Гамильтониан (квантовая механика)

В квантовой механике гамильтониан оператор системы — это , соответствующий полной энергии этой системы, включая как кинетическую, так и потенциальную энергию . Его спектр системы , энергетический спектр или набор собственных значений энергии , представляет собой набор возможных результатов, получаемых в результате измерения полной энергии системы. Из-за своей тесной связи с энергетическим спектром и во времени эволюцией системы , он имеет фундаментальное значение в большинстве формулировок квантовой теории .

Гамильтониан назван в честь Уильяма Роуэна Гамильтона , который разработал революционную переформулировку ньютоновской механики , известную как гамильтонова механика , которая исторически сыграла важную роль в развитии квантовой физики. Подобно векторной записи , она обычно обозначается как ${\hat {H}}$, где шляпка указывает, что это оператор. Это также можно записать как $H$ или ${\check {H}}$.

Введение

Основная статья: Оператор (физика) § Операторы в квантовой механике

Гамильтониан системы представляет собой полную энергию системы; то есть сумма кинетической и потенциальной энергий всех частиц, связанных с системой. Гамильтониан принимает разные формы и в некоторых случаях может быть упрощен, принимая во внимание конкретные характеристики анализируемой системы, такие как наличие одной или нескольких частиц в системе, взаимодействие между частицами, вид потенциальной энергии, изменяющийся во времени потенциал или не зависящий от времени потенциал. один.

Гамильтониан Шрёдингера

Одна частица

По аналогии с классической механикой гамильтониан принято выражать как сумму операторов, соответствующих кинетической и потенциальной энергиям системы, в виде

$${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},$$

где

$${\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),$$

является потенциальным энергетическим оператором и

$${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},$$

– оператор кинетической энергии , в котором $m$ — масса частицы, точка обозначает скалярное произведение векторов, а

$${\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,$$

– оператор импульса , где $\nabla$ это del оператор . Скалярное произведение ​ $\nabla$ сам по себе является лапласианом $\nabla ^{2}$. В трех измерениях с использованием декартовых координат оператор Лапласа равен

$$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}$$

Хотя это не техническое определение гамильтониана в классической механике , это та форма, которую он принимает чаще всего. Объединение этих значений дает форму, используемую в уравнении Шредингера :

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}$$

что позволяет применить гамильтониан к системам, описываемым волновой функцией $\Psi (\mathbf {r} ,t)$. Это подход, обычно используемый при вводном рассмотрении квантовой механики с использованием формализма волновой механики Шредингера.

Можно также сделать замены в определенных переменных, чтобы они соответствовали конкретным случаям, например, связанным с электромагнитными полями.

Ожидаемая стоимость

Можно показать, что математическое ожидание гамильтониана, которое дает математическое ожидание энергии, всегда будет больше или равно минимальному потенциалу системы.

Рассмотрим вычисление ожидаемого значения кинетической энергии:

${\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}$

Следовательно, математическое ожидание кинетической энергии всегда неотрицательно. Этот результат можно использовать для расчета математического ожидания полной энергии, которая дается для нормированной волновой функции как:

$E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)$

которые завершают доказательство. Аналогично, это условие можно обобщить на любые более высокие измерения, используя теорему о дивергенции .

Множество частиц

Формализм можно распространить на $N$ частицы:

$${\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}$$

где

$${\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),$$

- функция потенциальной энергии, теперь являющаяся функцией пространственной конфигурации системы и времени (конкретный набор пространственных положений в некоторый момент времени определяет конфигурацию) и

$${\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}$$

- оператор кинетической энергии частицы $n$, $\nabla _{n}$ градиент для частицы $n$, и $\nabla _{n}^{2}$ является лапласианом для частицы n :

$$\nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},$$

Объединение этих результатов дает гамильтониан Шредингера для $N$-корпус частиц:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}$$

Однако в задаче многих тел могут возникнуть осложнения . Поскольку потенциальная энергия зависит от пространственного расположения частиц, кинетическая энергия также будет зависеть от пространственной конфигурации для сохранения энергии. Движение любой частицы будет меняться в зависимости от движения всех остальных частиц в системе. По этой причине в гамильтониане могут появиться перекрестные члены для кинетической энергии; смесь градиентов для двух частиц:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}$$

где $M$ обозначает массу совокупности частиц, в результате которой возникает эта дополнительная кинетическая энергия. Члены этой формы известны как члены массовой поляризации и появляются в гамильтониане многих электронных атомов (см. Ниже).

