Закон Гука

Закон Гука: сила пропорциональна протяженности.

Трубки Бурдона основаны на законе Гука. Сила, создаваемая давлением газа внутри спиральной металлической трубки наверху, разматывает ее на величину, пропорциональную давлению.

Балансовое колесо, лежащее в основе многих механических часов, зависит от закона Гука. Поскольку крутящий момент, создаваемый спиральной пружиной, пропорционален углу поворота колеса, ее колебания имеют почти постоянный период.

В физике ) , закон Гука — это эмпирический закон , который гласит, что сила ( F необходимая для растяжения или сжатия пружины на некоторое расстояние ( x ), масштабируется линейно относительно этого расстояния, то есть F _s = kx , где k — это постоянный коэффициент, характеризующий пружину (т. е. ее жесткость ), а х мал по сравнению с суммарной возможной деформацией пружины. Закон назван в честь британского физика 17 века Роберта Гука . Впервые он сформулировал закон в 1676 году как латинскую анаграмму . Он опубликовал решение своей анаграммы в 1678 году. как: ut tensio, sic vis («как расширение, так и сила» или «расширение пропорционально силе»). Гук утверждает в работе 1678 года, что он знал о законе с 1660 года.

Уравнение Гука справедливо (до некоторой степени) во многих других ситуациях, когда упругое тело деформируется , например, когда ветер дует на высокое здание или музыкант перебирает струну гитары. Упругое тело или материал, для которого можно принять это уравнение, называется линейно-упругим или гуковским .

Закон Гука представляет собой лишь линейное приближение первого порядка к реальной реакции пружин и других упругих тел на приложенные силы. В конечном итоге он должен выйти из строя, как только силы превысят некоторый предел, поскольку ни один материал не может быть сжат сверх определенного минимального размера или растянут сверх максимального размера без некоторой остаточной деформации или изменения состояния. Многие материалы будут заметно отклоняться от закона Гука задолго до того, как будут достигнуты эти пределы упругости .

С другой стороны, закон Гука является точным приближением для большинства твердых тел, если силы и деформации достаточно малы. По этой причине закон Гука широко используется во всех отраслях науки и техники и является основой многих дисциплин, таких как сейсмология , молекулярная механика и акустика . Это также фундаментальный принцип пружинной шкалы , манометра , гальванометра и баланса механических часов .

Современная теория упругости обобщает закон Гука и утверждает, что деформация (деформация) упругого объекта или материала пропорциональна приложенному к нему напряжению . Однако, поскольку общие напряжения и деформации могут иметь несколько независимых компонентов, «коэффициент пропорциональности» может больше не быть просто одним действительным числом, а скорее линейной картой ( тензором ), которая может быть представлена ​​матрицей действительных чисел.

В этой общей форме закон Гука позволяет вывести связь между деформацией и напряжением для сложных объектов с точки зрения внутренних свойств материалов, из которых они сделаны. Например, можно сделать вывод, что однородный стержень с одинаковым поперечным сечением при растяжении будет вести себя как простая пружина с жесткостью k , прямо пропорциональной площади его поперечного сечения и обратно пропорциональной его длине.

Формальное определение

Линейные пружины

Растяжение и сжатие пружины

Рассмотрим простую винтовую пружину, один конец которой прикреплен к некоторому неподвижному объекту, а свободный конец притягивается силой, величина которой равна F _s . Предположим, что пружина достигла состояния равновесия , в котором ее длина больше не меняется. Пусть x — величина, на которую свободный конец пружины сместился из «расслабленного» положения (когда он не растянут). Закон Гука гласит, что

$$F_{s}=kx$$

или, что то же самое,

$$x={\frac {F_{s}}{k}}$$

где k — положительное действительное число, характерное для пружины. Пружину с промежутками между витками можно сжать, и для сжатия справедлива та же формула, причем в этом случае F _s и x отрицательны.

Графический вывод

Согласно этой формуле график приложенной силы F _s как функции смещения x будет представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат , наклон которой равен k .

Закон Гука для пружины также формулируется в соответствии с соглашением о том, что F _s — это восстанавливающая сила, действующая пружиной на все, что тянет ее свободный конец. В этом случае уравнение принимает вид

$$F_{s}=-kx$$

поскольку направление возвращающей силы противоположно направлению перемещения.

