Атомные единицы

Не путать с атомными единицами массы .

Атомные единицы — это система естественных единиц измерения, которая особенно удобна для расчетов в атомной физике и смежных научных областях, таких как вычислительная химия и атомная спектроскопия . Первоначально они были предложены и названы физиком Дугласом Хартри . Атомные единицы часто обозначаются сокращением «au» или «au», не путать с аналогичными сокращениями, используемыми для астрономических единиц , произвольных единиц и единиц поглощения в других контекстах.

Мотивация

В контексте атомной физики использование системы атомных единиц может быть удобным ярлыком, позволяющим исключить ненужные символы и числа с очень маленькими порядками. Например, оператор Гамильтона в уравнении Шредингера для атома гелия со стандартными величинами, например, при использовании единиц СИ, равен

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{1}}}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}},$

но, приняв соглашение, связанное с атомными единицами, которое преобразует количества в безразмерные эквиваленты, становится

${\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {2}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.$

В этом соглашении константы $\hbar$, $m_{\text{e}}$, $4\pi \epsilon _{0}$, и $e$ все соответствует значению $1$(см. § Определение ниже). Расстояния, имеющие отношение к физике, выраженные в единицах СИ, естественно, имеют порядок $10^{-10}\,\mathrm {m}$, выраженные в атомных единицах, расстояния порядка $1a_{0}$(один радиус Бора , атомная единица длины). Дополнительным преимуществом выражения величин с использованием атомных единиц является то, что их значения, рассчитанные и сообщаемые в атомных единицах, не изменяются при пересмотре значений фундаментальных констант. Фундаментальные константы встроены в коэффициенты перевода между атомными единицами и СИ.

История

Хартри определил единицы измерения на основе трех физических констант:

Как для того, чтобы исключить из уравнений различные универсальные константы, так и для того, чтобы избежать высоких степеней 10 в числовых работах, удобно выражать величины в единицах, которые можно назвать «атомными единицами», определяемыми следующим образом:

Единица длины , $a_{\text{H}}=h^{2}\,/\,4\pi ^{2}me^{2}$, по орбитальной механике радиус 1-квантовой круговой орбиты атома H с неподвижным ядром.

Единица заряда , $e$, величина заряда электрона.

Единица массы , $m$, масса электрона.

Им соответствуют:

Единица действия , $h\,/\,2\pi$.

Единица энергии , $e^{2}/a_{\text{H}}=2hcR=$ [...]

Единица времени , $1\,/\,4\pi cR$.
 

- Д. Р. Хартри, Волновая механика атома с некулоновским центральным полем. Часть I. Теория и методы

Здесь современный эквивалент $R$ Ридберга постоянная $R_{\infty }$, из $m$ это масса электрона $m_{\text{e}}$, из $a_{\text{H}}$ радиус Бора $a_{0}$, и из $h/2\pi$ — приведенная постоянная Планка $\hbar$. Выражения Хартри, содержащие $e$ отличаться от современной формы из-за изменения определения понятия $e$, как объяснено ниже.

В 1957 году вышла книга Бете и Солпитера « Квантовая механика одно- и двухэлектронных атомов». построены на единицах Хартри, которые они назвали атомными единицами, сокращенно «ау». Они решили использовать $\hbar$, их единицы действия и угловой момент вместо длины Хартри в качестве основных единиц. Они отметили, что единицей длины в этой системе является радиус первой орбиты Бора , а их скорость — скорость электрона в модели первой орбиты Бора.

В 1959 году Шулл и Холл выступал за атомные единицы, основанные на модели Хартри, но снова решил использовать $\hbar$как определяющая единица. Они прямо назвали единицу расстояния « радиусом Бора »; кроме того, они записали единицу энергии как $H=me^{4}/\hbar ^{2}$и назвал его Хартри . Эти термины стали широко использоваться в квантовой химии.

В 1973 году МакВини расширил систему Шулла и Холла, добавив диэлектрическую проницаемость в виде $\kappa _{0}=4\pi \epsilon _{0}$ как определяющая или базовая единица. Одновременно он принял определение СИ $e$ так что его выражение для энергии в атомных единицах имеет вид $e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}a_{0})$, что соответствует выражению в брошюре 8-го SI.

Определение

Набором основных единиц в атомной системе, как в одном предложении, являются масса покоя электрона, величина электронного заряда, постоянная Планка и диэлектрическая проницаемость. В системе атомных единиц каждая из них принимает значение 1; соответствующие значения в Международной системе единиц приведены в таблице.

Примечания к таблице

^† Этот выбор базовых единиц, который по существу произволен, является предложением МакВини.

^‡ W представляет собой размеры энергии, ML ² Т ⁻² .

^⹋ В столбце «атомные единицы» применено соглашение об использовании безразмерных эквивалентов.