Для $N$ взаимодействующие частицы, то есть частицы, которые взаимодействуют друг с другом и составляют ситуацию многих тел, функция потенциальной энергии $V$ это не просто сумма отдельных потенциалов (и, конечно, не произведение, поскольку это неверно по размерности). Функцию потенциальной энергии можно записать только так, как указано выше: функцию всех пространственных положений каждой частицы.

Для невзаимодействующих частиц, т. е. частиц, которые не взаимодействуют друг с другом и движутся независимо, потенциал системы представляет собой сумму отдельной потенциальной энергии каждой частицы, то есть

$$V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)$$

Общий вид гамильтониана в этом случае следующий:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}$$

где сумма берется по всем частицам и соответствующим им потенциалам; в результате гамильтониан системы представляет собой сумму отдельных гамильтонианов для каждой частицы. Это идеализированная ситуация: на практике частицы почти всегда находятся под влиянием некоторого потенциала, и существуют взаимодействия многих тел. Одним из наглядных примеров взаимодействия двух тел, к которому эта форма не применима, относятся электростатические потенциалы, обусловленные заряженными частицами, поскольку они взаимодействуют друг с другом посредством кулоновского взаимодействия (электростатической силы), как показано ниже.

Уравнение Шрёдингера

Основная статья: уравнение Шрёдингера

Гамильтониан порождает временную эволюцию квантовых состояний. Если $\left|\psi (t)\right\rangle$ это состояние системы в момент времени $t$, затем

$$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over \ dt}\left|\psi (t)\right\rangle .$$

Это уравнение является уравнением Шрёдингера . Оно принимает ту же форму, что и уравнение Гамильтона–Якоби , что является одной из причин $H$ также называется гамильтонианом. Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени ( $t=0$), мы можем решить ее, чтобы получить состояние в любой последующий момент. В частности, если $H$ не зависит от времени, то

$$\left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .$$

Экспоненциальный оператор в правой части уравнения Шредингера обычно определяется соответствующим степенным рядом в $H$. Можно заметить, что использование полиномов или степенных рядов неограниченных операторов , которые не определены везде, может не иметь математического смысла. Строго говоря, чтобы взять функции неограниченных операторов, функциональное исчисление необходимо . В случае показательной функции достаточно непрерывного или просто голоморфного функционального исчисления . Заметим, однако, еще раз, что для обычных расчетов формулировки физиков вполне достаточно.

По свойству * -гомоморфизма функционального исчисления оператор

$$U=e^{-iHt/\hbar }$$

является унитарным оператором . Это временной эволюции оператор или распространитель замкнутой квантовой системы. Если гамильтониан не зависит от времени, $\{U(t)\}$ образуют унитарную группу с одним параметром (более чем полугруппу ); это порождает физический принцип детального баланса .

Дирака

Однако в более общем формализме Дирака гамильтониан обычно реализуется как оператор в гильбертовом пространстве следующим образом:

Собственные вектора ( собственные векторы ) $H$, обозначенный $\left|a\right\rangle$, обеспечивают ортонормированный базис гильбертова пространства. Спектр разрешенных энергетических уровней системы задается набором собственных значений, обозначаемых $\{E_{a}\}$, решая уравнение:

$$H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .$$

С $H$ является эрмитовым оператором , энергия всегда является действительным числом .

С математически строгой точки зрения необходимо соблюдать осторожность при использовании приведенных выше предположений. Операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах не обязаны иметь собственные значения (множество собственных значений не обязательно совпадает со спектром оператора ). Однако все рутинные квантово-механические расчеты можно выполнить, используя физическую формулировку.

Выражения для гамильтониана

Ниже приведены выражения для гамильтониана в ряде ситуаций. Типичными способами классификации выражений являются количество частиц, количество измерений и характер функции потенциальной энергии - что немаловажно, зависимость от пространства и времени. Массы обозначаются $m$и обвинения по $q$.

Свободная частица

Частица не связана никакой потенциальной энергией, поэтому потенциал равен нулю, и этот гамильтониан является самым простым. Для одного измерения:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$$

и в более высоких измерениях:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$$

Яма с постоянным потенциалом

Для частицы в области постоянного потенциала $V=V_{0}$ (нет зависимости от пространства и времени), в одном измерении гамильтониан имеет вид:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}$$

в трех измерениях

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}$$

Это относится к элементарной задаче « частица в ящике » и ступенчатым потенциалам .

