Квантовая геометрия

В теоретической физике квантовая геометрия — совокупность математических понятий, обобщающих понятия геометрии, понимание которых необходимо для описания физических явлений на масштабах расстояний, сравнимых с планковской длиной . На этих расстояниях квантовая механика оказывает глубокое влияние на физические явления.

Квантовая гравитация

Основная статья: квантовая гравитация

Каждая теория квантовой гравитации использует термин «квантовая геометрия» несколько по-разному. Теория струн , ведущий кандидат на роль квантовой теории гравитации, использует термин «квантовая геометрия» для описания экзотических явлений, таких как Т-дуальность и другие геометрические дуальности , зеркальная симметрия , топологию. переходы, изменяющие , минимально возможный масштаб расстояний и другие эффекты, бросающие вызов интуиции. С технической точки зрения, квантовая геометрия относится к форме пространственно-временного многообразия , воспринимаемой D-бранами , которая включает квантовые поправки к метрическому тензору , такие как инстантоны мирового листа . Например, квантовый объём цикла вычисляется по массе браны, навёрнутой на этот цикл.

В альтернативном подходе к квантовой гравитации, называемом петлевой квантовой гравитацией (LQG), фраза «квантовая геометрия» обычно относится к формализму в LQG, где наблюдаемые, которые собирают информацию о геометрии, теперь являются четко определенными операторами в гильбертовом пространстве . В частности, некоторые физические наблюдаемые , такие как площадь, имеют дискретный спектр . Также было показано, что петлевая квантовая геометрия некоммутативна .

Возможно (но это маловероятно), что это строго квантованное понимание геометрии будет согласовываться с квантовой картиной геометрии, возникающей из теории струн.

Другой, весьма успешный подход, который пытается восстановить геометрию пространства-времени на основе «первых принципов», — это дискретная лоренцева квантовая гравитация .

состояния как

Основная статья: Волновая функция

Смотрите также: Дифференциальные формы

Дифференциальные формы используются для выражения квантовых состояний с использованием клинового произведения :

$|\psi \rangle =\int \psi (\mathbf {x} ,t)\,|\mathbf {x} ,t\rangle \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x}$

где положения вектор

$\mathbf {x} =(x^{1},x^{2},x^{3})$

дифференциального объема элемент

$\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} =\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}$

и х ¹ , х ² , х ³ являются произвольным набором координат, верхние индексы указывают контравариантность , нижние индексы указывают ковариацию , поэтому явно квантовое состояние в дифференциальной форме имеет вид:

$|\psi \rangle =\int \psi (x^{1},x^{2},x^{3},t)\,|x^{1},x^{2},x^{3},t\rangle \,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}$

Интеграл перекрытия определяется выражением:

$\langle \chi |\psi \rangle =\int \chi ^{*}\psi ~\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x}$

в дифференциальной форме это

$\langle \chi |\psi \rangle =\int \chi ^{*}\psi ~\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}$

Вероятность обнаружения частицы в некоторой области пространства R определяется интегралом по этой области:

$\langle \psi |\psi \rangle =\int _{R}\psi ^{*}\psi ~\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}$

при условии, что волновая функция нормирована . Когда R представляет собой все трехмерное позиционное пространство, интеграл должен быть равен 1, если частица существует.

Дифференциальные формы — это подход к описанию геометрии кривых и поверхностей независимо от координат. В квантовой механике идеализированные ситуации возникают в прямоугольных декартовых координатах , таких как потенциальная яма , частица в ящике , квантовый гармонический осциллятор , а также более реалистичные приближения в сферических полярных координатах, такие как электроны в атомах и молекулах . Для общности полезен формализм, который можно использовать в любой системе координат.

См. также

• Некоммутативная геометрия
• Квантовое пространство-время

Дальнейшее чтение

• Суперсимметрия , Демистификация, П. Лабелль, МакГроу-Хилл (США), 2010, ISBN   978-0-07-163641-4
• Квантовая механика , Э. Аберс, Пирсон Эд., Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN   9780131461000
• Квантовая механика демистифицирована , Д. МакМэхон, МакГро Хилл (США), 2006, ISBN   0-07-145546 9
• Квантовая теория поля , Д. МакМахон, МакГроу Хилл (США), 2008, ISBN   978-0-07-154382-8

Внешние ссылки

• Пространство и время: от античности до Эйнштейна и далее
• Квантовая геометрия и ее приложения