Jump to content

Квантовая статистическая механика

(Перенаправлено из ансамбля Quantum )

Квантовая статистическая механика — это статистическая механика, применяемая к квантово-механическим системам . В квантовой механике статистический ансамбль (распределение вероятностей по возможным квантовым состояниям ) описывается оператором плотности S , который является неотрицательным, самосопряженным , ядерным оператором следа 1 в гильбертовом пространстве H, описывающим квантовую систему. Это можно показать с помощью различных математических формализмов квантовой механики .

Ожидание

[ редактировать ]

Из классической теории вероятностей мы знаем, что математическое случайной ожидание величины X определяется ее распределением D X по формуле

при условии, конечно, что случайная величина интегрируема или что случайная величина неотрицательна. Аналогично, пусть A наблюдаемая квантовомеханической системы. A задается плотно определенным самосопряженным оператором на H . Спектральная мера , A определенная формулой

однозначно определяет A и, наоборот, однозначно определяется A . E A булев гомоморфизм борелевских подмножеств R в решетку Q самосопряженных проекторов H . По аналогии с теорией вероятностей, учитывая состояние S , мы вводим распределение A , которое является вероятностной мерой , под S определенной на борелевских подмножествах R следующим образом:

Аналогично, ожидаемое значение A определяется через распределение вероятностей D A по формуле

Обратите внимание, что это ожидание относится к смешанному состоянию S , которое используется в определении DA .

Замечание . По техническим причинам необходимо рассматривать отдельно положительную и отрицательную части A, определенные борелевским функциональным исчислением для неограниченных операторов.

Легко можно показать:

Заметим, что если S чистое состояние , соответствующее вектору , затем:

След оператора A записывается следующим образом:

Энтропия фон Неймана

[ редактировать ]

Особое значение для описания случайности состояния имеет энтропия фон Неймана S, формально определяемая формулой

.

На самом деле оператор S log 2 S не обязательно является трассовым. Однако если S — неотрицательный самосопряженный оператор не ядерного класса, мы определяем Tr( S ) = +∞. Также обратите внимание, что любой оператор плотности S можно диагонализовать, что он может быть представлен в некотором ортонормированном базисе (возможно, бесконечной) матрицей вида

и мы определяем

Конвенция заключается в том, что , поскольку событие с нулевой вероятностью не должно вносить вклад в энтропию. Это значение представляет собой расширенное действительное число (то есть в [0, ∞]), и это, очевидно, унитарный инвариант S .

Замечание . Действительно возможно, что H( S ) = +∞ для некоторого оператора плотности S . Фактически T — диагональная матрица

T — неотрицательный трассировочный класс, и можно показать, что T log 2 T не является трассировочным классом.

Теорема . Энтропия — унитарный инвариант.

По аналогии с классической энтропией сходство в определениях), H( S ) измеряет количество случайности в состоянии S. (обратите внимание на Чем более разбросаны собственные значения, тем больше энтропия системы. Для системы, в которой пространство H конечномерно, энтропия максимальна для состояний S , которые в диагональной форме имеют представление

Для такого S H( S ) = log 2 n . Состояние S называется максимально смешанным состоянием.

Напомним, что чистое состояние – это одна из форм

для ψ вектор нормы 1.

Теорема . H( S ) = 0 тогда и только тогда, когда S является чистым состоянием.

Ибо S является чистым состоянием тогда и только тогда, когда его диагональная форма имеет ровно один ненулевой элемент, равный 1.

Энтропию можно использовать как меру квантовой запутанности .

Канонический ансамбль Гиббса

[ редактировать ]

Рассмотрим ансамбль систем, описываемых гамильтонианом H со средней энергией E . Если H имеет чистоточечный спектр и собственные значения из H достаточно быстро переходят в +∞, e р Ч будет неотрицательным оператором трассового класса для каждого положительного r .

описывается Канонический ансамбль Гиббса состоянием

Где β таково, что среднее значение энергии по ансамблю удовлетворяет условию

и

Это называется функцией распределения ; это квантовомеханическая версия канонической статистической суммы классической статистической механики. Вероятность того, что случайно выбранная из ансамбля система окажется в состоянии, соответствующем собственному значению энергии является

При определенных условиях канонический ансамбль Гиббса максимизирует энтропию фон Неймана состояния, подчиняющегося требованию сохранения энергии. [ нужны разъяснения ]

Большой канонический ансамбль

[ редактировать ]

Для открытых систем, где энергия и число частиц могут колебаться, система описывается большим каноническим ансамблем , описываемым матрицей плотности

где N 1 , N 2 , ... являются операторами числа частиц для различных видов частиц, которыми обмениваются с резервуаром. Обратите внимание, что это матрица плотности, включающая гораздо больше состояний (с переменным N) по сравнению с каноническим ансамблем.

Большая функция раздела — это

См. также

[ редактировать ]
  • Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики , Princeton University Press , 1955.
  • Ф. Рейф, Статистическая и теплофизика , McGraw-Hill, 1965.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 72372983ccc8c73b952962a7607b7662__1721754180
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/72/62/72372983ccc8c73b952962a7607b7662.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Quantum statistical mechanics - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)