Матричная механика

Матричная механика — это формулировка квантовой механики , созданная Вернером Гейзенбергом , Максом Борном и Паскуалем Джорданом в 1925 году. Это была первая концептуально автономная и логически последовательная формулировка квантовой механики. Его объяснение квантовых скачков вытеснило Бора модели электронные орбиты . Это было сделано путем интерпретации физических свойств частиц как матриц , которые развиваются во времени. Это эквивалентно Шрёдингера волновой формулировке квантовой механики Дирака Бракета , как это проявляется в обозначениях .

В отличие от волновой формулировки, она создает спектры операторов (в основном энергетических) чисто алгебраическими методами лестничных операторов . Опираясь на эти методы, Вольфганг Паули в 1926 году получил спектр атома водорода: до развития волновой механики.

Разработка матричной механики

В 1925 году Вернер Гейзенберг , Макс Борн и Паскуаль Джордан сформулировали матричное представление квантовой механики.

Крещение в Гельголанде

Основная статья: Документ о реинтерпретации

1925 году Вернер Гейзенберг работал в Геттингене над проблемой расчета спектральных линий водорода В . К маю 1925 года он начал пытаться описать атомные системы только с помощью наблюдаемых . 7 июня, после нескольких недель неудачных попыток облегчить сенную лихорадку аспирином и кокаином, Гейзенберг уехал на свободный от пыльцы в Северном море остров Гельголанд . Находясь там, в перерывах между восхождением и заучиванием стихов из « , Гете Западно-восточного дивана» он продолжал размышлять над призрачной проблемой и в конце концов понял, что принятие некоммутирующих наблюдаемых может решить проблему. Позже он написал:

Было около трех часов ночи, когда передо мной предстал окончательный результат расчета. Сначала я был глубоко потрясен. Я был так взволнован, что не мог думать о сне. Поэтому я вышел из дома и стал ждать восхода солнца на вершине скалы.

Три фундаментальных документа

После того, как Гейзенберг вернулся в Геттинген, он показал Вольфгангу Паули свои расчеты, прокомментировав однажды:

Для меня все еще смутно и неясно, но кажется, что электроны больше не будут двигаться по орбитам.

9 июля Гейзенберг передал ту же статью со своими расчетами Максу Борну, заявив, что «он написал сумасшедшую статью и не осмелился отправить ее в публикацию, и что Борн должен прочитать ее и дать ему совет» перед публикацией. Затем Гейзенберг на время уехал, оставив Борна анализировать статью.

В статье Гейзенберг сформулировал квантовую теорию без резких электронных орбит. Хендрик Крамерс ранее рассчитал относительные интенсивности спектральных линий в модели Зоммерфельда, интерпретируя коэффициенты Фурье орбит как интенсивности. Но его ответ, как и все другие расчеты старой квантовой теории , был верным только для больших орбит .

Гейзенберг после сотрудничества с Крамерсом начал понимать, что вероятности перехода не совсем классические величины, потому что единственные частоты, которые появляются в ряду Фурье, должны быть теми, которые наблюдаются в квантовых скачках, а не вымышленными, которые возникают из точных классических орбит, анализируемых Фурье. Он заменил классический ряд Фурье матрицей коэффициентов, квантовым аналогом ряда Фурье. Классически коэффициенты Фурье дают интенсивность испускаемого излучения , поэтому в квантовой механике величиной матричных элементов оператора положения была интенсивность излучения в спектре ярких линий. Величинами в формулировке Гейзенберга были классическое положение и импульс, но теперь они уже не были четко определены. Каждая величина представлялась набором коэффициентов Фурье с двумя индексами, соответствующими начальному и конечному состояниям.

Когда Борн прочитал статью, он понял, что эту формулировку можно записать и распространить на систематический язык матриц . чему он научился во время учебы у Якоба Розанеса в университете Бреслау . Борн с помощью своего помощника и бывшего ученика Паскуаля Джордана немедленно начал делать транскрипцию и расширение, и они представили свои результаты для публикации; статья была получена для публикации всего через 60 дней после статьи Гейзенберга.

Последующая статья была представлена ​​для публикации до конца года всеми тремя авторами. (Краткий обзор роли Борна в развитии матричной формулировки квантовой механики вместе с обсуждением ключевой формулы, связанной с некоммутативностью амплитуд вероятности, можно найти в статье Джереми Бернштейна . Подробный исторический и технический отчет можно найти в книге Мехры и Рехенберга « Историческое развитие квантовой теории». Том 3. Формулировка матричной механики и ее модификаций 1925–1926 гг. )

Три фундаментальных документа:

• В. Гейзенберг, О квантово-теоретической интерпретации кинематических и механических соотношений , Journal of Physics , 33 , 879-893, 1925 (получено 29 июля 1925 г.). [Английский перевод: Б.Л. ван дер Варден, редактор, « Источники квантовой механики» (Dover Publications, 1968). ISBN   0-486-61881-1 (английское название: Квантово-теоретическая переинтерпретация кинематических и механических отношений ).]
• М. Борн и П. Джордан, О квантовой механике , Journal of Physics , 34 , 858–888, 1925 (получено 27 сентября 1925 г.). [Английский перевод: Б.Л. ван дер Варден, редактор, « Источники квантовой механики» (Dover Publications, 1968). ISBN   0-486-61881-1 (английское название: On Quantum Mechanics ).]
• М. Борн, В. Гейзенберг и П. Джордан, « О квантовой механике II» , Journal of Physics , 35 , 557–615, 1926 (получено 16 ноября 1925 г.). [Английский перевод: Б.Л. ван дер Варден, редактор, « Источники квантовой механики» (Dover Publications, 1968). ISBN   0-486-61881-1 (английское название: On Quantum Mechanics II ).]

До этого времени физики редко использовали матрицы; их считали принадлежащими к области чистой математики. Густав Ми использовал их в статье по электродинамике в 1912 году, а Борн использовал их в своей работе по теории решеток кристаллов в 1921 году. Хотя в этих случаях использовались матрицы, алгебра матриц с их умножением не входила в картину, как они сделали это в матричной формулировке квантовой механики.

Борн, однако, изучил матричную алгебру у Розанеса, как уже отмечалось, но Борн также изучил теорию интегральных уравнений и квадратных форм Гильберта для бесконечного числа переменных, как это было очевидно из цитаты Борна из работы Гильберта Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen опубликовано в 1912 году.