Простой гармонический генератор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал меняется в зависимости от положения (но не времени) согласно:

$$V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}$$

где угловая частота $\omega$, эффективная жесткость пружины $k$и масса $m$ осциллятора удовлетворяют:

$$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$$

поэтому гамильтониан:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}$$

Для трех измерений это становится

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}$$

где трехмерный вектор положения $\mathbf {r}$ использование декартовых координат $(x,y,z)$, его величина

$$r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$$

Полный вывод гамильтониана показывает, что это просто сумма одномерных гамильтонианов в каждом направлении:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}$$

Жесткий ротор

Для жесткого ротора — т. е. системы частиц, которые могут свободно вращаться вокруг любых осей, не связанных никаким потенциалом (например, свободные молекулы с незначительными колебательными степенями свободы , скажем, из-за двойных или тройных химических связей ), гамильтониан имеет вид:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}$$

где $I_{xx}$, $I_{yy}$, и $I_{zz}$ — компоненты момента инерции (технически диагональные элементы тензора момента инерции ), и ${\hat {J}}_{x}$, ${\hat {J}}_{y}$, и ${\hat {J}}_{z}$ – операторы полного углового момента (компоненты), около $x$, $y$, и $z$ оси соответственно.

Электростатический (

Кулоновская потенциальная энергия для двух точечных зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$ (т. е. те, которые не имеют независимой пространственной протяженности) в трех измерениях (в единицах СИ , а не в гауссовских единицах , которые часто используются в электромагнетизме ):

$$V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}$$

Однако это всего лишь возможность возникновения одного точечного заряда из-за другого. Если имеется много заряженных частиц, каждый заряд имеет потенциальную энергию, обусловленную каждым другим точечным зарядом (кроме самого себя). Для $N$ заряды, потенциальная энергия заряда $q_{j}$ за счет всех остальных зарядов (см. также Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в конфигурации дискретных точечных зарядов ):

$$V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}$$

где $\phi (\mathbf {r} _{i})$ - электростатический потенциал заряда $q_{j}$ в $\mathbf {r} _{i}$. Тогда полный потенциал системы представляет собой сумму по $j$:

$$V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}$$

поэтому гамильтониан:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}$$

Электрический диполь в электрическом поле

Для электрического дипольного момента $\mathbf {d}$ представляющие собой заряды величиной $q$, в однородном электростатическом поле (независимом от времени) $\mathbf {E}$, расположенный в одном месте, потенциал равен:

$$V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E}$$

сам дипольный момент является оператором

$$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}}$$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя представляет собой просто потенциальную энергию:

$${\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E}$$

Магнитный диполь в магнитном поле

Для магнитного дипольного момента ${\boldsymbol {\mu }}$ в однородном магнитостатическом поле (не зависящем от времени) $\mathbf {B}$, расположенный в одном месте, потенциал равен:

$$V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B}$$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя представляет собой просто потенциальную энергию:

$${\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B}$$

Для спин- 1 ⁄ 2 частицы, соответствующий спиновый магнитный момент равен:

$${\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S}$$

где $g_{s}$ — «спиновый g-фактор » (не путать с гиромагнитным отношением ), $e$ - заряд электрона, $\mathbf {S}$ — вектор спинового оператора , компонентами которого являются матрицы Паули , следовательно,

$${\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B}$$

Заряженная частица в электромагнитном поле

Для частицы с массой $m$ и зарядить $q$ в электромагнитном поле, описываемом скалярным потенциалом $\phi$ и векторный потенциал $\mathbf {A}$, есть две части гамильтониана, которые нужно заменить. Канонический оператор импульса $\mathbf {\hat {p}}$, который включает в себя вклад $\mathbf {A}$ поле и удовлетворяет каноническому коммутационному соотношению , должно быть квантовано;

$$\mathbf {\hat {p}} =m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} ,$$

где $m{\dot {\mathbf {r} }}$ это кинетический импульс . Рецепт квантования гласит:

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla ,$$

поэтому соответствующий оператор кинетической энергии равен

$${\hat {T}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}$$

и потенциальная энергия, обусловленная $\phi$ поле, определяется выражением

$${\hat {V}}=q\phi .$$

Преобразование всего этого в гамильтониан дает

$${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .$$

собственной энергии, симметрия и

Во многих системах два или более собственных энергетических состояний имеют одинаковую энергию. Простым примером этого является свободная частица, собственные энергетические состояния которой имеют волновые функции, распространяющие плоские волны. Энергия каждой из этих плоских волн обратно пропорциональна квадрату ее длины волны . Волна, распространяющаяся в $x$ направлении — это состояние, отличное от состояния, распространяющегося в $y$ направлении, но если они имеют одинаковую длину волны, то и энергии их будут одинаковыми. Когда это происходит, говорят, что государства вырождаются .

