Классическая механика Купмана – фон Неймана

Теория Неймана (KvN) представляет собой описание классической механики как операторной теории, аналогичной квантовой механике , основанной на гильбертовом пространстве комплексных Купмана- фон волновых функций , интегрируемых с квадратом . Как следует из названия, теория KvN во многом связана с работами Бернарда Купмана и Джона фон Неймана в 1931 и 1932 годах соответственно. Однако, как поясняется в этой статье, историческое происхождение теории и ее названия сложны.

История

Статистическая механика описывает макроскопические системы в терминах статистических ансамблей , таких как макроскопические свойства идеального газа . Эргодическая теория — раздел математики, возникший в результате изучения статистической механики.

Эргодическая теория

Истоки теории Купмана–фон Неймана тесно связаны с появлением эргодической теории как самостоятельного раздела математики, в частности с Больцмана эргодической гипотезой .

В 1931 году Купман и Андре Вейль независимо заметил, что фазовое пространство классической системы можно преобразовать в гильбертово пространство. Согласно этой формулировке, функции, представляющие физические наблюдаемые, становятся векторами, внутренний продукт которых определяется в терминах естественного правила интегрирования по плотности вероятности системы в фазовом пространстве. Такая переформулировка позволяет сделать интересные выводы об эволюции физических наблюдаемых из теоремы Стоуна , доказанной незадолго до этого. Это открытие вдохновило фон Неймана применить новый формализм к эргодической проблеме. Впоследствии он опубликовал несколько плодотворных результатов в современной эргодической теории, включая доказательство своей средней эргодической теоремы .

Историческая неправильная атрибуция

Теория Купмана-фон Неймана сегодня часто используется для обозначения переформулировки классической механики, в которой плотность вероятности классической системы в фазовом пространстве выражается через базовую волновую функцию, а это означает, что векторы классического гильбертова пространства являются волновыми функциями, а не волновыми. чем физические наблюдаемые.

Этот подход исходил не от Купмана или фон Неймана, для которых классическое гильбертово пространство состояло из физических наблюдаемых, а не из волновых функций. Действительно, как отметили в 1961 году Томас Ф. Джордан и ЕС Джордж Сударшан :

Купман показал, как динамические преобразования классической механики, рассматриваемые как сохраняющие меру преобразования фазового пространства, вызывают унитарные преобразования в гильбертовом пространстве функций, интегрируемых с квадратом относительно функции плотности по фазовому пространству. Эта формулировка классической механики в гильбертовом пространстве была далее развита фон Нейманом. Следует отметить, что это гильбертово пространство соответствует не пространству векторов состояния в квантовой механике, а гильбертовому пространству операторов на векторах состояния (в качестве скалярного произведения выбран след произведения двух операторов).

Практика выражения классических распределений вероятностей в фазовом пространстве через основные волновые функции восходит, по крайней мере, к работам Марио Шенберга 1952–1953 годов по статистической механике. Этот метод был независимо разработан еще несколько раз Анджело Лоингером в 1962 году. Джакомо Делла Ричча и Норберт Винер в 1966 году, и самим ЕС Джорджем Сударшаном в 1976 году.

Таким образом, название «теория Купмана-фон Неймана» для представления классических систем, основанных на гильбертовых пространствах, состоящих из классических волновых функций, является примером закона эпонимии Стиглера . Похоже, что это неверное определение впервые появилось в статье Данило Мауро в 2002 году.

Определение и динамика

Вывод, исходя из уравнения Лиувилля

В подходе Купмана и фон Неймана (KvN) динамика в фазовом пространстве описывается (классической) плотностью вероятности, восстановленной из базовой волновой функции – волновой функции Купмана – фон Неймана – как квадрата ее абсолютного значения (точнее, как амплитуда, умноженная на собственное комплексно-сопряженное число ). Это аналогично правилу Борна в квантовой механике. В рамках KvN наблюдаемые представлены коммутирующими самосопряженными операторами, действующими в гильбертовом пространстве волновых функций KvN. Коммутативность физически означает, что все наблюдаемые одновременно измеримы. Сравните это с квантовой механикой, где наблюдаемым не нужно коммутировать, что подчеркивает принцип неопределенности , теорему Кохена-Спкера и неравенства Белла .