Джордан также был хорошо подготовлен для выполнения этой задачи. В течение ряда лет он был помощником Рихарда Куранта в Гёттингене при подготовке книги Куранта и Давида Гильберта « Methoden der mathematischen Physik I» , которая была опубликована в 1924 году. По счастливой случайности эта книга содержала множество математических инструментов, необходимых для дальнейшего развития квантовой механики.

В 1926 году Джон фон Нейман стал помощником Дэвида Гильберта и ввёл термин «гильбертово пространство» для описания алгебры и анализа, которые использовались при разработке квантовой механики.

Ключевой вклад в эту формулировку был сделан в статье Дирака о реинтерпретации/синтезе 1925 года: который изобрел язык и структуру, обычно используемые сегодня, полностью демонстрируя некоммутативную структуру всей конструкции.

Рассуждения Гейзенберга

До матричной механики старая квантовая теория описывала движение частицы по классической орбите с четко определенными положением и импульсом X ( t ), P ( t ), с ограничением, что интеграл по времени за один период T импульса раз скорость должна быть целым положительным кратным постоянной Планка.

$$\int _{0}^{T}P\;{dX \over dt}\;dt=\int _{0}^{T}P\;dX=nh.$$

Хотя это ограничение правильно выбирает орбиты с более или менее правильные значения энергии En _, старый квантовомеханический формализм не описывал зависящие от времени процессы, такие как испускание или поглощение излучения.

Когда классическая частица слабо связана с полем излучения, так что радиационным затуханием можно пренебречь, она будет излучать излучение по схеме, которая повторяется каждый орбитальный период . Частоты, составляющие исходящую волну, тогда являются целыми кратными орбитальной частоты, и это является отражением того факта, что X ( t ) является периодическим, так что его представление Фурье имеет только частоты 2π n / T .

$$X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi int/T}X_{n}.$$

Коэффициенты X _n являются комплексными числами . Единицы с отрицательными частотами должны быть комплексно-сопряженными с числами с положительными частотами, так что X ( t ) всегда будет действительным,

$$X_{n}=X_{-n}^{*}.$$

С другой стороны, квантовомеханическая частица не может излучать излучение непрерывно; он может испускать только фотоны. Если предположить, что квантовая частица стартовала на орбите с номером n , испустила фотон, а затем оказалась на орбите с номером m , энергия фотона равна E _n − E _m , что означает, что его частота равна ( E _n − E _m )/ h .

Для больших n и m , но с относительно малыми n − m , это классические частоты по Бора . принципу соответствия

$$E_{n}-E_{m}\approx h(n-m)/T.$$

В приведенной выше формуле T — классический период либо орбиты n , либо орбиты m , поскольку разница между ними имеет более высокий порядок по h . Но если n и m малы или если n − m велико, частоты не являются целыми кратными какой-либо отдельной частоте.

Поскольку частоты, которые излучает частица, такие же, как частоты в фурье-описании ее движения, это предполагает, что -то в зависящем от времени описании частицы колеблется с частотой ( En _что - E _m )/ h . Гейзенберг назвал эту величину X _нм , и потребовал, чтобы оно сводилось к классическим коэффициентам Фурье в классическом пределе. Для больших значений n , m , но с n − m относительно небольшими , X _nm — ( n − m ) -й коэффициент Фурье классического движения по орбите n . Поскольку X _nm имеет частоту, противоположную X _mn , условие того, что X вещественно, становится

$$X_{nm}=X_{mn}^{*}.$$

По определению, X _nm имеет только частоту ( E _n − E _m )/ h , поэтому его временная эволюция проста:

$$X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)=e^{i(E_{n}-E_{m})t/\hbar }X_{nm}(0).$$

Это исходная форма уравнения движения Гейзенберга.

Учитывая два массива X _nm и P _nm , описывающие две физические величины, Гейзенберг мог сформировать новый массив того же типа, объединив члены X _nk P _km , которые также колеблются с нужной частотой. Поскольку коэффициенты Фурье произведения двух величин есть свертка коэффициентов Фурье каждой из них в отдельности, соответствие с рядом Фурье позволило Гейзенбергу вывести правило, по которому массивы следует умножить,

$$(XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn}.$$

Борн указал, что это закон умножения матриц , согласно которому положение, импульс, энергия, все наблюдаемые величины в теории интерпретируются как матрицы. Согласно этому правилу умножения произведение зависит от порядка: XP отличается от PX .

Матрица X представляет собой полное описание движения квантовомеханической частицы. Поскольку частоты квантового движения не кратны общей частоте, элементы матрицы нельзя интерпретировать как коэффициенты Фурье острой классической траектории . Тем не менее, как матрицы, X ( t ) и P ( t ) удовлетворяют классическим уравнениям движения; см. также теорему Эренфеста ниже.

Основы матрицы

Когда в 1925 году матричная механика была представлена ​​Вернером Гейзенбергом, Максом Борном и Паскуалем Джорданом, она не была сразу принята и поначалу была источником споров. Позднее введение Шредингером волновой механики получило большое одобрение.

Частично причина заключалась в том, что формулировка Гейзенберга была написана на странном для того времени математическом языке, в то время как формулировка Шредингера была основана на знакомых волновых уравнениях. Но была и более глубокая социологическая причина. Квантовая механика развивалась двумя путями: один вел Эйнштейн, который подчеркивал корпускулярно-волновой дуализм, который он предложил для фотонов, а другой вел Бор, который подчеркивал открытые Бором дискретные энергетические состояния и квантовые скачки. Де Бройль воспроизвел дискретные энергетические состояния в рамках Эйнштейна — квантовое состояние — это состояние стоячей волны, и это дало надежду представителям школы Эйнштейна, что все дискретные аспекты квантовой механики будут включены в механику непрерывных волн.

С другой стороны, матричная механика пришла из школы Бора, которая занималась дискретными энергетическими состояниями и квантовыми скачками. Последователи Бора не ценили физические модели, которые изображали электроны как волны или что-либо вообще. Они предпочитали сосредоточиться на величинах, которые были напрямую связаны с экспериментами.

В атомной физике спектроскопия дала наблюдательные данные об атомных переходах, возникающих при взаимодействии атомов с квантами света . Школа Бора требовала, чтобы в теории фигурировали только те величины, которые в принципе измеримы с помощью спектроскопии. Эти величины включают уровни энергии и их интенсивности, но не включают точное положение частицы на ее боровской орбите. Очень трудно представить себе эксперимент, который мог бы определить, находится ли электрон в основном состоянии атома водорода справа или слева от ядра. Было глубокое убеждение, что подобные вопросы не имеют ответа.

