематис была представлена ​​в 1684 году. Оно появилось в печати в 1687 году.

В 1684 году Бернулли женился на Юдит Ступанус; у них было двое детей. В течение этого десятилетия он также начал плодотворную исследовательскую карьеру. Его путешествия позволили ему установить переписку со многими ведущими математиками и учёными своей эпохи, которую он поддерживал на протяжении всей своей жизни. В это время он изучал новые открытия в математике, в том числе Христиана Гюйгенса , «Deatiociniis in aleae ludo» « Декарта » Геометрию и Франса ван Скутена дополнения к ней . Он также изучал Исаака Барроу и Джона Уоллиса , что привело к его интересу к бесконечно малой геометрии. Помимо этого, именно между 1684 и 1689 годами были открыты многие результаты, которые должны были составить Ars Conjectandi .

В 1687 году он был назначен профессором математики Базельского университета и оставался на этой должности до конца своей жизни. К тому времени он начал обучать своего брата Иоганна Бернулли математическим темам. Два брата начали изучать исчисление, представленное Лейбницем в его статье 1684 года о дифференциальном исчислении в « Nova Methodus pro Maximis et Minimis », опубликованной в Acta Eruditorum . Они также изучали публикации фон Чирнхауса . Надо понимать, что публикации Лейбница по исчислению были очень непонятны математикам того времени, и Бернулли были одними из первых, кто попытался понять и применить теории Лейбница.

Джейкоб сотрудничал со своим братом в различных приложениях исчисления. Однако атмосфера сотрудничества между двумя братьями превратилась в соперничество, когда математический гений Иоганна начал созревать, когда они оба нападали друг на друга в печати и ставили сложные математические задачи, чтобы проверить навыки друг друга. К 1697 году отношения полностью разорвались.

Лунный кратер Бернулли также назван в его честь вместе с его братом Иоганном.

Важные работы

Первым важным вкладом Якоба Бернулли была брошюра о параллелях логики и алгебры, опубликованная в 1685 году, работа по вероятности в 1685 году и по геометрии в 1687 году. Его результат в области геометрии дал конструкцию, позволяющую разделить любой треугольник на четыре равные части двумя перпендикулярными линиями.

К 1689 году он опубликовал важную работу по бесконечным рядам и опубликовал свой закон больших чисел в теории вероятностей. Между 1682 и 1704 годами Якоб Бернулли опубликовал пять трактатов о бесконечных рядах. Первые два из них содержали множество результатов, в том числе фундаментальный результат, согласно которому $\sum {\frac {1}{n}}$ расходятся, которые, по мнению Бернулли, были новыми, но на самом деле они были доказаны Пьетро Менголи 40 годами ранее и были доказаны Николь Ореме уже в 14 веке. Бернулли не смог найти закрытой формы для $\sum {\frac {1}{n^{2}}}$, но он показал, что он сходится к конечному пределу меньше 2. Эйлер был первым, кто нашел предел этого ряда в 1737 году. Бернулли также изучал показательный ряд , который возник в результате изучения сложных процентов.

В мае 1690 года в статье, опубликованной в Acta Eruditorum , Якоб Бернулли показал, что задача определения изохроны эквивалентна решению нелинейного дифференциального уравнения первого порядка. Изохрона, или кривая постоянного спуска, — это кривая, по которой частица под действием силы тяжести опустится из любой точки вниз точно за одно и то же время, независимо от того, какова начальная точка. Его изучали Гюйгенс в 1687 году и Лейбниц в 1689 году. Найдя дифференциальное уравнение, Бернулли затем решил его методом, который мы сейчас называем разделением переменных . Статья Якоба Бернулли 1690 года важна для истории исчисления, поскольку термин «интеграл» впервые появляется в его интеграционном значении. В 1696 году Бернулли решил уравнение, ныне называемое дифференциальным уравнением Бернулли :

$y'=p(x)y+q(x)y^{n}.$

Якоб Бернулли также открыл общий метод определения эволюты кривой как оболочки ее окружностей кривизны. Он также исследовал каустические кривые и, в частности, изучал связанные с ними кривые параболы , логарифмической спирали и эпициклоиды около 1692 года. Лемниската Бернулли была впервые задумана Якобом Бернулли в 1694 году. В 1695 году он исследовал задачу о разводном мосте, которая ищет кривую. Требуется для того, чтобы груз, скользящий по тросу, всегда удерживал подъемный мост в равновесии.

Ars conjectandi , 1713 (Милан, Фонд Мансутти ).

Самой оригинальной работой Бернулли была Ars Conjectandi , опубликованная в Базеле в 1713 году, через восемь лет после его смерти. На момент его смерти работа была незавершенной, но она по-прежнему имеет величайшее значение в теории вероятностей. Книга также охватывает другие смежные темы, включая обзор комбинаторики , в частности работы ван Скутена, Лейбница и Престета, а также использование чисел Бернулли при обсуждении экспоненциального ряда. Вдохновленный работами Гюйгенса, Бернулли также приводит множество примеров того, как можно выиграть, играя в различные азартные игры. термин «процесс Бернулли» В результате этой работы возник .