Предполагается, что волновая функция KvN развивается согласно тому же уравнению Лиувилля, что и классическая плотность вероятности. Из этого постулата можно показать, что динамика плотности вероятности действительно восстанавливается.

Динамика плотности вероятности (доказательство)

В классической статистической механике плотность вероятности (относительно меры Лиувилля ) подчиняется уравнению Лиувилля $$i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x,p,t)={\hat {L}}\rho (x,p,t)$$ с самосопряженным лиувиллианом $${\hat {L}}=-i{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}},$$ где $H(x,p)$ обозначает классический гамильтониан (т.е. лиувиллиан $i$ раз векторное поле Гамильтона, рассматриваемое как дифференциальный оператор первого порядка). Такое же динамическое уравнение постулируется и для волновой функции KvN $$i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,p,t)={\hat {L}}\psi (x,p,t),$$ таким образом $${\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,p,t)=\left[-{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}}\right]\psi (x,p,t),$$ и для его комплексно-сопряженного $${\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{*}(x,p,t)=\left[-{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}}\right]\psi ^{*}(x,p,t).$$ От $$\rho (x,p,t)=\psi ^{*}(x,p,t)\psi (x,p,t)$$ следует с использованием правила произведения, согласно которому $${\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x,p,t)=\left[-{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}}\right]\rho (x,p,t)$$ что доказывает, что динамику плотности вероятности можно восстановить по волновой функции KvN.

Примечание

Последний шаг этого вывода основан на классическом операторе Лиувилля, содержащем производные только первого порядка по координате и импульсу; в квантовой механике дело обстоит иначе, где уравнение Шредингера содержит производные второго порядка.

Вывод, исходя из аксиом оператора

И наоборот, можно начать с операторных постулатов, подобных аксиомам гильбертова пространства квантовой механики , и вывести уравнение движения, указав, как развиваются значения ожидания.

Соответствующие аксиомы заключаются в том, что, как и в квантовой механике (i) состояния системы представлены нормализованными векторами комплексного гильбертова пространства, а наблюдаемые задаются самосопряженными операторами, действующими в этом пространстве, (ii) математическое ожидание наблюдаемая получается таким же образом, как математическое ожидание в квантовой механике , (iii) вероятности измерения определенных значений некоторых наблюдаемых вычисляются по правилу Борна , и (iv) пространство состояний составная система - это тензорное произведение пространств подсистемы.

Математическая форма аксиом оператора

Вышеупомянутые аксиомы (i)–(iv) со скалярным произведением , записанным в скобках , имеют вид

1. $\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =1$,
2. Ожидаемое значение наблюдаемой ${\hat {A}}$ во время $t$ является $\langle A(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle .$
3. Вероятность того, что измерение наблюдаемой ${\hat {A}}$ во время $t$ урожайность $A$ является $\left|\langle A|\Psi (t)\rangle \right|^{2}$, где ${\hat {A}}|A\rangle =A|A\rangle$. (Эта аксиома является аналогом правила Борна в квантовой механике. )
4. (см. Тензорное произведение гильбертовых пространств ).

Эти аксиомы позволяют восстановить формализм как классической, так и квантовой механики. В частности, в предположении, что классические операторы положения и импульса коммутируют , уравнение Лиувилля для волновой функции KvN восстанавливается из усредненных законов движения Ньютона . Однако если координата и импульс подчиняются каноническому коммутационному соотношению , уравнение Шрёдингера получается квантовой механики.

Вывод классической механики из операторных аксиом

Мы начнем со следующих уравнений для средних значений координаты x и импульса p

$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\qquad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\langle -U'(x)\rangle ,$

иначе говоря, законы движения Ньютона, усредненные по ансамблю. С помощью аксиом операторов их можно переписать в виде

${\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {x}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle ,\\{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|-U'({\hat {x}})|\Psi (t)\rangle .\end{aligned}}$

Обратите внимание на близкое сходство с теоремами Эренфеста в квантовой механике. Применение правила произведения приводит к

${\begin{aligned}\langle d\Psi /dt|{\hat {x}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {x}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |{\hat {p}}/m|\Psi \rangle ,\\\langle d\Psi /dt|{\hat {p}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {p}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |-U'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}$