Торсионные пружины

применим аналог Гука закона К торсионным пружинам . Он утверждает, что крутящий момент (τ), необходимый для вращения объекта, прямо пропорционален угловому смещению (θ) от положения равновесия. Он описывает взаимосвязь между крутящим моментом, приложенным к объекту, и результирующей угловой деформацией из-за кручения. Математически это можно выразить так:

$\tau =-k\theta$

Где:

• τ — крутящий момент , измеряемый в Ньютон-метрах или Н·м.
• k — постоянная кручения (измеряется в Н·м/радиан), характеризующая жесткость пружины кручения или сопротивление угловому смещению.
• θ — угловое смещение (измеряется в радианах) от положения равновесия.

Как и в линейном случае, этот закон показывает, что крутящий момент пропорционален угловому смещению, а отрицательный знак указывает на то, что крутящий момент действует в направлении, противоположном угловому смещению, обеспечивая восстанавливающую силу, возвращающую систему в равновесие.

Общие «скалярные» пружины

Закон пружины Гука обычно применяется к любому упругому объекту произвольной сложности, при условии, что и деформация, и напряжение могут быть выражены одним числом, которое может быть как положительным, так и отрицательным.

Например, когда кусок резины, прикрепленный к двум параллельным пластинам, деформируется за счет сдвига , а не растяжения или сжатия, сила сдвига F _s и боковое смещение пластин x подчиняются закону Гука (при достаточно малых деформациях).

Закон Гука также применяется, когда прямой стальной стержень или бетонная балка (например, та, что используется в зданиях), поддерживаемая с обоих концов, сгибается под действием груза F, помещенного в некоторую промежуточную точку. Смещение х в данном случае представляет собой отклонение балки, измеренное в поперечном направлении, относительно ее ненагруженной формы.

Векторная формулировка

В случае винтовой пружины, которая растягивается или сжимается вдоль своей оси , приложенная (или восстанавливающая) сила и результирующее удлинение или сжатие имеют одно и то же направление (которое является направлением указанной оси). Следовательно, если F _s и x определены как векторы Гука , уравнение все еще остается в силе и говорит, что вектор силы — это вектор удлинения, умноженный на фиксированный скаляр .

Общая тензорная форма

Некоторые упругие тела деформируются в одном направлении под действием силы другого направления. Одним из примеров является горизонтальная деревянная балка с неквадратным прямоугольным поперечным сечением, которая изгибается под действием поперечной нагрузки, которая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. В таких случаях величина смещения х будет пропорциональна величине силы , _Fs пока направление последней остается прежним (и ее величина не слишком велика); скалярная версия закона Гука F _s = − kx поэтому будет справедлива . Однако векторы силы и перемещения не будут скалярно кратными друг другу, поскольку имеют разные направления. При этом соотношение k между их величинами будет зависеть от направления вектора F _s .

Тем не менее, в таких случаях часто существует фиксированная линейная связь между векторами силы и деформации, если они достаточно малы. А именно, существует функция κ от векторов к векторам, такая что F = κ ( X ) и κ ( α X ₁ + β X ₂ ) = α κ ( X ₁ ) + β κ ( X ₂ ) для любых действительных чисел α , β и любые векторы смещения X ₁ , X ₂ . Такая функция называется тензором (второго порядка) .

По отношению к произвольной декартовой системе координат векторы силы и смещения могут быть представлены матрицами действительных чисел 3 × 1. Тогда соединяющий их тензор κ можно представить матрицей κ действительных коэффициентов размером 3 × 3, которая при умножении на вектор смещения дает вектор силы:

$$\mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X}$$

То есть,

$$F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}$$

для я = 1, 2, 3 . закон Гука F = κ X Следовательно, можно сказать, что справедлив и тогда, когда X и F являются векторами с переменными направлениями, за исключением того, что жесткость объекта представляет собой тензор κ , а не одно действительное число k .

