Оператор трансфера

В математике оператор переноса кодирует информацию об итерированном отображении и часто используется для изучения поведения динамических систем , статистической механики , квантового хаоса и фракталов . Во всех обычных случаях наибольшее собственное значение равно 1, а соответствующий собственный вектор является инвариантной мерой системы.

Оператор переноса иногда называют оператором Рюэля в честь Дэвида Рюэля или оператором Перрона-Фробениуса или оператором Рюэля-Перрона-Фробениуса в связи с применимостью теоремы Перрона-Фробениуса к определению собственных значений оператора.

Определение

Итерационная функция, которую предстоит изучить, представляет собой отображение $f\colon X\rightarrow X$ для произвольного набора $X$ .

Оператор передачи определяется как оператор ${\mathcal {L}}$ действуя в пространстве функций $\{\Phi \colon X\rightarrow \mathbb {C} \}$ как

({\mathcal {L}}\Phi )(x)=\sum _{y\,\in \,f^{-1}(x)}g(y)\Phi (y)

где $g\colon X\rightarrow \mathbb {C}$ – вспомогательная функция оценки. Когда $f$ имеет Якобиана определитель $|J|$ , затем $g$ обычно принимается за $g=1/|J|$ .

оператора переноса является пределом множества точек теоретико-мерного продвижения g Можно показать, что приведенное выше определение : по сути, оператор переноса является функтором прямого изображения в категории измеримых пространств . Левым сопряженным оператором Перрона–Фробениуса является оператор Купмана или оператор композиции . Общая постановка обеспечивается функциональным исчислением Бореля .

Как правило, оператор переноса обычно можно интерпретировать как оператор (левого) сдвига, действующий в пространстве сдвига . Наиболее часто изучаемыми сдвигами являются подсдвиги конечного типа . Сопряженный к оператору переноса также обычно можно интерпретировать как сдвиг вправо. Особенно хорошо изученные правые сдвиги включают оператор Якоби и матрицу Хессенберга , которые порождают системы ортогональных полиномов посредством правого сдвига.

Приложения

В то время как итерация функции $f$ естественным образом приводит к изучению орбит точек X при итерации (изучение динамики точки ), оператор переноса определяет, как (гладкие) отображения развиваются при итерации. Таким образом, операторы переноса обычно появляются в задачах физики , таких как квантовый хаос и статистическая механика , где внимание сосредоточено на эволюции во времени гладких функций. В свою очередь, это имеет медицинское применение для рационального дизайна лекарств в области молекулярной динамики .

Часто бывает, что передаточный оператор положителен, имеет дискретные положительные действительные собственные значения , причем наибольшее собственное значение равно единице. По этой причине оператор переноса иногда называют оператором Фробениуса–Перрона.

Собственные функции передаточного оператора обычно являются фракталами. Когда логарифм оператора переноса соответствует квантовому гамильтониану , собственные значения обычно будут очень близко расположены, и, таким образом, даже очень узкий и тщательно выбранный ансамбль квантовых состояний будет охватывать большое количество очень разных фрактальных собственных состояний с ненулевой поддержкой. по всему объему. Это можно использовать для объяснения многих результатов классической статистической механики, включая необратимость времени и увеличение энтропии .

Трансфер-оператор отображения Бернулли. $b(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor$ точно разрешима и является классическим примером детерминированного хаоса ; дискретные собственные значения соответствуют полиномам Бернулли . Этот оператор также имеет непрерывный спектр, состоящий из дзета-функции Гурвица .

Трансфер-оператор отображения Гаусса $h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor$ называется оператором Гаусса–Кузьмина–Вирсинга (ГКВ) . Теория GKW восходит к гипотезе Гаусса о цепных дробях и тесно связана с дзета-функцией Римана .

См. также

Ссылки

Гаспар, Пьер (1992). «R-адические одномерные отображения и формула суммирования Эйлера». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 25 (8): Л483–Л485. Бибкод : 1992JPhA...25L.483G . дои : 10.1088/0305-4470/25/8/017 .
Гаспар, Пьер (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-39511-9 .
Макки, Майкл К. (1992). Стрела времени: Истоки термодинамического поведения . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94093-6 .
Майер, Дитер Х. (1978). Оператор переноса Рюэля-Араки в классической статистической механике . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-09990-5 .
Рюэль, Дэвид (1978). Термодинамический формализм: математические структуры классической равновесной статистической механики . Аддисон-Уэсли, Ридинг. ISBN 0-201-13504-3 .
Рюэль, Дэвид (2002). «Динамические дзета-функции и операторы переноса» (PDF) . Уведомления АМС . 49 (8): 887–895. (Проводит вводный опрос).