Матричная формулировка была построена на предпосылке, что все физические наблюдаемые представлены матрицами, элементы которых индексируются двумя разными уровнями энергии. В конечном итоге под набором собственных значений матрицы понималось множество всех возможных значений, которые может иметь наблюдаемая. Поскольку матрицы Гейзенберга являются эрмитовыми , собственные значения вещественны.

Если измеряется наблюдаемая величина и результатом является определенное собственное значение, соответствующий собственный вектор представляет собой состояние системы сразу после измерения. Акт измерения в матричной механике «разрушает» состояние системы. Если измерять две наблюдаемые одновременно, состояние системы схлопывается до общего собственного вектора двух наблюдаемых. Поскольку большинство матриц не имеют общих собственных векторов, большинство наблюдаемых никогда не могут быть измерены точно одновременно. Это принцип неопределенности .

Если две матрицы имеют общие собственные векторы, их можно одновременно диагонализировать. В базисе, где они обе диагональные, ясно, что их произведение не зависит от их порядка, поскольку умножение диагональных матриц — это просто умножение чисел. Принцип неопределенности, напротив, является выражением того факта, что часто две матрицы A и B не всегда коммутируют, т. е. что AB − BA не обязательно равно 0. Фундаментальное коммутационное соотношение матричной механики

$$\sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})=i\hbar \,\delta _{nm}$$

подразумевается, что не существует состояний, которые одновременно имели бы определенную позицию и импульс .

Этот принцип неопределенности справедлив и для многих других пар наблюдаемых. Например, энергия тоже не коммутирует с положением, поэтому точно определить положение и энергию электрона в атоме невозможно.

Нобелевская премия

В 1928 году Альберт Эйнштейн номинировал Гейзенберга, Борна и Джордана на Нобелевскую премию по физике . Объявление Нобелевской премии по физике за 1932 год было отложено до ноября 1933 года. Именно тогда было объявлено, что Гейзенберг получил премию 1932 года «за создание квантовой механики, применение которой, среди прочего , привело к открытию аллотропных форм водорода». а Эрвин Шредингер и Поль Адриен Морис Дирак разделили премию 1933 года «за открытие новых продуктивных форм атомной теории».

Можно задаться вопросом, почему Борн не был удостоен премии в 1932 году вместе с Гейзенбергом, и Бернштейн высказывает предположения по этому поводу. Одно из них связано с тем, что Джордан вступил в нацистскую партию 1 мая 1933 года и стал штурмовиком . Партийная принадлежность Джордана и связи Джордана с Борном вполне могли повлиять на шансы Борна на премию в то время. Бернштейн далее отмечает, что, когда Борн наконец получил премию в 1954 году, Джордан был еще жив, а премия была присуждена за статистическую интерпретацию квантовой механики, принадлежащую только Борну.

Реакция Гейзенберга на получение Борном за Гейзенбергом премии в 1932 году и на получение Борном премии в 1954 году также поучительна для оценки того, следовало ли Борну разделить премию с Гейзенбергом. 25 ноября 1933 года Борн получил письмо от Гейзенберга, в котором он сообщил, что задержался с письмом из-за «нечистой совести», что он один получил премию «за работу, проделанную в Геттингене в сотрудничестве – ты, Джордан и я». ." Далее Гейзенберг заявил, что вклад Борна и Джордана в квантовую механику не может быть изменен «неправильным решением извне».

В 1954 году Гейзенберг написал статью, посвященную Максу Планку за его проницательность в 1900 году. В статье Гейзенберг выразил благодарность Борну и Джордану за окончательную математическую формулировку матричной механики, а Гейзенберг далее подчеркнул, насколько велик их вклад в квантовую механику, которая была не «достаточно признано в глазах общественности».

Математическое

После того как Гейзенберг ввел матрицы для X и P , он смог в особых случаях находить их матричные элементы методом догадок, руководствуясь принципом соответствия. Поскольку матричные элементы являются квантовомеханическими аналогами коэффициентов Фурье классических орбит, простейшим случаем является гармонический осциллятор , где классическое положение и импульс X ( t ) и P ( t ) синусоидальны.

Гармонический осциллятор

В единицах, где масса и частота осциллятора равны единице (см. обезразмеривание ), энергия осциллятора равна

$$H={1 \over 2}\left(P^{2}+X^{2}\right).$$

H Множества уровня представляют собой орбиты по часовой стрелке и представляют собой вложенные круги в фазовом пространстве. Классическая орбита с энергией E равна

$$X(t)={\sqrt {2E}}\cos(t),\qquad P(t)=-{\sqrt {2E}}\sin(t)~.$$

Старое квантовое условие гласит, что интеграл от P dX по орбите, которая представляет собой площадь круга в фазовом пространстве, должен быть целым кратным постоянной Планка . Площадь круга радиуса √ 2 E равна 2 πE . Так

$$E={\frac {nh}{2\pi }}=n\hbar \,,$$

или, в натуральных единицах , где ħ = 1 , энергия является целым числом.

Компоненты Фурье X величины ( t ) и P ( t ) просты, тем более, если их объединить в

$$A(t)=X(t)+iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{-it},\quad A^{\dagger }(t)=X(t)-iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{it}.$$

И А , и А ^† имеют только одну частоту, а X и P можно восстановить из их суммы и разности.

Поскольку A ( t ) имеет классический ряд Фурье только с самой низкой частотой, а матричный элемент A _mn является ( m − n ) -м коэффициентом Фурье классической орбиты, матрица для A отлична от нуля только в строке чуть выше где она равна √ 2 En _. диагональ , Матрица для A ^† аналогично ненулевое значение только на линии ниже диагонали с теми же элементами. Таким образом, из А и А ^† , дает реконструкция

$${\sqrt {2}}X(0)={\sqrt {\hbar }}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1}}&0&{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}},$$

и

$${\sqrt {2}}P(0)={\sqrt {\hbar }}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&i{\sqrt {3}}&0&-i{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}},$$

которые с точностью до выбора единиц являются матрицами Гейзенберга для гармонического осциллятора. Обе матрицы являются эрмитовыми , так как построены из коэффициентов Фурье действительных величин.

Найти X ( t ) и P ( t ) можно напрямую, поскольку они являются квантовыми коэффициентами Фурье, поэтому они просто меняются со временем,

$$X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},\quad P_{mn}(t)=P_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t}~.$$

Матричное произведение X и P не является эрмитовым, но имеет действительную и мнимую часть. Действительная часть равна половине симметричного выражения XP + PX , а мнимая часть пропорциональна коммутатору .

$$[X,P]=(XP-PX).$$

Легко проверить явно, что XP − PX в случае гармонического осциллятора равно iħ , умноженному на единицу .