в которое подставим следствие теоремы Стоуна $i|d\Psi (t)/dt\rangle ={\hat {L}}|\Psi (t)\rangle$ и получить

${\begin{aligned}im\langle \Psi (t)|[{\hat {L}},{\hat {x}}]|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle ,\\i\langle \Psi (t)|[{\hat {L}},{\hat {p}}]|\Psi (t)\rangle &=-\langle \Psi (t)|U'({\hat {x}})|\Psi (t)\rangle .\end{aligned}}$

Поскольку эти тождества должны выполняться для любого начального состояния, то усреднение можно отбросить и систему коммутаторных уравнений относительно неизвестного ${\hat {L}}$ является производным

$im[{\hat {L}},{\hat {x}}]={\hat {p}},\qquad i[{\hat {L}},{\hat {p}}]=-U'({\hat {x}}).$ ( уравнения коммутатора для L )

Предположим, что координата и импульс коммутируют $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=0$. Это предположение физически означает, что координата и импульс классической частицы могут быть измерены одновременно, что подразумевает отсутствие принципа неопределенности .

Решение ${\hat {L}}$ не может быть просто вида ${\hat {L}}=L({\hat {x}},{\hat {p}})$ потому что это будет означать сокращения $im[L({\hat {x}},{\hat {p}}),{\hat {x}}]=0={\hat {p}}$ и $i[L({\hat {x}},{\hat {p}}),{\hat {p}}]=0=-U'({\hat {x}})$. Поэтому мы должны использовать дополнительные операторы ${\hat {\lambda }}_{x}$ и ${\hat {\lambda }}_{p}$ подчиняясь

$[{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x}]=[{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p}]=i,\quad [{\hat {x}},{\hat {p}}]=[{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{p}]=[{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{x}]=[{\hat {\lambda }}_{x},{\hat {\lambda }}_{p}]=0.$ ( KvN algebra )

Необходимость использования этих вспомогательных операторов возникает потому, что все классические наблюдаемые коммутируют. Теперь мы ищем ${\hat {L}}$ в форме ${\hat {L}}=L({\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x},{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p})$. Используя алгебру KvN , уравнения коммутатора для L можно преобразовать в следующие дифференциальные уравнения:

$mL'_{\lambda _{x}}(x,\lambda _{x},p,\lambda _{p})=p,\qquad L'_{\lambda _{p}}(x,\lambda _{x},p,\lambda _{p})=-U'(x).$

Отсюда заключаем, что классическая волновая функция KvN $|\Psi (t)\rangle$ развивается согласно типа Шредингера уравнению движения

$i{\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle ={\hat {L}}|\Psi (t)\rangle ,\qquad {\hat {L}}={\frac {\hat {p}}{m}}{\hat {\lambda }}_{x}-U'({\hat {x}}){\hat {\lambda }}_{p}.$ ( динамическое уравнение КВН )

Покажем явно, что динамическое уравнение KvN эквивалентно классической механике Лиувилля .

С ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ ездят на работу, у них общие собственные векторы

${\hat {x}}|x,p\rangle =x|x,p\rangle ,\quad {\hat {p}}|x,p\rangle =p|x,p\rangle ,\quad A({\hat {x}},{\hat {p}})|x,p\rangle =A(x,p)|x,p\rangle ,$ ( xp собственный век )

с разрешением личности ${\textstyle 1=\int dx\,dp\,|x,p\rangle \langle x,p|.}$ получаем Тогда из уравнения ( алгебры КвН ) $$\langle x,p|{\hat {\lambda }}_{x}|\Psi \rangle =-i{\frac {\partial }{\partial x}}\langle x,p|\Psi \rangle ,\qquad \langle x,p|{\hat {\lambda }}_{p}|\Psi \rangle =-i{\frac {\partial }{\partial p}}\langle x,p|\Psi \rangle .$$ Проецирование уравнения ( динамическое уравнение КВН ) на $\langle x,p|$, получим уравнение движения волновой функции KvN в xp-представлении

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {p}{m}}{\frac {\partial }{\partial x}}-U'(x){\frac {\partial }{\partial p}}\right]\langle x,p|\Psi (t)\rangle =0.$ ( Динамическое уравнение КВН в XP )