Закон Гука для непрерывных сред

Основная статья: линейная эластичность

(а) Схема полимерной нанопружины. Радиус витка R, шаг P, длина пружины L и количество витков N составляют 2,5 мкм, 2,0 мкм, 13 мкм и 4 соответственно. Электронные микрофотографии наносружины до нагрузки (б), растянутой (е), сжатой (ж), изогнутой (з) и восстановленной (и). Все масштабные линейки имеют размер 2 мкм. Пружина имела линейную реакцию на приложенную силу, демонстрируя справедливость закона Гука на наноуровне.

Напряжения и деформации материала внутри непрерывного упругого материала (например, резинового блока, стенки котла или стального стержня) связаны линейным соотношением, которое математически похоже на пружинный закон Гука и часто называется под этим именем.

Однако деформированное состояние твердой среды вокруг некоторой точки не может быть описано одним вектором. Один и тот же кусок материала, каким бы маленьким он ни был, можно одновременно сжимать, растягивать и сдвигать в разных направлениях. Аналогично, напряжения в этом пакете могут быть одновременно толкающими, тянущими и сдвигающими.

Чтобы уловить эту сложность, соответствующее состояние среды вокруг точки должно быть представлено тензорами двух второго порядка, тензором деформации ε (вместо смещения X ) и тензором напряжений σ (заменяющим восстанавливающую силу F ). Тогда аналог пружинного закона Гука для сплошных сред имеет вид

$${\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},$$

где c — тензор четвертого порядка (то есть линейное отображение между тензорами второго порядка), обычно называемый тензором жесткости или тензором упругости . Можно также написать это как

$${\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},$$

где тензор s , называемый тензором податливости , представляет собой обратную указанную линейную карту.

В декартовой системе координат тензоры напряжений и деформаций могут быть представлены матрицами 3 × 3.

$${\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$$

Будучи линейным отображением между девятью числами σij _{вещественного} и девятью числами , _εkl тензор жесткости c представляется матрицей из 3 × 3 × 3 × 3 = 81 числа c _ijkl . Закон Гука тогда говорит, что

$$\sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}$$

где я , j знак равно 1,2,3 .

Все три тензора обычно изменяются от точки к точке внутри среды, а также могут меняться со временем. Тензор деформаций ε просто задает смещение частиц среды в окрестности точки, а тензор напряжений σ определяет силы, которые соседние участки среды оказывают друг на друга. Поэтому они не зависят от состава и физического состояния материала. С другой стороны, тензор жесткости c является свойством материала и часто зависит от переменных физического состояния, таких как температура, давление и микроструктура .

Из-за внутренней симметрии σ , ε и c только 21 коэффициент упругости последнего являются независимыми. Это число можно еще уменьшить за счет симметрии материала: 9 для ромбического кристалла, 5 для гексагональной структуры и 3 для кубической симметрии. Для изотропных сред (которые имеют одинаковые физические свойства в любом направлении) c можно свести только к двум независимым числам: объемному модулю K и модулю сдвига G , которые количественно определяют сопротивление материала изменениям объема и сдвиговым деформациям соответственно. .

Аналогичные законы

Поскольку закон Гука представляет собой простую пропорциональность между двумя величинами, его формулы и следствия математически аналогичны формулам многих других физических законов, например законов, описывающих жидкостей или поляризацию диэлектрика движение электрическим полем .

В частности, тензорное уравнение σ = cε, связывающее упругие напряжения с деформациями, полностью аналогично уравнению τ = µε̇, связывающему тензор вязких напряжений τ и тензор скоростей деформаций ε̇ в потоках вязких жидкостей; хотя первое относится к статическим напряжениям (связанным с величиной деформации), а второе - к динамическим напряжениям (связанным со скоростью деформации).

Единицы измерения

В единицах СИ перемещения измеряются в метрах (м), а силы в ньютонах (Н или кг·м/с). ² ). Следовательно, жесткость пружины k и каждый элемент тензора κ измеряются в ньютонах на метр (Н/м) или килограммах на секунду в квадрате (кг/с). ² ).

Для сплошных сред каждый элемент тензора напряжений σ представляет собой силу, деленную на площадь; поэтому оно измеряется в единицах давления, а именно в паскалях (Па или Н/м). ² , или кг/(м·с ² ). Элементы тензора деформаций ε безразмерны (перемещения , разделенные на расстояния). Поэтому записи c _ijkl также выражаются в единицах давления.

