Уравнение поля

В теоретической физике и прикладной математике уравнение поля — это уравнение в частных производных , которое определяет динамику физического поля , в частности, эволюцию во времени и пространственное распределение поля. Решениями уравнения являются математические функции, которые напрямую соответствуют полю как функции времени и пространства. Поскольку уравнение поля является уравнением в частных производных, существуют семейства решений, которые представляют множество физических возможностей. Обычно существует не одно уравнение, а набор связанных уравнений, которые необходимо решать одновременно. Уравнения поля не являются обычными дифференциальными уравнениями , поскольку поле зависит от пространства и времени, для чего требуется как минимум две переменные.

Хотя « волновое уравнение », « уравнение диффузии » и « уравнение неразрывности » имеют стандартные формы (и различные частные случаи или обобщения), не существует единого специального уравнения, называемого «уравнением поля».

Эта тема в общих чертах распадается на уравнения классической теории поля и квантовой теории поля . Классические уравнения поля описывают многие физические свойства, такие как температура вещества, скорость жидкости, напряжения в упругом материале, электрические и магнитные поля от тока и т. д. ^[1] Они также описывают фундаментальные силы природы, такие как электромагнетизм и гравитация. ^[2]^[3] В квантовой теории поля частицы или системы «частиц», такие как электроны и фотоны , связаны с полями, что допускает бесконечные степени свободы (в отличие от конечных степеней свободы в механике частиц) и переменное количество частиц, которые могут создаваться или уничтожаться .

Общие сведения

Источник

Обычно уравнения поля постулируются (например, уравнения поля Эйнштейна и уравнение Шредингера , лежащее в основе всех квантовых уравнений поля) или получаются из результатов экспериментов (например, уравнения Максвелла ). Степень их достоверности — это их способность правильно прогнозировать и согласовываться с экспериментальными результатами.

С теоретической точки зрения уравнения поля могут быть сформулированы в рамках лагранжевой теории поля , гамильтоновой теории поля и теоретико-полевых формулировок принципа стационарного действия . ^[4] При наличии подходящей плотности лагранжиана или гамильтониана, функции полей в данной системе, а также их производных, принцип стационарного действия приведет к уравнению поля.

Симметрия

И в классической, и в квантовой теориях уравнения поля удовлетворяют симметрии базовой физической теории. В большинстве случаев симметрии Галилея достаточно для скоростей (распространяющихся полей) намного меньших, чем скорость света. Когда частицы и поля распространяются со скоростями, близкими к световой, симметрия Лоренца является одной из наиболее распространенных настроек, поскольку тогда уравнение и его решения согласуются со специальной теорией относительности.

Другая симметрия возникает из-за калибровочной свободы , которая присуща уравнениям поля. Поля, соответствующие взаимодействиям, могут быть калибровочными полями , что означает, что они могут быть получены из потенциала, и определенные значения потенциалов соответствуют одному и тому же значению поля.

Классификация

Уравнения поля можно классифицировать по-разному: классические или квантовые, нерелятивистские или релятивистские, в зависимости от спина или массы поля, а также количества компонентов поля и того, как они изменяются при преобразованиях координат (например, скалярные поля , векторные поля , тензорные поля , спинорные поля , твисторные поля и т. д.). Они также могут наследовать классификацию дифференциальных уравнений, как линейные или нелинейные , порядок старшей производной или даже как дробные дифференциальные уравнения . Калибровочные поля можно классифицировать как в теории групп , как абелевы и неабелевы.

Волны

Уравнения поля лежат в основе волновых уравнений, поскольку периодически меняющиеся поля порождают волны. Волновые уравнения можно рассматривать как уравнения поля в том смысле, что их часто можно вывести из уравнений поля. Альтернативно, при наличии подходящих лагранжевых или гамильтониановых плотностей и использовании принципа стационарного действия можно также получить волновые уравнения.

Например, уравнения Максвелла можно использовать для вывода уравнений неоднородных электромагнитных волн , а из уравнений поля Эйнштейна можно вывести уравнения для гравитационных волн .

Дополнительные уравнения к уравнениям поля

Не каждое уравнение в частных производных (ЧДУ) в физике автоматически называется «уравнением поля», даже если в нем участвуют поля. Это дополнительные уравнения, обеспечивающие дополнительные ограничения для данной физической системы.

« Уравнения непрерывности » и « уравнения диффузии » описывают явления переноса , хотя они могут включать в себя поля, влияющие на процессы переноса.

Если « определяющее уравнение » принимает форму УЧП и включает поля, его обычно не называют уравнением поля, поскольку оно не управляет динамическим поведением полей. Они связывают одно поле с другим в данном материале. Определяющие уравнения используются наряду с уравнениями поля, когда необходимо принять во внимание влияние материи.

Классическое уравнение поля

Классические уравнения поля возникают в механике сплошных сред (включая эластодинамику и механику жидкости ), теплопередаче , электромагнетизме и гравитации .

Фундаментальные классические уравнения поля включают

Закон всемирного тяготения Ньютона для нерелятивистской гравитации.
Уравнения поля Эйнштейна для релятивистской гравитации
Уравнения Максвелла для электромагнетизма.

Важные уравнения, выведенные из фундаментальных законов, включают:

Уравнения Навье–Стокса для течения жидкости.

В рамках реальных процессов математического моделирования классические уравнения поля сопровождаются другими уравнениями движения , уравнениями состояния , определяющими уравнениями и уравнениями неразрывности.

Уравнение квантового поля

В квантовой теории поля частицы описываются квантовыми полями, удовлетворяющими уравнению Шрёдингера . Они также являются операторами рождения и уничтожения , которые удовлетворяют коммутационным соотношениям и подчиняются теореме спин-статистики .

Частные случаи релятивистских квантовых уравнений поля включают ^[5]

уравнение Клейна – Гордона для частиц со спином 0
уравнение Дирака для частиц со спином 1/2
уравнения Баргмана –Вигнера для частиц любого спина

В уравнениях квантового поля обычно используются компоненты импульса частицы вместо координат положения частицы, поля находятся в пространстве импульсов , и преобразования Фурье связывают их с представлением положения.

См. также

Ссылки

^ Феттер, Алабама; Валецка, JD (1980). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Дувр. стр. 439, 471. ISBN. 978-0-486-43261-8 .
^ Джексон, JD (1975) [1962]. Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . п. 218 . ISBN 0-471-43132-Х .
^ Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . п. 297. ИСБН 0-7506-2768-9 .
^ Гольдштейн, Герберт (1980). «Глава 12: Непрерывные системы и поля». Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. стр. 548 , 562. ISBN. 0201029189 .
^ Олссон, Т (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля . Издательство Кембриджского университета. стр. 23, 42, 44. ISBN. 978-1-139-50432-4 .

Общий

Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2 .

Внешние ссылки

JCA Веверс (1999). «Физический справочник» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 27 декабря 2016 года . Проверено 27 декабря 2016 г.
Гленн Элерт (1998). «Часто используемые уравнения» . Проверено 27 декабря 2016 г.

[1] Феттер, Алабама; Валецка, JD (1980). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Дувр. стр. 439, 471. ISBN. 978-0-486-43261-8 .

[2] Джексон, JD (1975) [1962]. Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . п. 218 . ISBN 0-471-43132-Х .

[3] Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . п. 297. ИСБН 0-7506-2768-9 .

[4] Гольдштейн, Герберт (1980). «Глава 12: Непрерывные системы и поля». Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. стр. 548 , 562. ISBN. 0201029189 .

[5] Олссон, Т (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля . Издательство Кембриджского университета. стр. 23, 42, 44. ISBN. 978-1-139-50432-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]