Аналогично просто проверить, что матрица

$$H={1 \over 2}(X^{2}+P^{2})$$

диагональная матрица с собственными значениями E _i .

Дополнительная информация: Квантовый гармонический осциллятор § Метод лестничного оператора.

Сохранение энергии

Основная статья: Сохранение энергии

Гармонический осциллятор представляет собой важный случай. Найти матрицы проще, чем определять общие условия по этим специальным формам. По этой причине Гейзенберг исследовал ангармонический осциллятор с гамильтонианом

$$H={1 \over 2}P^{2}+{1 \over 2}X^{2}+\varepsilon X^{3}~.$$

В этом случае матрицы X и P больше не являются простыми недиагональными матрицами, поскольку соответствующие классические орбиты слегка сжимаются и смещаются, так что они имеют коэффициенты Фурье на каждой классической частоте. Чтобы определить матричные элементы, Гейзенберг потребовал, чтобы классические уравнения движения выполнялись как матричные уравнения:

$${dX \over dt}=P\quad {dP \over dt}=-X-3\varepsilon X^{2}~.$$

Он заметил, что если бы это удалось сделать, то H , рассматриваемая как матричная функция X и P , имела бы нулевую производную по времени.

$${dH \over dt}=P*{dP \over dt}+(X+3\varepsilon X^{2})*{dX \over dt}=0~,$$

где A ∗ B — антикоммутатор ,

$$A*B={1 \over 2}(AB+BA)~.$$

Учитывая, что все недиагональные элементы имеют ненулевую частоту; H Постоянность означает, что H диагональна. Гейзенбергу было ясно, что в этой системе энергия может точно сохраняться в произвольной квантовой системе, что является весьма обнадеживающим признаком.

Процесс испускания и поглощения фотонов, казалось, требовал, чтобы сохранение энергии сохранялось в лучшем случае в среднем. Если волна, содержащая ровно один фотон, проходит через несколько атомов, и один из них поглощает ее, этот атом должен сообщить остальным, что они больше не могут поглощать фотон. Но если атомы находятся далеко друг от друга, никакой сигнал не может вовремя достичь других атомов, и они все равно могут поглотить один и тот же фотон и рассеять энергию в окружающую среду. Когда сигнал достигнет их, другим атомам придется каким-то образом вспомнить эту энергию. Этот парадокс заставил Бора, Крамерса и Слейтера отказаться от точного сохранения энергии. Формализм Гейзенберга, если его расширить и включить в него электромагнитное поле, очевидно, собирался обойти эту проблему, что является намеком на то, что интерпретация теории будет включать в себя коллапс волновой функции .

с дифференцированием — канонические

Требование сохранения классических уравнений движения не является достаточно сильным условием для определения матричных элементов. Постоянная Планка не появляется в классических уравнениях, так что матрицы можно построить для многих разных значений ħ и при этом удовлетворять уравнениям движения, но с разными уровнями энергии.

Итак, чтобы реализовать свою программу, Гейзенбергу нужно было использовать старое квантовое условие для фиксации уровней энергии, затем заполнить матрицы коэффициентами Фурье классических уравнений, затем слегка изменить матричные коэффициенты и уровни энергии, чтобы убедиться в классические уравнения выполняются. Это явно неудовлетворительно. Старые квантовые условия относятся к области, ограниченной острыми классическими орбитами, которых нет в новом формализме.

Самое важное, что открыл Гейзенберг, — это то, как перевести старое квантовое условие в простое утверждение матричной механики.

Для этого он исследовал интеграл действия как матричную величину:

$$\int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn} \over dt}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle ?}{\approx }}\,\,J_{mn}~.$$

С этим интегралом связано несколько проблем, все из которых связаны с несовместимостью матричного формализма со старой картиной орбит. Какой период Т следует использовать? Квазиклассически это должно быть либо m , либо n , но разница в порядке ħ , и ответ на порядок ħ ищется. Квантовое является классической константой, говорит нам , условие говорит нам, что J _mn равно 2π n на диагонали, поэтому тот факт, что J что недиагональные элементы равны нулю.

Его решающее открытие заключалось в том, чтобы дифференцировать квантовое состояние по отношению к n . Эта идея имеет полный смысл только в классическом пределе, где n не целое число, а переменная непрерывного действия J , но Гейзенберг выполнил аналогичные манипуляции с матрицами, где промежуточными выражениями являются иногда дискретные разности, а иногда и производные.

В дальнейшем, для ясности, дифференцирование будет производиться по классическим переменным, а переход к матричной механике будет осуществляться после, руководствуясь принципом соответствия.

В классической постановке производная — это производная по J интеграла, который определяет J , поэтому она тавтологически равна 1.

$${\begin{aligned}&{}{d \over dJ}\int _{0}^{T}PdX=1\\&=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}+P{d \over dJ}{dX \over dt}\right)\\&=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}-{dP \over dt}{dX \over dJ}\right)\end{aligned}}$$

где производные dP / dJ и dX / dJ следует интерпретировать как разности по J в соответствующие моменты времени на близких орбитах, именно то, что было бы получено, если бы коэффициенты Фурье орбитального движения были дифференцированы. (Эти производные симплектически ортогональны в фазовом пространстве производным по времени dP / dt и dX / dt ).

переменной Окончательное выражение поясняется введением канонически сопряженной с J , которая называется угловой переменной θ : Производная по времени является производной по θ с точностью до 2π T ,

$${2\pi \over T}\int _{0}^{T}dt\left({dp \over dJ}{dX \over d\theta }-{dP \over d\theta }{dX \over dJ}\right)=1\,.$$

среднее значение за один цикл скобки Пуассона X Таким образом , и P. интеграл квантового состояния — это

Аналогичное дифференцирование ряда Фурье P dX показывает, что все недиагональные элементы скобки Пуассона равны нулю. Скобка Пуассона двух канонически сопряженных переменных, таких как X и P , представляет собой постоянное значение 1, поэтому этот интеграл на самом деле представляет собой среднее значение 1; Итак, это 1, как мы знали с самого начала, потому что, это DJ/DJ в конце концов, . Но Гейзенберг, Борн и Йордан, в отличие от Дирака, не были знакомы с теорией скобок Пуассона, поэтому для них дифференцирование эффективно оценивало { X, P } в J, θ координатах .

Скобка Пуассона, в отличие от интеграла действия, имеет простой перевод в матричную механику — она обычно соответствует мнимой части произведения двух переменных, коммутатору .