Общее применение к эластичным материалам

Кривая растяжения-деформации для низкоуглеродистой стали, показывающая взаимосвязь между напряжением (силой на единицу площади) и деформацией (результат сжатия/растяжения, известного как деформация). Закон Гука справедлив только для части кривой между началом координат и пределом текучести (2).

1. Абсолютная сила
2. Предел текучести (предел текучести)
3. Разрыв
4. деформационного упрочнения Область
5. шейки Область

1. Кажущееся напряжение ( F / A ₀ )
2. Фактическое напряжение ( F / A )

Объекты, которые быстро восстанавливают свою первоначальную форму после деформации силой, при этом молекулы или атомы их материала возвращаются в исходное состояние устойчивого равновесия, часто подчиняются закону Гука.

Закон Гука справедлив только для некоторых материалов при определенных условиях нагрузки. Сталь демонстрирует линейно-упругое поведение в большинстве инженерных применений; Для него справедлив закон Гука во всей области упругости (т. е. при напряжениях ниже предела текучести ). Для некоторых других материалов, таких как алюминий, закон Гука справедлив только для части диапазона упругости. Для этих материалов пропорциональное предельное определено напряжение, ниже которого ошибки, связанные с линейным приближением, незначительны.

Резину обычно считают «негуковским» материалом, поскольку ее эластичность зависит от напряжения и чувствительна к температуре и скорости нагрузки.

Обобщение закона Гука на случай больших деформаций дают модели неогуковских тел и тел Муни-Ривлина .

Производные формулы

Растягивающее напряжение однородного стержня

Стержень из любого упругого материала можно рассматривать как линейную пружину . Стержень имеет длину L площадь поперечного сечения A. и Его растягивающее напряжение σ линейно пропорционально его дробному растяжению или деформации ε по модулю упругости E :

$$\sigma =E\varepsilon .$$

Модуль упругости часто можно считать постоянным. По очереди,

$$\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}$$

(то есть дробное изменение длины), и поскольку

$$\sigma ={\frac {F}{A}}\,,$$

отсюда следует, что:

$$\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.$$

Изменение длины можно выразить как

$$\Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.$$

Весенняя энергия

Потенциальная энергия U _el ( x ), запасенная в пружине, определяется выражением

$$U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$$

который возникает в результате сложения энергии, необходимой для постепенного сжатия пружины. То есть интеграл силы по перемещению. Поскольку внешняя сила имеет то же общее направление, что и смещение, потенциальная энергия пружины всегда неотрицательна. Замена $x=F/k$ дает

$$U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.$$

Этот потенциал U _el можно представить в виде параболы на плоскости Ux такой, что U _el ( x ) = 1/2 2км ² . Когда пружина растягивается в положительном направлении x , потенциальная энергия увеличивается параболически (то же самое происходит и при сжатии пружины). Поскольку изменение потенциальной энергии изменяется с постоянной скоростью:

$${\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.$$

Обратите внимание, что изменение U является постоянным, даже когда смещение и ускорение равны нулю.

Релаксированные силовые константы (обобщенные константы податливости)

Релаксированные силовые константы (обратные обобщенным константам податливости ) однозначно определены для молекулярных систем, в отличие от обычных «жестких» силовых констант, и, таким образом, их использование позволяет проводить значимые корреляции между силовыми полями, рассчитанными для реагентов , переходных состояний и продукты химической реакции . Точно так же, как потенциальную энергию можно представить в виде квадратичной формы во внутренних координатах, ее можно записать и в терминах обобщенных сил. Полученные коэффициенты называются константами соответствия . Существует прямой метод расчета константы податливости для любой внутренней координаты молекулы без необходимости проведения анализа нормального режима. Пригодность релаксированных силовых констант (обратных констант податливости) в качестве дескрипторов прочности ковалентной связи была продемонстрирована еще в 1980 году. Недавно была продемонстрирована также пригодность в качестве дескрипторов прочности нековалентной связи.

Гармонический осциллятор

См. Также: Гармонический осциллятор.

Масса, подвешенная на пружине, является классическим примером гармонического осциллятора.

