Потенциальный градиент

В физике , химии градиент потенциала — это локальная скорость изменения потенциала , т. е . по отношению к смещению пространственная производная , или градиент . Эта величина часто встречается в уравнениях физических процессов, поскольку она приводит к той или иной форме потока .

Определение

Одно измерение

Простейшее определение потенциального градиента F в одном измерении следующее: ^[1]

F={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\,\!

где $φ (x)$ — некоторый тип скалярного потенциала , а $x$ — смещение (не расстояние ) в $направлении x$ , нижние индексы обозначают две разные позиции $x 1, x 2$ и потенциалы в этих точках, $φ 1 = φ (x 1) , φ 2 знак равно φ (Икс 2)$ . В пределе бесконечно малых перемещений отношение разностей становится отношением дифференциалов :

F={\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}x}}.\,\!

Направление градиента электрического потенциала от $x_{1}$ к $x_{2}$ .

Три измерения

В трех измерениях декартовы координаты ясно показывают, что результирующий градиент потенциала представляет собой сумму градиентов потенциала в каждом направлении:

\mathbf {F} =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\,\!

где $e x, e y, e z$ — единичные векторы в $направлениях x, y, z$ . Это можно компактно записать в терминах градиента оператора $\nabla$ ,

\mathbf {F} =\nabla \phi .\,\!

хотя эта окончательная форма справедлива в любой криволинейной системе координат , а не только в декартовой.

Это выражение представляет собой важную особенность любого консервативного векторного поля $F$ , а именно, $F$ имеет соответствующий потенциал $φ$ . ^[2]

Используя теорему Стокса , это эквивалентно формулируется как

\nabla \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\,\!

это означает, что ротор векторного поля, обозначаемый ∇×, обращается в нуль.

Физика

Ньютоновская гравитация

В случае гравитационного поля $g$ , которое, как можно показать, консервативно, ^[3] он равен градиенту гравитационного потенциала $Φ$ :

\mathbf {g} =-\nabla \Phi .\,\!

Между гравитационным полем и потенциалом имеются противоположные знаки, поскольку градиент потенциала и поле противоположны по направлению: с увеличением потенциала напряженность гравитационного поля уменьшается, и наоборот.

Электромагнетизм

В электростатике электрическое поле $E$ не зависит от времени $t$ , поэтому не существует индукции зависящего от времени магнитного поля $B$ по закону индукции Фарадея :

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\boldsymbol {0}}\,,

откуда следует, $что E$ — градиент электрического потенциала $V$ , идентичный классическому гравитационному полю: ^[4]

-\mathbf {E} =\nabla V.\,\!

В электродинамике поле $E$ зависит от времени и также индуцирует зависящее от времени $поле B$ (опять же по закону Фарадея), поэтому ротор $E$ не равен нулю, как раньше, что означает, что электрическое поле больше не является градиентом электрического потенциала. Необходимо добавить зависящий от времени член: ^[5]

-\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!

где $А$ — электромагнитный векторный потенциал . Это последнее потенциальное выражение фактически сводит закон Фарадея к тождеству.

Гидравлическая механика

В механике жидкости поле скорости $v$ описывает движение жидкости. Безвихревой поток означает, что поле скорости консервативно или, что то же самое, завихренности псевдовекторное поле $ω$ равно нулю:

{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}.

Это позволяет потенциал скорости просто определить как:

\mathbf {v} =\nabla \phi

Химия

В электрохимической полуэлементе на границе между электролитом ( ионным раствором ) и металлическим электродом стандартная разность электрических потенциалов равна: ^[6]

\Delta \phi _{(M,M^{+z})}=\Delta \phi _{(M,M^{+z})}^{\ominus }+{\frac {RT}{zeN_{\text{A}}}}\ln a_{M^{+z}}\,\!

где R = газовая постоянная , T = температура растворения, z = валентность металла, e = элементарный заряд , N _A = постоянная Авогадро и a _{M ^+з} – активность ионов в растворе. Величины с верхним индексом ⊖ обозначают, что измерение выполнено в стандартных условиях . Градиент потенциала относительно резкий, поскольку существует почти определенная граница между металлом и раствором, отсюда и термин «интерфейс». ^{[ нужны разъяснения ]}

Биология

В биологии градиент потенциала – это чистая разница электрических зарядов на клеточной мембране .

Неединственность потенциалов

Поскольку градиенты в потенциалах соответствуют физическим полям , не имеет значения, добавляется ли константа (она стирается оператором градиента $\nabla,$ который включает частичное дифференцирование ). Это означает, что невозможно определить, что такое «абсолютное значение» потенциала – нулевое значение потенциала совершенно произвольно и может быть выбрано где угодно для удобства (даже «на бесконечности»). Эта идея также применима к векторным потенциалам и используется в классической теории поля , а также в теории калибровочного поля .

Абсолютные значения потенциалов физически не наблюдаются, а наблюдаются только градиенты и разности потенциалов, зависящие от пути. Однако эффект Ааронова-Бома представляет собой квантово-механический эффект, который показывает, что ненулевые электромагнитные потенциалы вдоль замкнутого контура (даже когда $поля E$ и $B$ равны нулю повсюду в области) приводят к изменениям фазы волновой функции электрически заряженная частица в этой области, поэтому потенциалы имеют измеримое значение.

Потенциальная теория

Уравнения поля , такие как законы Гаусса для электричества , магнетизма и гравитации , можно записать в виде:

\nabla \cdot \mathbf {F} =X\rho

где $ρ$ — плотность электрического заряда , плотность монополей (если они существуют) или плотность массы , а $X$ — константа (в терминах физических констант $G$ , $ε 0$ , $μ 0$ и других числовых факторов).

Градиенты скалярного потенциала приводят к уравнению Пуассона :

\nabla \cdot (\nabla \phi )=X\rho \quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\phi =X\rho

общая теория потенциалов Для решения этого уравнения для потенциала была разработана . Градиент этого решения дает физическое поле, решая уравнение поля.

См. также

Тензоры в криволинейных координатах

Ссылки

^ Основные принципы физики, П. М. Уилан, М. Дж. Ходжесон, 2-е издание, 1978 г., Джон Мюррей, ISBN 0-7195-3382-1
^ Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009 г., ISBN 978-0-07-161545-7
^ Динамика и относительность, Дж. Р. Форшоу, А. Г. Смит, Уайли, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
^ Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9
^ Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007, ISBN 81-7758-293-3
^ Физическая химия, П.В. Аткинс, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7

[1] Основные принципы физики, П. М. Уилан, М. Дж. Ходжесон, 2-е издание, 1978 г., Джон Мюррей, ISBN 0-7195-3382-1

[2] Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009 г., ISBN 978-0-07-161545-7

[3] Динамика и относительность, Дж. Р. Форшоу, А. Г. Смит, Уайли, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8

[4] Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9

[5] Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007, ISBN 81-7758-293-3

[6] Физическая химия, П.В. Аткинс, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]