В последней части книги Бернулли обрисовывает многие области математической вероятности , включая вероятность как измеримую степень достоверности; необходимость и случайность; моральное и математическое ожидание; априорная и апостериорная вероятность; ожидание победы при разделении игроков по ловкости; учет всех имеющихся аргументов, их оценки и их вычислимой оценки; и закон больших чисел.

Бернулли был одним из наиболее значительных пропагандистов формальных методов высшего анализа. В его методе изложения и выражения редко встречаются проницательность и элегантность, но в нем присутствует максимум честности.

Открытие математической константы e

В 1683 году Бернулли открыл константу е , изучая вопрос о сложных процентах , который потребовал от него найти значение следующего выражения (которое на самом деле является е ):

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Одним из примеров является счет, который начинается с 1 доллара США и выплачивает 100 процентов годовых. Если проценты начисляются один раз, в конце года, их стоимость составляет 2,00 доллара США; но если проценты рассчитываются и прибавляются дважды в году, 1 доллар умножается на 1,5 дважды, что дает 1,00 доллара × 1,5² = 2,25 доллара. Начисление квартальной доходности $1,00×1,25 ⁴ = 2,4414 доллара США..., а ежемесячная доходность при начислении сложных процентов составляет 1,00 доллара США × (1,0833...) ¹²  = $2.613035....

Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу ( силе процента ) для все больших и меньших интервалов начисления процентов. Начисление еженедельной доходности составляет $2,692597..., а начисление дневной доходности составляет $2,714567..., всего на два цента больше. Используя n в качестве количества интервалов начисления процентов с процентами 100% / n в каждом интервале, пределом для больших n является число, которое Эйлер позже назвал e ; при непрерывном начислении процентов стоимость счета достигнет 2,7182818 долларов США.... В более общем смысле, счет, который начинается с 1 доллара США и приносит (1+ R ) долларов по сложным процентам , будет приносить доход e ^р долларов с непрерывным начислением процентов.

Надгробие

Надгробие Якоба Бернулли в Базеле, Мюнстер.

Бернулли хотел, чтобы на его надгробии была логарифмическая спираль и девиз Eadem mutata resurgo («Хотя я изменился, я воскресаю прежним»). Он писал, что самоподобная спираль «может использоваться как символ либо силы духа и постоянства в невзгодах, либо человеческого тела, которое после всех своих изменений, даже после смерти, будет восстановлено в своей точной и совершенной форме. " Бернулли умер в 1705 году, но была выгравирована архимедова спираль, а не логарифмическая.

Перевод латинской надписи:

Якоб Бернулли, несравненный математик.

Профессор Базельского университета. Более 18 лет;

член Королевских академий Парижа и Берлина; прославился своими сочинениями.

О хронической болезни, в здравом уме до конца;

скончался в благодатный 1705 год, 16 августа, в возрасте 50 лет и 7 месяцев, ожидая воскресения.

Юдит Ступанус

его жена в течение 20 лет,

и двое его детей установили памятник мужу и отцу, по которым так скучают.

Работает

• Conamen novi systematis Cometarum (на латыни). Амстеледами: apud Henr. Ветстениум. 1682 г. (название примерно переводится как «Новая гипотеза системы комет».)
• О гравитации эфира (на латыни). В Амстердаме: с Генри Ветстениусом. 1683 г.
• Искусство проектирования, посмертная работа , Базель, на средства братьев Турнисиан, 1713 год.
• Опера (на латыни). Полет. 1. Женева: Наследники Крамера и братья Филиберты. 1744.
  • Опера (на латыни). Полет. 2. Женева: Наследники Крамера и братья Филиберты. 1744.

• 
  О гравитации эфира , 1683 год.
• 
  Опера , том 1, 1744 год.

Дальнейшее чтение

• Хоффман, Дж. Э. (1970–1980). «Бернулли, Якоб (Жак) I». Словарь научной биографии . Том. 2. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. стр. 46–51. ISBN  978-0-684-10114-9 .
• Шнайдер, И. (2005). «Якоб Бернулли Ars conjectandi (1713)» . В Граттан-Гиннессе, Айвор (ред.). Знаковые сочинения по западной математике 1640–1940 гг . Эльзевир. стр. 88–104. ISBN  978-0-08-045744-4 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с Якобом Бернулли, на Викискладе?

• Джейкоб Бернулли в проекте «Математическая генеалогия»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Джейкоб Бернулли» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Бернулли, Джеймс «Трактат о бесконечных сериях» (PDF) .
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Бернулли, Якоб (1654–1705)» . Мир Науки .
• Переписка Готфрида Лейбница и Якоба Бернулли об искусстве строить предположения». Архивировано 6 апреля 2016 г. в Wayback Machine.