Масса m, прикрепленная к концу пружины, является классическим примером гармонического осциллятора . Слегка потянув массу, а затем отпустив ее, система придет в синусоидальное колебательное движение около положения равновесия. В той степени, в которой пружина подчиняется закону Гука и можно пренебречь трением и массой пружины, амплитуда колебаний останется постоянной; и его частота f не будет зависеть от его амплитуды, определяемой только массой и жесткостью пружины:

$$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$$

Это явление сделало возможным создание точных механических часов , которые можно было носить на кораблях и в карманах людей.

Вращение в негравитационном пространстве

Если бы масса m была прикреплена к пружине с постоянной силы k и вращалась в свободном пространстве, натяжение пружины ( F _t ) создавало бы необходимую центростремительную силу ( F _c ):

$$F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r$$

Поскольку F _t = F _c и x = r , то:

$$k=m\omega ^{2}$$

Учитывая, что ω = 2π f , это приводит к тому же частотному уравнению, что и выше:

$$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$$

Линейная теория упругости для сплошных сред

См. Также: Тензор упругости.

Примечание. соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов. Ниже используется

Изотропные материалы

Аналогичную разработку для вязких жидкостей см. Вязкость .

Изотропные материалы характеризуются свойствами, не зависящими от направления в пространстве. Поэтому физические уравнения, включающие изотропные материалы, должны быть независимыми от системы координат, выбранной для их представления. Тензор деформаций является симметричным тензором. Поскольку след любого тензора не зависит от какой-либо системы координат, наиболее полное безкоординатное разложение симметричного тензора состоит в том, чтобы представить его в виде суммы постоянного тензора и бесследового симметричного тензора. Таким образом, в индексной записи :

$$\varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$$

где δij _{Кронекера} — дельта . В прямой тензорной записи:

$${\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})$$

где I — тождественный тензор второго порядка.

Первый член справа — это постоянный тензор, также известный как тензор объемной деформации , а второй член — это бесследовый симметричный тензор, также известный как тензор девиаторной деформации или тензор сдвига .

Наиболее общую форму закона Гука для изотропных материалов теперь можно записать как линейную комбинацию этих двух тензоров:

$$\sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})$$

где K — модуль объемного сжатия , а G — модуль сдвига .

Используя соотношения между модулями упругости , эти уравнения можно выразить и другими способами. Общая форма закона Гука для изотропных материалов, выраженная в прямой тензорной записи, имеет вид ${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}$где λ = K − 2/3 тензор — тождественный G = c ₁₁₁₁ − 2 c ₁₂₁₂ и µ = G = c ₁₂₁₂ — константы Ламе , I второго ранга, а I — симметричная часть тождественного тензора четвертого ранга. В индексном обозначении:

$$\sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)$$

Обратная зависимость

$${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}$$

Следовательно, тензор податливости в соотношении ε = s : σ равен

$${\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}$$

Тогда с точки зрения модуля Юнга и коэффициента Пуассона закон Гука для изотропных материалов можно выразить как

$$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}$$

Это форма, в которой деформация выражается через тензор напряжений в технике. Выражение в развернутом виде имеет вид

$${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}$$

где E — модуль Юнга , а ν — коэффициент Пуассона . (См. 3-D эластичность ).

Вывод закона Гука в трёх измерениях

Трехмерную форму закона Гука можно получить, используя коэффициент Пуассона и одномерную форму закона Гука следующим образом.Рассмотрим соотношение деформации и напряжения как суперпозицию двух эффектов: растяжения в направлении нагрузки (1) и сжатия (вызванного нагрузкой) в перпендикулярных направлениях (2 и 3).

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{aligned}}$$

где ν — коэффициент Пуассона, а E — модуль Юнга.

Аналогичные уравнения получаем для нагрузок в направлениях 2 и 3:

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{aligned}}$$

и

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{aligned}}$$

Суммируя три случая вместе ( ε _i = ε _i ′ + ε _i ″ + ε _i ‴ ), получаем

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{aligned}}$$

или путем добавления и вычитания одного νσ

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\end{aligned}}$$

и далее, решив σ ₁

$$\sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.$$

Вычисление суммы

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{aligned}}$$

и подстановка его в уравнение, решенное для σ _1, дает

$${\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{aligned}}$$

где µ и λ — параметры Ламе .