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим (антисимметричное) произведение двух матриц A и B в пределе соответствия, где элементы матрицы являются медленно меняющимися функциями индекса, помня, что классически ответ равен нулю.

В пределе соответствия, когда индексы m , n большие и близкие, а k , r малы, скорость изменения элементов матрицы в диагональном направлении является матричным элементом J- производной соответствующей классической величины. Таким образом, можно сдвинуть любой элемент матрицы по диагонали через соответствие:

$$A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({dA \over dJ}\right)_{mn}$$

где правая часть на самом деле представляет собой только ( m − n )-ю компоненту Фурье dA / dJ на орбите, близкой к m к этому квазиклассическому порядку, а не полную четко определенную матрицу.

Квазиклассическая производная по времени матричного элемента получается с точностью до i путем умножения на расстояние от диагонали:

$$ikA_{m(m+k)}\approx \left({T \over 2\pi }{dA \over dt}\right)_{m(m+k)}=\left({dA \over d\theta }\right)_{m(m+k)}\,.$$

поскольку коэффициент Am _{m ( k + ) .} квазиклассически является k'-м коэффициентом Фурье m -й классической орбиты

Мнимая часть произведения A и B может быть вычислена путем сдвига элементов матрицы так, чтобы воспроизвести классический ответ, который равен нулю.

Тогда ведущий ненулевой остаток полностью определяется сдвигом. Поскольку все элементы матрицы находятся в индексах, которые находятся на небольшом расстоянии от позиции большого индекса ( m , m ), полезно ввести два временных обозначения: A [ r , k ] = A _{( m + r )( m + k )} для матриц и ( dA / dJ )[ r ] для r-ых компонент Фурье классических величин,

$${\begin{aligned}(AB-BA)[0,k]&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }\left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k]B[0,r]\right)\\&=\sum _{r}\left(\;A[-r+k,k]+(r-k){dA \over dJ}[r]\;\right)\left(\;B[0,k-r]+r{dB \over dJ}[r-k]\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.\end{aligned}}$$

Меняя переменную суммирования в первой сумме с r на r' = k − r , матричный элемент становится:

$$\sum _{r'}(\;A[r',k]-r'{dA \over dJ}[k-r']\;)\left(\;B[0,r']+(k-r'){dB \over dJ}[r']\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]$$

и ясно, что главная (классическая) часть сокращается.

Тогда главная квантовая часть без учета произведения производных более высокого порядка в выражении невязки равна

$$\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r'](k-r')A[r',k]-{dA \over dJ}[k-r']r'B[0,r']\right)$$

так что, наконец,

$$(AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r']i{dA \over d\theta }[k-r']-{dA \over dJ}[k-r']i{dB \over d\theta }[r']\right)$$

который можно отождествить с i , умноженным на k -ю классическую компоненту Фурье скобки Пуассона.

Оригинальный прием Гейзенберга с дифференцированием в конечном итоге был расширен до полного квазиклассического вывода квантового условия в сотрудничестве с Борном и Джорданом. Как только они смогли это установить

$$i\hbar \{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \qquad \longmapsto \qquad \qquad [X,P]\equiv XP-PX=i\hbar \,,$$

это условие заменило и расширило старое правило квантования, позволяя определять матричные элементы P и X для произвольной системы просто из формы гамильтониана.

Новое правило квантования считалось универсально верным , хотя вывод из старой квантовой теории требовал полуклассических рассуждений. (Однако в 1940-х годах было оценено, что полная квантовая трактовка более сложных аргументов в пользу скобок представляет собой расширение скобок Пуассона до скобок Мойала .)

Гейзенберга

Для перехода к стандартной квантовой механике самым важным дополнением стал вектор квантового состояния , который теперь пишется | ψ ⟩, который является вектором, на который действуют матрицы. Без вектора состояния неясно, какое именно движение описывают матрицы Гейзенберга, поскольку они где-то включают все движения.

Интерпретацию вектора состояния, компоненты которого обозначаются ψ _m , предоставил Борн. Такая интерпретация является статистической: результат измерения физической величины, соответствующей матрице А , является случайным, со средним значением, равным

$$\sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}\,.$$

Альтернативно, и это эквивалентно, вектор состояния дает амплитуду вероятности ψ _n для того, чтобы квантовая система находилась в энергетическом состоянии n .

Как только был введен вектор состояния, матричную механику можно было повернуть в любой базис , где матрица H больше не обязательно должна быть диагональной. Уравнение движения Гейзенберга в его первоначальной форме утверждает, что A _mn развивается во времени как компонента Фурье:

$$A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,$$

которое можно преобразовать в дифференциальную форму

$${dA_{mn} \over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,$$

и это можно переформулировать так, чтобы оно было верным для произвольного базиса, отметив, что матрица H является диагональной с диагональными значениями E _m ,

$${dA \over dt}=i(HA-AH)~.$$

Теперь это матричное уравнение, поэтому оно справедливо в любом базисе. Это современная форма уравнения движения Гейзенберга.

Его формальное решение:

$$A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.$$

Все эти формы уравнения движения, приведенные выше, говорят одно и то же: A ( t ) эквивалентно A (0) посредством поворота базиса с помощью унитарной матрицы e ^яХТ , систематическая картина, разъясненная Дираком в его обозначениях скобок.

И наоборот, каждый раз вращая основу вектора состояния на e ^яХТ , временную зависимость в матрицах можно отменить. Матрицы теперь не зависят от времени, но вектор состояния вращается.

$$|\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\;\;\;\;{d|\psi \rangle \over dt}=-iH|\psi \rangle \,.$$

Это уравнение Шредингера для вектора состояния, и это зависящее от времени изменение базиса равносильно преобразованию к картине Шредингера с ⟨ x | ψ ⟩ знак равно ψ ( Икс ).

В квантовой механике в картине Гейзенберга вектор состояния | ψ ⟩ не меняется со временем, а наблюдаемая A удовлетворяет уравнению движения Гейзенберга ,

${\frac {dA}{dt}}={i \over \hbar }[H,A]+{\frac {\partial A}{\partial t}}~.$

Дополнительный термин предназначен для таких операторов, как

$$A=(X+t^{2}P)$$

которые имеют явную зависимость от времени в дополнение к временной зависимости от обсуждаемой унитарной эволюции.

Картина Гейзенберга не отличает время от пространства, поэтому она лучше подходит для релятивистских теорий, чем уравнение Шредингера. Более того, сходство с классической физикой более очевидно: гамильтоновы уравнения движения для классической механики восстанавливаются заменой указанного выше коммутатора скобкой Пуассона (см. также ниже). По теореме Стоуна-фон Неймана картина Гейзенберга и картина Шрёдингера должны быть унитарно эквивалентны, как подробно описано ниже.