Оказывается, вырождение имеет место тогда, когда нетривиальный унитарный оператор $U$ коммутирует с гамильтонианом. Чтобы увидеть это, предположим, что $|a\rangle$ является собственной энергией. Затем $U|a\rangle$ является собственным энергетическим кетом с тем же собственным значением, поскольку

$$UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).$$

С $U$ нетривиально, хотя бы одна пара $|a\rangle$ и $U|a\rangle$ должны представлять отдельные государства. Поэтому, $H$ имеет хотя бы одну пару собственных вырожденных энергетических цепей. В случае свободной частицы унитарным оператором, обеспечивающим симметрию, является оператор вращения , который поворачивает волновые функции на некоторый угол, сохраняя при этом их форму.

Существование оператора симметрии подразумевает существование сохраняющейся наблюдаемой. Позволять $G$ быть эрмитовым генератором $U$:

$$U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})$$

Несложно показать, что если $U$ ездит с $H$, тогда тоже $G$:

$$[H,G]=0$$

Поэтому,

$${\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.$$

Для получения этого результата мы использовали уравнение Шрёдингера, а также двойственное ему уравнение

$$\langle \psi (t)|H=-i\hbar {d \over \ dt}\langle \psi (t)|.$$

Таким образом, ожидаемое значение наблюдаемой $G$ сохраняется для любого состояния системы. В случае свободной частицы сохраняющейся величиной является угловой момент .

Уравнения Гамильтона

гамильтоновой Уравнения Гамильтона в классической механике имеют прямую аналогию в квантовой механике. Предположим, у нас есть набор базисных состояний $\left\{\left|n\right\rangle \right\}$, которые не обязательно должны быть собственными состояниями энергии. Для простоты будем считать, что они дискретны и ортонормированы, т. е.

$$\langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}$$

Обратите внимание, что эти базисные состояния считаются независимыми от времени. Будем считать, что гамильтониан также не зависит от времени.

Мгновенное состояние системы в момент времени $t$, $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$, может быть расширено с точки зрения этих базисных состояний:

$$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle$$

где

$$a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .$$

Коэффициенты $a_{n}(t)$ являются комплексными переменными. Мы можем рассматривать их как координаты, определяющие состояние системы, подобно координатам положения и импульса, определяющим классическую систему. Подобно классическим координатам, они, как правило, не постоянны во времени, и их зависимость от времени порождает зависимость от времени системы в целом.

Среднее значение гамильтониана этого состояния, которое также является средней энергией, равно

$$\langle H(t)\rangle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle$$

где последний шаг был получен путем расширения $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ с точки зрения базовых состояний.

Каждый $a_{n}(t)$ фактически соответствует двум независимым степеням свободы, поскольку переменная имеет действительную и мнимую части. Теперь мы проделаем следующий трюк: вместо того, чтобы использовать действительную и мнимую части в качестве независимых переменных, мы используем $a_{n}(t)$ и его комплексно-сопряженный $a_{n}^{*}(t)$. При таком выборе независимых переменных мы можем вычислить частную производную

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle$$

Применяя уравнение Шрёдингера и используя ортонормированность базисных состояний, это далее сводится к

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}$$

Аналогично можно показать, что

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}$$

Если мы определим переменные «сопряженного импульса» $\pi _{n}$ к

$$\pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)$$

тогда приведенные выше уравнения станут

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}$$

что в точности представляет собой форму уравнений Гамильтона с $a_{n}$s как обобщенные координаты, $\pi _{n}$s как сопряженные импульсы, и $\langle H\rangle$ заменяющий классический гамильтониан.

См. также

• гамильтонова механика
• Квантовая система с двумя состояниями
• Оператор (физика)
• Хорошие обозначения
• Квантовое состояние
• Линейная алгебра
• Сохранение энергии
• Потенциальная теория
• Задача многих тел
• Электростатика
• Электрическое поле
• Магнитное поле
• Неравенство Либа – Тирринга

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с гамильтонианом (квантовой механикой) в Wikiquote