Базовые атомные единицы ^†

Символ и имя	Количество (размеры) ‡	Атомные единицы ⹋	единицы СИ
$\hbar$, приведенная постоянная Планка	действие (ML 2 Т −1 )	1	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s
$e$, элементарный заряд	заряд (Q)	1	1.602 176 634 × 10 −19 С
$m_{\text{e}}$, масса покоя электрона	масса (М)	1	9.109 383 7015 (28) × 10 −31 кг
$4\pi \epsilon _{0}$, диэлектрическая проницаемость	диэлектрическая проницаемость (Q 2 В −1 л −1 )	1	1.112 650 055 45 (17) × 10 −10  F⋅m −1

Единицы

Три из определяющих констант (приведенная постоянная Планка, элементарный заряд и масса покоя электрона) сами по себе являются атомными единицами – действия , электрический заряд , и масса , соответственно. Две названные единицы — это единицы длины ( радиус Бора $a_{0}\equiv 4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}/m_{\text{e}}e^{2}$) и энергия ( Хартри $E_{\text{h}}\equiv \hbar ^{2}/m_{\text{e}}a_{0}^{2}$).

Определенные атомные единицы

Атомная единица	Выражение	Значение в единицах СИ	Другие эквиваленты
1-я гиперполяризуемость	$e^{3}a_{0}^{3}/E_{\text{h}}^{2}$	3.206 361 3061 (15) × 10 −53 С 3 ⋅m 3 ⋅J −2
2-я гиперполяризуемость	$e^{4}a_{0}^{4}/E_{\text{h}}^{3}$	6.235 379 9905 (38) × 10 −65 С 4 ⋅m 4 ⋅J −3
действие	$\hbar$	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s
заряжать	$e$	1.602 176 634 × 10 −19 С
плотность заряда	$e/a_{0}^{3}$	1.081 202 384 57 (49) × 10 12  C⋅m −3
текущий	$eE_{\text{h}}/\hbar$	6.623 618 237 510 (13) × 10 −3 А
электрический дипольный момент	$ea_{0}$	8.478 353 6255 (13) × 10 −30  C⋅m	≘ 2.541 746 473   Д
электрическое поле	$E_{\text{h}}/ea_{0}$	5.142 206 747 63 (78) × 10 11  V⋅m −1	5.142 206 747 63 (78) GV⋅cm −1 , 51.422 067 4763 (78) V⋅Å −1
градиент электрического поля	$E_{\text{h}}/ea_{0}^{2}$	9.717 362 4292 (29) × 10 21  V⋅m −2
электрическая поляризуемость	$e^{2}a_{0}^{2}/E_{\text{h}}$	1.648 777 274 36 (50) × 10 −41 С 2 ⋅m 2 ⋅J −1
электрический потенциал	$E_{\text{h}}/e$	27.211 386 245 988 (53) V
электрический квадрупольный момент	$ea_{0}^{2}$	4.486 551 5246 (14) × 10 −40  C⋅m 2
энергия	$E_{\text{h}}$	4.359 744 722 2071 (85) × 10 −18 Дж	$2hcR_{\infty }$, $\alpha ^{2}m_{\text{e}}c^{2}$, 27,211 386 245 988 (53) эВ
сила	$E_{\text{h}}/a_{0}$	8.238 723 4983 (12) × 10 −8 Н	82,387 нН , 51,421 эВ·Å −1
длина	$a_{0}$	5.291 772 109 03 (80) × 10 −11 м	$\hbar /\alpha m_{\text{e}}c$, 0,529 177 210 903 (80) Å
магнитный дипольный момент	$\hbar e/m_{\text{e}}$	1.854 802 015 66 (56) × 10 −23  J⋅T −1	$2\mu _{\text{B}}$
плотность магнитного потока	$\hbar /ea_{0}^{2}$	2.350 517 567 58 (71) × 10 5 Т	≘ 2.350 517 567 58 (71) × 10 9  г
намагничиваемость	$e^{2}a_{0}^{2}/m_{\text{e}}$	7.891 036 6008 (48) × 10 −29  J⋅T −2
масса	$m_{\text{e}}$	9.109 383 7015 (28) × 10 −31 кг
импульс	$\hbar /a_{0}$	1.992 851 914 10 (30) × 10 −24 кг·м·с −1
диэлектрическая проницаемость	$e^{2}/a_{0}E_{\text{h}}$	1.112 650 055 45 (17) × 10 −10  F⋅m −1	$4\pi \epsilon _{0}$
время	$\hbar /E_{\text{h}}$	2.418 884 326 5857 (47) × 10 −17 с
скорость	$a_{0}E_{\text{h}}/\hbar$	2.187 691 263 64 (33) × 10 6  m⋅s −1	$\alpha c$
$c$: скорость света , $\epsilon _{0}$: диэлектрическая проницаемость вакуума , $R_{\infty }$: постоянная Ридберга , $h$: постоянная Планка , $\alpha$: константа тонкой структуры , $\mu _{\text{B}}$: Магнетон Бора , ≘ : переписка

Соглашения

При использовании атомарных единиц приняты различные соглашения, которые различаются по представлению, формальности и удобству.