результаты

Матричная механика быстро развилась в современную квантовую механику и дала интересные физические результаты по спектрам атомов.

Волновая механика

Джордан отметил, что коммутационные соотношения гарантируют, что P действует как дифференциальный оператор .

Идентификатор оператора

$$[a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]$$

позволяет оценить коммутатор P с любой степенью X , и это означает, что

$$[P,X^{n}]=-in~X^{n-1}$$

что вместе с линейностью означает, что P -коммутатор эффективно дифференцирует любую аналитическую матрицу-функцию от X .

Если предположить, что пределы определены разумно, это распространяется на произвольные функции, но расширение не обязательно делать явным, пока не потребуется определенная степень математической строгости.

$[P,f(X)]=-if'(X)\,.$

Поскольку X будет ясно, — эрмитова матрица, она должна быть диагонализируемой, и из конечной формы P что каждое действительное число может быть собственным значением. Это усложняет некоторые математические расчеты, поскольку для каждой точки пространства существует отдельный собственный вектор.

В базисе, где X диагонально, произвольное состояние можно записать как суперпозицию состояний с собственными значениями x ,

$$|\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,,$$

так что ψ ( Икс ) знак равно ⟨ Икс | ψ ⟩, а оператор X умножает каждый собственный вектор на x ,

$$X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.$$

Определим линейный оператор D , который дифференцирует ψ ,

$$D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,,$$

и обратите внимание, что

$$(DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,,$$

так что оператор − iD подчиняется тому же коммутационному соотношению, что и P . Таким образом, разница между P и − iD должна коммутировать с X ,

$$[P+iD,X]=0\,,$$

поэтому его можно одновременно диагонализировать с X : его значение, действующее на любое собственное состояние X, является некоторой функцией f от собственного значения x .

Эта функция должна быть вещественной, поскольку P и − iD эрмитовы,

$$(P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,,$$

ротация каждого состояния $|x\rangle$ фазой f ( x ) , то есть переопределяя фазу волновой функции:

$$\psi (x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi (x)\,.$$

оператора ID переопределяется на сумму:

$$iD\rightarrow iD+f(X)\,,$$

это означает, что в повернутом базисе P равно − iD .

Следовательно, всегда существует основа для собственных значений X действие P , где известно на любую волновую функцию:

$$P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,,$$

а гамильтониан в этом базисе представляет собой линейный дифференциальный оператор на компонентах вектора состояния:

$$\left[{P^{2} \over 2m}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle$$

Таким образом, уравнение движения вектора состояния — это всего лишь знаменитое дифференциальное уравнение:

$i{\partial \over \partial t}\psi _{t}(x)=\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{t}(x)\,.$

См. Также: фотографию Шредингера.

Поскольку D является дифференциальным оператором, для его разумного определения должны существовать собственные значения X , соседние с каждым заданным значением. Это предполагает, что единственная возможность состоит в том, что пространство всех собственных значений X представляет собой все действительные числа и что P равно iD с точностью до поворота фазы .

Чтобы сделать это строгим, требуется разумное обсуждение предельного пространства функций, и в этом пространстве это теорема Стоуна-фон Неймана : любые операторы X и P , которые подчиняются коммутационным соотношениям, можно заставить действовать в пространстве волновых функций с P производный оператор. Это означает, что картина Шрёдингера всегда доступна.

Матричная механика легко естественным образом расширяется на многие степени свободы. Каждая степень свободы имеет отдельный оператор X и отдельный эффективный дифференциальный оператор P , а волновая функция является функцией всех возможных собственных значений независимых коммутирующих X. переменных

$${\begin{aligned}\left[X_{i},X_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[P_{i},P_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[X_{i},P_{j}\right]&=i\delta _{ij}\,.\end{aligned}}$$

В частности, это означает, что система N взаимодействующих частиц в трех измерениях описывается одним вектором, компоненты которого в базисе, где все X диагональны, являются математической функцией трехмерного N -мерного пространства , описывающей все их возможные положения , что фактически намного больший набор значений, чем простой набор N трехмерных волновых функций в одном физическом пространстве. Шрёдингер независимо пришёл к такому же выводу и в конце концов доказал эквивалентность своего формализма формализму Гейзенберга.

Поскольку волновая функция является свойством всей системы, а не какой-либо ее части, ее описание в квантовой механике не является полностью локальным. В описании нескольких квантовых частиц они коррелированы или запутаны . Эта запутанность приводит к странным корреляциям между удаленными частицами, которые нарушают классическое неравенство Белла .

Даже если частицы могут находиться только в двух положениях, волновая функция для N частиц требует 2 ^Н комплексные числа, по одному на каждую общую конфигурацию позиций. Это экспоненциально много чисел в N , поэтому моделирование квантовой механики на компьютере требует экспоненциальных ресурсов. И наоборот, это предполагает, что возможно найти квантовые системы размера N , которые физически вычисляют ответы на проблемы, которые классически требуют 2 ^Н биты, которые нужно решить. Это стремление лежит в основе квантовых вычислений .

Эренфеста

Основная статья: теорема Эренфеста

Для независимых от времени операторов X и P ∂ поэтому A /∂ t = 0, приведенное выше уравнение Гейзенберга сводится к:

$$i\hbar {dA \over dt}=[A,H]=AH-HA,$$

где квадратные скобки [ , ] обозначают коммутатор. Для гамильтониана, который $p^{2}/2m+V(x)$, операторы X и P удовлетворяют:

$${dX \over dt}={P \over m},\quad {dP \over dt}=-\nabla V,$$

где первое - это классическая скорость , а второе - это классическая сила или градиент потенциала . Они воспроизводят гамильтоновскую форму законов движения Ньютона . В картине Гейзенберга операторы X и P удовлетворяют классическим уравнениям движения. Вы можете взять математическое ожидание обеих частей уравнения и увидеть, что в любом состоянии | ψ ⟩:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle \\[1.5ex]{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.\end{aligned}}$$

Таким образом, законам Ньютона в точности подчиняются ожидаемые значения операторов в любом данном состоянии. Это теорема Эренфеста , которая является очевидным следствием уравнений движения Гейзенберга, но менее тривиальна в картине Шредингера, где Эренфест ее открыл.