Подобная трактовка направлений 2 и 3 дает закон Гука в трех измерениях.

В матричной форме закон Гука для изотропных материалов можно записать как

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$$

где γ _ij = 2 ε _ij — инженерная деформация сдвига . Обратная зависимость может быть записана как

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

которое можно упростить благодаря константам Ламе:

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

В векторной записи это становится

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)$$

где I — тождественный тензор.

Плоское напряжение

В напряжения условиях σ31 _​ = σ13 _​ = σ32 _σ23 = ​ _σ33 = = _{плоского} 0 . В этом случае закон Гука принимает вид

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

В векторной записи это становится

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)$$

Обратное соотношение обычно записывают в сокращенной форме

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$$

Плоская деформация

В плоской деформации условиях ε ₃₁ = ε ₁₃ = ε ₃₂ = ε ₂₃ = ε ₃₃ = 0 . В этом случае закон Гука принимает вид

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

Анизотропные материалы

Симметрия тензора напряжений Коши ( σ _ij = σ _ji ) и обобщенных законов Гука ( σ _ij = c _ijkl ε _kl ) означает, что c _ijkl = c _jikl . Аналогично, из симметрии тензора бесконечно малых деформаций следует, что c _ijkl = c _ijlk . Эти симметрии называются минорными симметриями тензора жесткости c . Это уменьшает количество упругих констант с 81 до 36.

Если, кроме того, поскольку градиент смещения и напряжение Коши являются сопряженными по работе, соотношение напряжение-деформация может быть получено из функционала плотности энергии деформации ( U ), тогда

$$\sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.$$

Из произвольности порядка дифференцирования следует, что c _ijkl = c _klij . Они называются основными симметриями тензора жесткости. Это уменьшает количество упругих констант с 36 до 21. Большая и малая симметрии указывают на то, что тензор жесткости имеет только 21 независимый компонент.

Матричное представление (тензор жесткости)

Часто бывает полезно выразить анизотропную форму закона Гука в матричной записи, также называемой нотацией Фойгта . Для этого воспользуемся симметрией тензоров напряжений и деформаций и выразим их в виде шестимерных векторов в ортонормированной системе координат ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) как

$$[{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}$$

Тогда тензор жесткости ( c ) можно выразить как

$$[{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}$$

а закон Гука записывается как

$$[{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.$$

Аналогично тензор ( ы ) податливости можно записать как

$$[{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}$$

Изменение системы координат

Если линейно-упругий материал вращается из одной базовой конфигурации в другую, то материал симметричен относительно вращения, если компоненты тензора жесткости в повернутой конфигурации связаны с компонентами в базовой конфигурации соотношением

$$c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}$$

где l _ab — компоненты ортогональной матрицы вращения [ L ] . То же соотношение справедливо и для инверсий.

В матричной записи, если преобразованный базис (повернутый или инвертированный) связан с эталонным базисом соотношением

$$[\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]$$

затем

$$C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.$$

Кроме того, если материал симметричен относительно преобразования [ L ], то

$$C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.$$

Ортотропные материалы

Основная статья: Ортотропный материал

Ортотропные материалы имеют три ортогональные плоскости симметрии . Если базисные векторы ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) являются нормалями к плоскостям симметрии, то из соотношений преобразования координат следует, что

$${\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}$$

Обратное это соотношение обычно записывается как

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}$$

где

• E _i - модуль Юнга вдоль оси i.
• G _ij — модуль сдвига в направлении j на плоскости, нормаль которой лежит в направлении i.
• ν _ij — коэффициент Пуассона , который соответствует сжатию в направлении j, когда расширение применяется в направлении i .

В плоского напряжения условиях σ _zz = σ _zx = σ _yz = 0 закон Гука для ортотропного материала принимает вид

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.$$

Обратная зависимость

$${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.$$

Также часто используется транспонированная форма приведенной выше матрицы жесткости.

Трансверсально-изотропные материалы

Трансверсально -изотропный материал симметричен относительно вращения вокруг оси симметрии . Для такого материала, если e ₃ — ось симметрии, закон Гука можно выразить как

$${\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}$$

Чаще всего x ≡ e ₁ за ось симметрии принимают ось и обратный закон Гука записывается как

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}$$

Универсальный индекс упругой анизотропии

Чтобы понять степень анизотропии любого класса, используется универсальный индекс упругой анизотропии (AU). было сформулировано. Он заменяет коэффициент Зенера , который подходит для кубических кристаллов .