Явные единицы

• Многие тексты (например, Джеррард и МакНилл, Шулл и Холл ) определяют атомные единицы как количества без преобразования используемых уравнений. По существу, они не предлагают рассматривать какие-либо величины как безразмерные или менять форму каких-либо уравнений. Это согласуется с выражением величин через размерные величины, где атомная единица включается явно как символ (например, $m=3.4~m_{\text{e}}$, $m=3.4~{\text{a.u. of mass}}$или, более двусмысленно, $m=3.4~{\text{a.u.}}$) и сохранение неизмененных уравнений с явными константами.
• Предлагается также предусмотреть возможность выбора более удобных, тесно связанных величин, более подходящих для решения задачи в качестве единиц, чем универсальные фиксированные единицы, например, на основе приведенной массы электрона, хотя и с тщательным ее определением там, где они используются (например, единица $H_{M}=\mu e^{4}/\hbar ^{2}$, где $\mu =m_{\text{e}}M/(m_{\text{e}}+M)$ на заданную массу $M$).

Соглашение, исключающее единицы

В атомной физике принято упрощать математические выражения путем преобразования всех величин:

• Хартри предположил, что выражение в атомных единицах позволяет нам «исключить из уравнений различные универсальные константы», что равносильно неформальному предложению преобразования величин и уравнений таким образом, чтобы все количества были заменены соответствующими безразмерными величинами. Он не выходит за рамки примеров.
• МакВини предполагает, что «... их принятие позволяет записать все фундаментальные уравнения в безразмерной форме, в которой такие константы, как $e$, $m$ и $h$отсутствуют и вообще не должны учитываться при математических выводах или процессах численного решения; единицы, в которых должна выражаться любая рассчитанная величина, неявно указаны в ее физических размерах и могут быть указаны в конце». заданная система единиц: в этом случае уравнения содержат только чистые числа или безразмерные переменные; ... соответствующие единицы указываются в конце расчета со ссылкой на физические размеры рассчитываемой величины. [Это] соглашение имеет много оснований для его рекомендации, и оно молчаливо принимается в атомной и молекулярной физике всякий раз, когда вводятся атомные единицы, например, для удобства вычислений».
• Часто используется неформальный подход, при котором «уравнения выражаются в атомных единицах просто путем задания $\hbar =m_{\text{e}}=e=4\pi \epsilon _{0}=1$". Это своего рода сокращение более формального процесса преобразования величин, предложенного другими, например, МакВини.

Физические константы

Безразмерные физические константы сохраняют свои значения в любой системе единиц. Следует отметить константу тонкой структуры $\alpha ={e^{2}}/{(4\pi \epsilon _{0})\hbar c}\approx 1/137$, который появляется в выражениях как следствие выбора единиц измерения. Например, числовое значение скорости света , выраженное в атомных единицах, равно $c=1/\alpha \,{\text{a.u.}}\approx 137\,{\text{a.u.}}$

Некоторые физические константы, выраженные в атомных единицах

Имя	Символ/Определение	Значение в атомных единицах
скорость света	$c$	$(1/\alpha )\,a_{0}E_{\text{h}}/\hbar \approx 137\,a_{0}E_{\text{h}}/\hbar$
классический радиус электрона	$r_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}$	$\alpha ^{2}\,a_{0}\approx 0.0000532\,a_{0}$
уменьшенная комптоновская длина волны электрона	ƛ е $={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c}}$	$\alpha \,a_{0}\approx 0.007297\,a_{0}$
масса протона	$m_{\text{p}}$	$\approx 1836\,m_{\text{e}}$

Модель Бора

Атомные единицы выбираются с учетом свойств электронов в атомах, что особенно ясно проявляется в классической модели Бора для атома водорода связанного электрона в основном состоянии :

• Масса = 1 а.е. массы
• Заряд = −1 а.е. заряда
• Радиус орбиты = 1 а.е. длины
• Орбитальная скорость = 1 а.е. скорости
• Орбитальный период = 2 π а.е. времени
• Орбитальная угловая скорость = 1 радиан на а.е. времени.
• Орбитальный момент = 1 а.е. импульса
• Энергия ионизации = 1/2 ​ а.е. энергии
• Электрическое поле (из-за ядра) = 1 а.е. электрического поля
• Сила Лоренца (из-за ядра) = 1 а.е. силы