Теория трансформации

Основная статья: Теория преобразований (квантовая механика)

В классической механике каноническим преобразованием координат фазового пространства является преобразование, сохраняющее структуру скобок Пуассона. Новые переменные x',p' имеют те же скобки Пуассона друг с другом, что и исходные переменные x,p . Эволюция времени — это каноническое преобразование, поскольку фазовое пространство в любой момент времени является таким же хорошим выбором переменных, как и фазовое пространство в любой другой момент времени.

Гамильтонов поток — это каноническое преобразование :

$${\begin{aligned}x&\rightarrow x+dx=x+{\frac {\partial H}{\partial p}}dt\\[1ex]p&\rightarrow p+dp=p-{\frac {\partial H}{\partial x}}dt~.\end{aligned}}$$

Поскольку гамильтониан может быть произвольной функцией от x и p , существуют такие бесконечно малые канонические преобразования, соответствующие каждой классической величине G , где G служит гамильтонианом для генерации потока точек в фазовом пространстве с приращением времени s :

$${\begin{aligned}dx&={\frac {\partial G}{\partial p}}ds=\left\{G,X\right\}ds\\[1ex]dp&=-{\frac {\partial G}{\partial x}}ds=\left\{G,P\right\}ds\,.\end{aligned}}$$

Для общей функции A ( x , p ) в фазовом пространстве ее бесконечно малое изменение на каждом шаге ds при этом отображении равно

$$dA={\partial A \over \partial x}dx+{\partial A \over \partial p}dp=\{A,G\}ds\,.$$

Величина G называется бесконечно малым генератором канонического преобразования.

В квантовой механике квантовый аналог G теперь представляет собой эрмитову матрицу, а уравнения движения задаются коммутаторами:

$$dA=i[G,A]ds\,.$$

Бесконечно малые канонические движения можно формально проинтегрировать, так же, как интегрировали уравнение движения Гейзенберга:

$$A'=U^{\dagger }AU$$

где U = е ^iGs и s — произвольный параметр.

Таким образом, определение квантового канонического преобразования представляет собой произвольную унитарную замену базиса в пространстве всех векторов состояния. U — произвольная унитарная матрица, комплексное вращение в фазовом пространстве,

$$U^{\dagger }=U^{-1}\,.$$

Эти преобразования оставляют сумму абсолютного квадрата компонентов волновой функции неизменной , в то время как они переводят состояния, которые кратны друг другу (включая состояния, которые являются мнимыми кратными друг другу), в состояния, которые кратны друг другу.

Интерпретация матриц состоит в том, что они действуют как генераторы движений в пространстве состояний .

Например, движение, порождаемое P , можно найти, решив уравнение движения Гейзенберга, используя P в качестве гамильтониана:

$${\begin{aligned}dX&=i[X,P]ds=ds\\[1ex]dP&=i[P,P]ds=0\,.\end{aligned}}$$

Это переводы матрицы X кратной единичной матрице,

$$X\rightarrow X+sI~.$$

Это интерпретация производного оператора D : e ^{IP-адреса} = и ^Д , экспонента производного оператора является сдвигом Лагранжа (так что оператор сдвига ).

Оператор X аналогичным образом генерирует переводы P. в Гамильтониан порождает перемещения во времени , угловой момент порождает вращения в физическом пространстве , а оператор X ² + П ² генерирует вращения в фазовом пространстве .

Когда преобразование, подобное вращению в физическом пространстве, коммутирует с гамильтонианом, это преобразование называется симметрией ( за вырождением) гамильтониана — гамильтониан, выраженный через повернутые координаты, совпадает с исходным гамильтонианом. Это означает, что изменение гамильтониана под действием генератора инфинитезимальной симметрии L исчезает:

$${dH \over ds}=i[L,H]=0\,.$$

Отсюда следует, что изменение генератора при сдвиге во времени также исчезает:

$${dL \over dt}=i[H,L]=0$$

так что матрица L постоянна во времени: она сохраняется.

Взаимосвязь генераторов бесконечно малых симметрий и законов сохранения была открыта Эмми Нётер для классической механики, где коммутаторами являются скобки Пуассона , но квантово-механические рассуждения идентичны. В квантовой механике любое преобразование унитарной симметрии приводит к закону сохранения, поскольку если матрица U обладает свойством,

$$U^{-1}HU=H$$

отсюда следует, что

$$UH=HU$$

и что производная по времени U равна нулю — она сохраняется.

Собственные значения унитарных матриц представляют собой чистые фазы, так что значение унитарной сохраняющейся величины представляет собой комплексное число единичной величины, а не действительное число. Другой способ сказать это состоит в том, что унитарная матрица является экспонентой i , умноженной на эрмитову матрицу, так что аддитивная сохраняющаяся действительная величина, фаза, четко определена только до целого числа, кратного 2π . Только когда унитарная матрица симметрии является частью семейства, которое сколь угодно близко к тождеству, сохраняющиеся действительные величины становятся однозначными, и тогда требование их сохранения становится гораздо более строгим ограничением.

Симметрии, которые могут быть непрерывно связаны с тождеством, называются непрерывными , а примерами являются сдвиги, вращения и повышения. Симметрии, которые не могут быть непрерывно связаны с тождеством, являются дискретными , примерами являются операции пространственной инверсии или четности и сопряжения зарядов .

Интерпретация матриц как генераторов канонических преобразований принадлежит Полю Дираку. показал, что соответствие между симметриями и матрицами Юджин Вигнер является полным, если включены антиунитарные матрицы, описывающие симметрии, включающие обращение времени.

Правила отбора

Гейзенбергу было физически ясно, что абсолютные квадраты матричных элементов X , которые являются коэффициентами Фурье колебаний, будут определять скорость излучения электромагнитного излучения.

В классическом пределе больших орбит, если заряд с положением X ( t ) и зарядом q колеблется рядом с равным и противоположным зарядом в положении 0, мгновенный дипольный момент равен q X ( t ) , и изменение этого момента во времени момент напрямую преобразуется в пространственно-временное изменение векторного потенциала, что приводит к образованию вложенных исходящих сферических волн.

Для атомов длина волны излучаемого света примерно в 10 000 раз превышает радиус атома, а дипольный момент является единственным вкладом в поле излучения, тогда как все остальные детали распределения атомного заряда можно игнорировать.