Термодинамическая основа

Линейные деформации упругих материалов можно аппроксимировать как адиабатические . В этих условиях и для квазистатических процессов первый закон термодинамики для деформируемого тела можно выразить как

$$\delta W=\delta U$$

где δU — прирост внутренней энергии , а δW — работа внешних сил. Работу можно разделить на два срока.

$$\delta W=\delta W_{\mathrm {s} }+\delta W_{\mathrm {b} }$$

где δW _s — работа поверхностных сил , а δW _b — работа объемных сил . Если δ u является изменением поля смещений u в теле, то два члена внешней работы можно выразить как

$$\delta W_{\mathrm {s} }=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV$$

где t — вектор поверхностного сцепления , b — вектор силы тела, Ω представляет тело, а ∂ Ω представляет его поверхность. Используя соотношение между напряжением Коши и поверхностным сцеплением, t = n · σ (где n — единица внешней нормали к ∂ Ω ), мы имеем

$$\delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} \,dS+\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.$$

Преобразование поверхностного интеграла в объемный интеграл с помощью теоремы о дивергенции дает

$$\delta U=\int _{\Omega }{\big (}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.$$

Используя симметрию напряжения Коши и тождество

$$\nabla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}:\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)$$

у нас есть следующее

$$\delta U=\int _{\Omega }\left({\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,.$$

Из определения деформации и уравнений равновесия имеем

$$\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.$$

Следовательно, мы можем написать

$$\delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dV$$

и поэтому изменение плотности внутренней энергии определяется выражением

$$\delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.$$

Упругий . материал определяется как материал, у которого полная внутренняя энергия равна потенциальной энергии внутренних сил (также называемой энергией упругой деформации ) Следовательно, плотность внутренней энергии является функцией деформации U ₀ = U ₀ ( ε ) , а изменение внутренней энергии можно выразить как

$$\delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.$$

Поскольку изменение деформации произвольно, соотношение напряжение-деформация упругого материала определяется выражением

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}\,.$$

Для линейно-упругого материала величина ∂ U ₀ / ∂ ε является линейной функцией от ε и поэтому может быть выражена как

$${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}$$

где c — тензор материальных констант четвертого ранга, также называемый тензором жесткости . Мы можем понять, почему c должен быть тензором четвертого ранга, заметив, что для линейно упругого материала

$${\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})={\text{constant}}={\mathsf {c}}\,.$$

В индексном обозначении

$${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,.$$

Правая константа требует четырех индексов и является величиной четвертого ранга. Мы также можем видеть, что эта величина должна быть тензором, поскольку это линейное преобразование, которое переводит тензор деформации в тензор напряжений. Мы также можем показать, что константа подчиняется правилам тензорного преобразования для тензоров четвертого ранга.

См. также

• Акустоэластичный эффект
• Упругая потенциальная энергия
• Законы науки
• Список научных законов, названных в честь людей
• Квадратичная форма
• Последовательные и параллельные пружины
• Пружинная система
• Простое гармоническое движение массы на пружине.
• Синусоидальная волна
• Твердая механика
• Пружинный маятник

Ссылки

• Закон Гука - Фейнмановские лекции по физике
• Закон Гука — Классическая механика — Физика — MIT OpenCourseWare

Внешние ссылки

• JavaScript-апплет, демонстрирующий закон Спрингса и Гука
• JavaScript-апплет, демонстрирующий Spring Force

скрывать Формулы преобразования
Однородные изотропные линейно-упругие материалы имеют упругие свойства, однозначно определяемые любыми двумя модулями из них; таким образом, по любым двум модулям упругости можно рассчитать любой другой из этих формул, приведённых как для 3D-материалов (первая часть таблицы), так и для 2D-материалов (вторая часть).
3D-формулы	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Примечания
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Есть два верных решения. Знак плюс приводит к $\nu \geq 0$. Знак минус приводит к $\nu \leq 0$.
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Нельзя использовать, когда $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D-формулы	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Примечания
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Нельзя использовать, когда $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$