Квантовая статистическая механика
Современная физика |
---|
|
Часть серии статей о |
Квантовая механика |
---|
Квантовая статистическая механика — это статистическая механика, применяемая к квантово-механическим системам . В квантовой механике статистический ансамбль (распределение вероятностей по возможным квантовым состояниям ) описывается оператором плотности S , который является неотрицательным, самосопряженным , ядерным оператором следа 1 в гильбертовом пространстве H, описывающим квантовую систему. Это можно показать с помощью различных математических формализмов квантовой механики .
Ожидание
[ редактировать ]Из классической теории вероятностей мы знаем, что математическое случайной ожидание величины X определяется ее распределением D X по формуле
при условии, конечно, что случайная величина интегрируема или что случайная величина неотрицательна. Аналогично, пусть A — наблюдаемая квантовомеханической системы. A задается плотно определенным самосопряженным оператором на H . Спектральная мера , A определенная формулой
однозначно определяет A и, наоборот, однозначно определяется A . E A — булев гомоморфизм борелевских подмножеств R в решетку Q самосопряженных проекторов H . По аналогии с теорией вероятностей, учитывая состояние S , мы вводим распределение A , которое является вероятностной мерой , под S определенной на борелевских подмножествах R следующим образом:
Аналогично, ожидаемое значение A определяется через распределение вероятностей D A по формуле
Обратите внимание, что это ожидание относится к смешанному состоянию S , которое используется в определении DA .
Замечание . По техническим причинам необходимо рассматривать отдельно положительную и отрицательную части A, определенные борелевским функциональным исчислением для неограниченных операторов.
Легко можно показать:
Заметим, что если S — чистое состояние , соответствующее вектору , затем:
След оператора A записывается следующим образом:
Энтропия фон Неймана
[ редактировать ]Особое значение для описания случайности состояния имеет энтропия фон Неймана S, формально определяемая формулой
- .
На самом деле оператор S log 2 S не обязательно является трассовым. Однако если S — неотрицательный самосопряженный оператор не ядерного класса, мы определяем Tr( S ) = +∞. Также обратите внимание, что любой оператор плотности S можно диагонализовать, что он может быть представлен в некотором ортонормированном базисе (возможно, бесконечной) матрицей вида
и мы определяем
Конвенция заключается в том, что , поскольку событие с нулевой вероятностью не должно вносить вклад в энтропию. Это значение представляет собой расширенное действительное число (то есть в [0, ∞]), и это, очевидно, унитарный инвариант S .
Замечание . Действительно возможно, что H( S ) = +∞ для некоторого оператора плотности S . Фактически T — диагональная матрица
T — неотрицательный трассировочный класс, и можно показать, что T log 2 T не является трассировочным классом.
Теорема . Энтропия — унитарный инвариант.
По аналогии с классической энтропией сходство в определениях), H( S ) измеряет количество случайности в состоянии S. (обратите внимание на Чем более разбросаны собственные значения, тем больше энтропия системы. Для системы, в которой пространство H конечномерно, энтропия максимальна для состояний S , которые в диагональной форме имеют представление
Для такого S H( S ) = log 2 n . Состояние S называется максимально смешанным состоянием.
Напомним, что чистое состояние – это одна из форм
для ψ вектор нормы 1.
Теорема . H( S ) = 0 тогда и только тогда, когда S является чистым состоянием.
Ибо S является чистым состоянием тогда и только тогда, когда его диагональная форма имеет ровно один ненулевой элемент, равный 1.
Энтропию можно использовать как меру квантовой запутанности .
Канонический ансамбль Гиббса
[ редактировать ]Рассмотрим ансамбль систем, описываемых гамильтонианом H со средней энергией E . Если H имеет чистоточечный спектр и собственные значения из H достаточно быстро переходят в +∞, e − р Ч будет неотрицательным оператором трассового класса для каждого положительного r .
описывается Канонический ансамбль Гиббса состоянием
Где β таково, что среднее значение энергии по ансамблю удовлетворяет условию
и
Это называется функцией распределения ; это квантовомеханическая версия канонической статистической суммы классической статистической механики. Вероятность того, что случайно выбранная из ансамбля система окажется в состоянии, соответствующем собственному значению энергии является
При определенных условиях канонический ансамбль Гиббса максимизирует энтропию фон Неймана состояния, подчиняющегося требованию сохранения энергии. [ нужны разъяснения ]
Большой канонический ансамбль
[ редактировать ]Для открытых систем, где энергия и число частиц могут колебаться, система описывается большим каноническим ансамблем , описываемым матрицей плотности
где N 1 , N 2 , ... являются операторами числа частиц для различных видов частиц, которыми обмениваются с резервуаром. Обратите внимание, что это матрица плотности, включающая гораздо больше состояний (с переменным N) по сравнению с каноническим ансамблем.
Большая функция раздела — это
См. также
[ редактировать ]- Квантовая термодинамика
- Тепловая квантовая теория поля
- Стохастическая термодинамика
- Абстрактное Винеровское пространство
Ссылки
[ редактировать ]- Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики , Princeton University Press , 1955.
- Ф. Рейф, Статистическая и теплофизика , McGraw-Hill, 1965.