Если не учитывать обратную реакцию, мощность, излучаемая в каждой исходящей моде, представляет собой сумму отдельных вкладов квадрата каждой независимой временной моды Фурье d ,

$$P(\omega )={2 \over 3}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.$$

Теперь, в представлении Гейзенберга, коэффициенты Фурье дипольного момента являются матричными элементами X . Это соответствие позволило Гейзенбергу ввести правило для интенсивностей переходов, доли времени, в течение которого, начиная с начального состояния i , испускается фотон и атом переходит в конечное состояние j :

$$P_{ij}={2 \over 3}(E_{i}-E_{j})^{4}|X_{ij}|^{2}\,.$$

Это позволило затем статистически интерпретировать величину матричных элементов: они дают интенсивность спектральных линий, вероятность квантовых скачков при испускании дипольного излучения .

Поскольку скорости перехода задаются матричными элементами X , где X _ij равен нулю, соответствующий переход должен отсутствовать. Их называли правилами отбора , которые были загадкой до появления матричной механики.

Произвольное состояние атома водорода без учета спина обозначается | п ; ℓ , m ⟩, где значение ℓ является мерой полного орбитального углового момента, а m - его z -компонентой, которая определяет ориентацию орбиты. Компоненты псевдовектора углового момента :

$$L_{i}=\varepsilon _{ijk}X^{j}P^{k}$$

где произведения в этом выражении не зависят от порядка и действительны, поскольку разные компоненты X и P коммутируют.

Коммутационные отношения L со всеми тремя координатными матрицами X, Y, Z (или с любым вектором) найти легко:

$$[L_{i},X_{j}]=i\varepsilon _{ijk}X_{k}\,,$$

что подтверждает, что оператор L генерирует вращения между тремя компонентами вектора координатных матриц X .

коммутатор L _z и координатные матрицы X, Y, Z Отсюда можно прочитать :

$${\begin{aligned}\left[L_{z},X\right]&=iY\,,\\[1ex]\left[L_{z},Y\right]&=-iX\,.\end{aligned}}$$

Это означает, что величины X + iY , X − iY имеют простое правило коммутации:

$${\begin{aligned}\left[L_{z},X+iY\right]&=(X+iY)\,,\\[1ex]\left[L_{z},X-iY\right]&=-(X-iY)\,.\end{aligned}}$$

Подобно матричным элементам X + iP и X − iP для гамильтониана гармонического осциллятора, этот закон коммутации подразумевает, что эти операторы имеют только определенные недиагональные матричные элементы в состояниях определенного m ,

$$L_{z}((X+iY)|m\rangle )=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X+iY)|m\rangle$$

это означает, что матрица ( X + iY ) переводит собственный вектор L _z с собственным значением m в собственный вектор с собственным значением m + 1. Аналогично ( X − iY ) уменьшает m на одну единицу, в то время как Z не меняет значение m .

Итак, в основе | ℓ , m ⟩ состояния, где L ² и L _z имеют определенные значения, элементы матрицы любой из трех составляющих позиции равны нулю, за исключением случаев, когда m одинаково или изменяется на одну единицу.

Это накладывает ограничение на изменение полного углового момента. Любое состояние можно повернуть так, чтобы его угловой момент находился z максимально в направлении , где m = ℓ. Матричный элемент позиции, действующий на | ℓ , m ⟩ может давать только значения m , которые больше на одну единицу, так что, если координаты повернуты так, что окончательное состояние будет | ℓ',ℓ' ⟩, значение ℓ' может быть не более чем на единицу больше, чем наибольшее значение ℓ, встречающееся в исходном состоянии. Таким образом, ℓ' не более ℓ + 1.

Матричные элементы исчезают при ℓ' > ℓ + 1, а обратный матричный элемент определяется эрмитичностью, поэтому они исчезают и при ℓ' < ℓ - 1: дипольные переходы запрещены при изменении углового момента более чем на одну единицу.

Правила суммирования

Уравнение движения Гейзенберга определяет матричные элементы P в базисе Гейзенберга из матричных элементов X .

$$P_{ij}=m{d \over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij}\,,$$

которое превращает диагональную часть коммутационного соотношения в правило сумм для величин элементов матрицы:

$$\sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=i\,.$$

Это дает соотношение для суммы спектроскопических интенсивностей в любом данном состоянии и из него, хотя для абсолютной корректности в сумму необходимо включить вклады от вероятности радиационного захвата для несвязанных состояний рассеяния:

$$\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=1\,.$$

См. также

• Картинка взаимодействия
• Хорошие обозначения
• Введение в квантовую механику
• Путь Гейзенберга к матричной механике

Дальнейшее чтение

• Бернштейн, Джереми (2005). «Макс Борн и квантовая теория» . Американский журнал физики . 73 (11). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 999–1008. Бибкод : 2005AmJPh..73..999B . дои : 10.1119/1.2060717 . ISSN   0002-9505 .
• Макс Борн Статистическая интерпретация квантовой механики . Нобелевская лекция – 11 декабря 1954 г.
• Нэнси Торндайк Гринспен, « Конец определенного мира: жизнь и наука Макса Борна » (Basic Books, 2005) ISBN   0-7382-0693-8 . Также в Германии опубликовано: Макс Борн – мастер-строитель квантового мира. Биография ( Spectrum Akademischer Verlag , 2005), ISBN   3-8274-1640-X .
• Макс Джаммер Концептуальное развитие квантовой механики (McGraw-Hill, 1966)
• Джагдиш Мехра и Гельмут Рехенберг Историческое развитие квантовой теории. Том 3. Формулировка матричной механики и ее модификаций 1925–1926 гг. (Спрингер, 2001 г.) ISBN   0-387-95177-6
• Б.Л. ван дер Варден, редактор журнала «Источники квантовой механики» (Dover Publications, 1968) ISBN   0-486-61881-1
• Эйчисон, Ян-младший; Макманус, Дэвид А.; Снайдер, Томас М. (2004). «Понимание «волшебной» статьи Гейзенберга от июля 1925 года: новый взгляд на детали вычислений». Американский журнал физики . 72 (11). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 1370–1379. arXiv : Quant-ph/0404009 . дои : 10.1119/1.1775243 . ISSN   0002-9505 . S2CID   53118117 .
• Томас Ф. Джордан, Квантовая механика в простой матричной форме (Dover Publications, 2005). ISBN   978-0486445304
• Мерцбахер, Э (1968). «Матричные методы в квантовой механике». Являюсь. Дж. Физ . 36 (9): 814–821. дои : 10.1119/1.1975154 .

Внешние ссылки

• Обзор матричной механики
• Матричные методы в квантовой механике
• Квантовая механика Гейзенберга. Архивировано 16 февраля 2010 г. в Wayback Machine (происхождение теории и ее историческое развитие в 1925–27 гг.).
• Вернер Гейзенберг, интервью радио CBC, 1970 год.
• О матричной механике на MathPages