Количество $\langle x,\,p|\Psi (t)\rangle$ - амплитуда вероятности того, что классическая частица окажется в точке $x$ с импульсом $p$ во время $t$. Согласно приведенным выше аксиомам , плотность вероятности определяется выражением $\rho (x,p;t)=\left|\langle x,p|\Psi (t)\rangle \right|^{2}$. Использование личности $${\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x,p;t)=\langle \Psi (t)|x,p\rangle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle x,p|\Psi (t)\rangle +\langle x,p|\Psi (t)\rangle \left({\frac {\partial }{\partial t}}\langle x,p|\Psi (t)\rangle \right)^{*}$$ а также ( динамическое уравнение KvN в xp ) восстанавливаем классическое уравнение Лиувилля

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {p}{m}}{\frac {\partial }{\partial x}}-U'(x){\frac {\partial }{\partial p}}\right]\rho (x,p;t)=0.$ ( уравнение Лиувилля )

Более того, согласно аксиомам оператора и ( xp eigenvec ), $${\begin{aligned}\langle A\rangle &=\langle \Psi (t)|A({\hat {x}},{\hat {p}})|\Psi (t)\rangle =\int dx\,dp\,\langle \Psi (t)|x,p\rangle A(x,p)\langle x,p|\Psi (t)\rangle \\&=\int dx\,dp\,A(x,p)\langle \Psi (t)|x,p\rangle \langle x,p|\Psi (t)\rangle =\int dx\,dp\,A(x,p)\rho (x,p;t).\end{aligned}}$$ Поэтому правило расчета средних наблюдаемых $A(x,p)$ в классической статистической механике был восстановлен из аксиом оператора с дополнительным предположением $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=0$. В результате фаза классической волновой функции не дает вклада в наблюдаемые средние значения. В отличие от квантовой механики, фаза волновой функции KvN физически не имеет значения. Следовательно, не существует двухщелевого эксперимента. а также эффект Ааронова-Бома Установлен в КВН механикой.

Проецирование динамического уравнения KvN на общий собственный вектор операторов ${\hat {x}}$ и ${\hat {\lambda }}_{p}$ (т.е. $x\lambda _{p}$-представление) получается классическая механика в удвоенном конфигурационном пространстве, чье обобщение приводит к формулировке квантовой механики в фазовом пространстве .

Вывод квантовой механики из аксиом оператора

Как и при выводе классической механики , мы начинаем со следующих уравнений для средних значений координаты x и импульса p

$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\qquad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\langle -U'(x)\rangle .$

С помощью аксиом операторов их можно переписать в виде

${\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {x}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle ,\\{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|-U'({\hat {x}})|\Psi (t)\rangle .\end{aligned}}$

Это теоремы Эренфеста в квантовой механике. Применение правила произведения приводит к

${\begin{aligned}\langle d\Psi /dt|{\hat {x}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {x}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |{\hat {p}}/m|\Psi \rangle ,\\\langle d\Psi /dt|{\hat {p}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {p}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |-U'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}$

в которое подставим следствие теоремы Стоуна

$i\hbar |d\Psi (t)/dt\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ,$

где $\hbar$ был введен как константа нормализации для баланса размерности. Поскольку эти тождества должны выполняться для любого начального состояния, то усреднение можно отбросить и система уравнений коммутатора для неизвестного квантового генератора движения ${\hat {H}}$ являются производными

$im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar U'({\hat {x}}).$

В отличие от случая классической механики мы предполагаем, что наблюдаемые координаты и импульса подчиняются каноническому коммутационному соотношению $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$. Параметр ${\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})$, уравнения коммутатора можно преобразовать в дифференциальные уравнения

$mH'_{p}(x,p)=p,\qquad H'_{x}(x,p)=U'(x),$

решением которого является знакомый квантовый гамильтониан

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+U({\hat {x}}).$

Таким образом, уравнение Шредингера было получено на основе теорем Эренфеста путем предположения канонического коммутационного соотношения между координатой и импульсом. Этот вывод, как и вывод классической механики КВН, показывает, что разница между квантовой и классической механикой по существу сводится к значению коммутатора $[{\hat {x}},{\hat {p}}]$.

