Гамильтонова теория поля

В теоретической физике гамильтонова теория поля является теоретико-полевым аналогом классической гамильтоновой механики . Это формализм классической теории поля наряду с лагранжевой теорией поля . Он также имеет приложения в квантовой теории поля .

Определение

Гамильтониан . системы дискретных частиц является функцией их обобщенных координат и сопряженных импульсов, а возможно, и времени Для континуумов и полей гамильтонова механика непригодна, но ее можно расширить, рассмотрев большое количество точечных масс и приняв непрерывный предел, то есть бесконечное количество частиц, образующих континуум или поле. Поскольку каждая точечная масса имеет одну или несколько степеней свободы , формулировка поля имеет бесконечно много степеней свободы.

Одно скалярное поле

Плотность гамильтониана является непрерывным аналогом полей; это функция полей, сопряженных полей «импульса» и, возможно, самих координат пространства и времени. Для одного скалярного поля $φ (x, t)$ плотность гамильтониана определяется из плотности лагранжа по формуле ^{[номер 1]}

{\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t)={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,.

с $\nabla$ оператором «del» или «nabla» , $x$ — вектор положения некоторой точки в пространстве, а $t$ — время . Плотность Лагранжа является функцией полей в системе, их производных по пространству и времени и, возможно, самих пространственно-временных координат. Это полевой аналог функции Лагранжа для системы дискретных частиц, описываемой обобщенными координатами.

Как и в гамильтоновой механике, где каждая обобщенная координата имеет соответствующий обобщенный импульс, поле $φ (x, t)$ имеет сопряженное поле импульса $π (x, t)$ , определяемое как частная производная лагранжевой плотности относительно производной по времени поле,

\pi ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,\quad {\dot {\phi }}\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\,,

в котором перебор ^{[номер 2]} обозначает частичную производную по времени $\partial/\partial t$ , а не полную производную по времени $d / dt$ .

Множество скалярных полей

Для многих полей $φ i (x, t)$ и их сопряженных $π i (x, t)$ плотность гамильтониана является функцией их всех:

{\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.

где каждое сопряженное поле определяется относительно своего поля,

\pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.

В общем, для любого количества полей объемный интеграл от плотности гамильтониана дает гамильтониан в трех пространственных измерениях:

H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.

Плотность гамильтониана — это гамильтониан на единицу пространственного объема. Соответствующее измерение — [энергия][длина] ⁻³, в единицах СИ Джоули на кубический метр, Дж·м ⁻³.

Тензорные и спинорные поля

Приведенные выше уравнения и определения могут быть распространены на векторные поля и, в более общем плане, на тензорные и спинорные поля . В физике тензорные поля описывают бозоны , а спинорные поля — фермионы .

Уравнения движения

Уравнения движения полей аналогичны гамильтоновым уравнениям для дискретных частиц. Для любого количества полей:

Уравнения гамильтонового поля

${\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,$

где снова точки над точками являются частными производными по времени, вариационной производной по полям

{\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial (\nabla \phi _{i})}}\,,

с · скалярное произведение должно использоваться вместо простых частных производных .

Фазовое пространство

Поля $φ i$ и сопряженные $π i$ образуют бесконечномерное фазовое пространство , поскольку поля имеют бесконечное число степеней свободы.

скобка Пуассона

Для двух функций, которые зависят от полей $φ i$ и $π i$ , их пространственных производных, а также пространственных и временных координатах,

A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

и поля равны нулю на границе объема, в который берутся интегралы, теоретико-полевая скобка Пуассона определяется как (не путать с коммутатором из квантовой механики). ^[1]

[A,B]_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,

где $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$ является вариационной производной

{\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.

При тех же условиях исчезновения полей на поверхности для временной эволюции $A$ (аналогично для $B$ ) справедлив следующий результат:

{\frac {dA}{dt}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}

который можно найти из полной производной по времени $A$ , интегрирования по частям и использования приведенной выше скобки Пуассона.

Явная независимость от времени

Следующие результаты верны, если плотности лагранжиана и гамильтона явно не зависят от времени (они все еще могут иметь неявную зависимость от времени через поля и их производные):

Кинетическая и потенциальная плотности энергии

Плотность гамильтониана — это плотность полной энергии, сумма плотности кинетической энергии ( ${\mathcal {T}}$ ) и плотность потенциальной энергии ( ${\mathcal {V}}$ ),

{\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.

Уравнение непрерывности

Взяв частную производную по времени из определения плотности гамильтониана, приведенного выше, и используя цепное правило для неявного дифференцирования и определения поля сопряженного импульса, получаем уравнение непрерывности :

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0

в котором плотность гамильтониана можно интерпретировать как плотность энергии, и

\mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

поток энергии, или поток энергии в единицу времени на единицу площади поверхности.

Релятивистская теория поля

Ковариантная гамильтонова теория поля — это релятивистская формулировка гамильтоновой теории поля.

Гамильтонова теория поля обычно означает симплектический гамильтонов формализм применительно к классической теории поля , который принимает форму мгновенного гамильтонова формализма на бесконечномерном фазовом пространстве и где канонические координаты являются полевыми функциями в некоторый момент времени. ^[2] Этот гамильтонов формализм применяется к квантованию полей , например, в квантовой калибровочной теории . В ковариантной гамильтоновой теории поля канонические импульсы p ^м_i соответствует производным полей по всем мировым координатам x ^м. ^[3] Ковариантные уравнения Гамильтона эквивалентны уравнениям Эйлера–Лагранжа в случае гиперрегулярных лагранжианов . Ковариантная гамильтонова теория поля развита в теории Гамильтона – Де Дондера: ^[4] полисимплектический, ^[5] мультисимплектический ^[6] и k -симплектический ^[7] варианты. Фазовое пространство ковариантной гамильтоновой теории поля представляет собой конечномерное полисимплектическое или мультисимплектическое многообразие.

Гамильтонова неавтономная механика формулируется как ковариантная гамильтонова теория поля на расслоениях по оси времени, т.е. вещественная линия $\mathbb {R}$ .

См. также

Примечания

^ Сокращать все производные и координаты лагранжевой плотности следующим образом — это стандартное злоупотребление обозначениями:
${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })$
μ $—$ это индекс, который принимает значения 0 (для временной координаты) и 1, 2, 3 (для пространственных координат), поэтому будет присутствовать строго только одна производная или координата. В общем, все пространственные и временные производные появятся в лагранжевой плотности, например в декартовых координатах лагранжева плотность имеет полный вид:
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
Здесь мы пишем то же самое, но используя ∇ для обозначения всех пространственных производных как вектора.
^ Это стандартное обозначение в этом контексте, в большей части литературы прямо не упоминается, что это частная производная. В общем случае полные и частные производные функции по времени не совпадают.

Цитаты

^ Грейнер и Рейнхардт, 1996 , Глава 2.
^ Готай, М., Мультисимплектическая основа классической теории поля и вариационного исчисления. II. Разложение пространства + времени, в книге «Механика, анализ и геометрия: 200 лет после Лагранжа» (Северная Голландия, 1991).
^ Джачетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. , «Передовая классическая теория поля», World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .
^ Крупкова О., Гамильтонова теория поля, J. Geom. Физ. 43 (2002) 93.
^ Джачетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. , Ковариантные гамильтоновы уравнения для теории поля, J. Phys. А32 (1999) 6629; arXiv : hep-th/9904062 .
^ Эчеверриа-Энрикес, А., Мунос-Леканда, М., Роман-Рой, Н., Геометрия мультисимплектических гамильтоновых теорий поля первого порядка, J. Math. Физ. 41 (2002) 7402.
^ Рей, А., Роман-Рой, Н. Салдаго, М., Формализм Гюнтера ( k -симплектический формализм) в классической теории поля: подход Скиннера-Раска и оператор эволюции, J. Math. Физ. 46 (2005) 052901.

Ссылки

Бадин, Г.; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка жидкости и геофизическая гидродинамика - Механика, симметрия и законы сохранения - . Спрингер. п. 218. Бибкод : 2018vffg.book.....B . дои : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5 . S2CID 125902566 .
Гольдштейн, Герберт (1980). «Глава 12: Непрерывные системы и поля». Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. стр. 562–565. ISBN 0201029189 .
Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer, ISBN 3-540-59179-6
Феттер, Алабама; Валецка, JD (1980). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Дувр. стр. 258–259. ISBN 978-0-486-43261-8 .

[1] Сокращать все производные и координаты лагранжевой плотности следующим образом — это стандартное злоупотребление обозначениями:
${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })$
μ $—$ это индекс, который принимает значения 0 (для временной координаты) и 1, 2, 3 (для пространственных координат), поэтому будет присутствовать строго только одна производная или координата. В общем, все пространственные и временные производные появятся в лагранжевой плотности, например в декартовых координатах лагранжева плотность имеет полный вид:
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
Здесь мы пишем то же самое, но используя ∇ для обозначения всех пространственных производных как вектора.

[2] Это стандартное обозначение в этом контексте, в большей части литературы прямо не упоминается, что это частная производная. В общем случае полные и частные производные функции по времени не совпадают.

[3] Грейнер и Рейнхардт, 1996 , Глава 2.

[4] Готай, М., Мультисимплектическая основа классической теории поля и вариационного исчисления. II. Разложение пространства + времени, в книге «Механика, анализ и геометрия: 200 лет после Лагранжа» (Северная Голландия, 1991).

[5] Джачетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. , «Передовая классическая теория поля», World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .

[6] Крупкова О., Гамильтонова теория поля, J. Geom. Физ. 43 (2002) 93.

[7] Джачетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. , Ковариантные гамильтоновы уравнения для теории поля, J. Phys. А32 (1999) 6629; arXiv : hep-th/9904062 .

[8] Эчеверриа-Энрикес, А., Мунос-Леканда, М., Роман-Рой, Н., Геометрия мультисимплектических гамильтоновых теорий поля первого порядка, J. Math. Физ. 41 (2002) 7402.

[9] Рей, А., Роман-Рой, Н. Салдаго, М., Формализм Гюнтера ( k -симплектический формализм) в классической теории поля: подход Скиннера-Раска и оператор эволюции, J. Math. Физ. 46 (2005) 052901.

[номер 1]

[номер 2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]