Измерения

В гильбертовом пространстве и операторной формулировке классической механики волновая функция Купмана фон Неймана принимает форму суперпозиции собственных состояний, и измерение сжимает волновую функцию KvN в собственное состояние, с которым связан результат измерения, по аналогии с коллапсом волновой функции квантовая механика.

Однако можно показать, что для классической механики Купмана – фон Неймана неселективные измерения оставляют волновую функцию KvN неизменной.

КВН против механиков Лиувилля

Динамическое уравнение KvN ( KvNdynamical eq in xp ) и уравнение Лиувилля ( Liouville eq ) являются линейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка . восстанавливаются Законы движения Ньютона , применяя метод характеристик к любому из этих уравнений. Следовательно, ключевое различие между механикой KvN и механикой Лиувилля заключается во взвешивании отдельных траекторий: в механике KvN могут использоваться произвольные веса, лежащие в основе классической волновой функции, тогда как в механике Лиувилля допускаются только положительные веса, представляющие плотность вероятности ( посмотрите эту схему ).

Существенное различие между механикой KvN и механикой Лиувилля заключается в взвешивании (раскраске) ​​отдельных траекторий: в механике KvN можно использовать любые веса, тогда как в механике Лиувилля допускаются только положительные веса. В обоих случаях частицы движутся по ньютоновским траекториям. ( Что касается динамического примера, см. ниже. )

Квантовая аналогия

Будучи явно основанной на языке гильбертового пространства, классическая механика KvN заимствует многие методы квантовой механики, например возмущений и диаграммы. методы а также методы функционального интеграла . Подход КВН является очень общим и распространен на диссипативные системы . релятивистская механика , и классические теории поля .

Подход КВН плодотворен в исследованиях квантово -классического соответствия поскольку это показывает, что формулировка гильбертова пространства не является исключительно квантовомеханической. Даже спиноры Дирака не являются исключительно квантовыми, поскольку они используются в релятивистском обобщении механики КВН. Подобно более известной формулировке квантовой механики в фазовом пространстве , подход KvN можно понимать как попытку объединить классическую и квантовую механику в общую математическую структуру. Фактически, временная эволюция функции Вигнера в классическом пределе приближается к временной эволюции волновой функции KvN классической частицы. Однако математическое сходство с квантовой механикой не подразумевает наличие характерных квантовых эффектов. В частности, невозможность двухщелевого эксперимента. и эффект Ааронова – Бома явно продемонстрированы в рамках KvN.

Распространение KvN против распространения Вигнера

• Продолжительность: 11 секунд. 0:11
  Временная эволюция классической волновой функции KvN для потенциала Морса : $U(x)=20(1-e^{-0.16x})^{2}$. Черные точки — это классические частицы, подчиняющиеся закону движения Ньютона . Сплошные линии представляют собой уровня гамильтониана набор $H(x,p)=p^{2}/2+U(x)$. Это видео иллюстрирует принципиальную разницу между механикой КВН и Лиувилля .
• Продолжительность: 10 секунд. 0:10
  Квантовый аналог классического распространения KvN слева: функции Вигнера временная эволюция потенциала Морса в атомных единицах (а.е.). Сплошные линии представляют набор уровней основного гамильтониана . Обратите внимание, что для этого квантового распространения используются те же начальные условия, что и для распространения KvN слева.

См. также

• Классическая механика
• Статистическая механика
• Теорема Лиувилля
• Квантовая механика
• Формулировка квантовой механики в фазовом пространстве
• Распределение квазивероятностей Вигнера
• Динамические системы
• Эргодическая теория

Дальнейшее чтение

• Мауро, Д. (2002). «Темы теории Купмана – фон Неймана». arXiv : Quant-ph/0301172 . Докторская диссертация, Университет Триеста.
• HR Jauslin, D. Sugny, Динамика смешанных классически-квантовых систем, геометрическое квантование и когерентные состояния , Серия лекций, IMS, NUS, том обзора, 13 августа 2009 г.
• Наследие Джона фон Неймана (Труды симпозиумов по чистой математике, том 50), под редакцией Джеймса Глимма, Джона Импальяццо, Исадора Сингера . — Амата Графика, 2006. — ISBN   0821842196
• У. Кляйн, От теории Купмана – фон Неймана к квантовой теории, Quantum Stud.: Math. Найденный. (2018) 5:219–227. [1]