Тензор вязких напряжений

Тензор вязкого напряжения — это тензор, используемый в механике сплошной среды для моделирования той части напряжения в определенной точке внутри некоторого материала, которую можно отнести к скорости деформации — скорости , с которой материал деформируется вокруг этой точки.

Тензор вязких напряжений формально аналогичен тензору упругих напряжений (тензору Коши), который описывает внутренние силы в упругом материале, возникающие вследствие его деформации. Оба тензора отображают вектор нормали к элементу поверхности с плотностью и направлением напряжения, действующего на этот элемент поверхности. Однако упругое напряжение обусловлено величиной деформации ( деформацией ), тогда как вязкое напряжение обусловлено скоростью изменения деформации с течением времени (скоростью деформации). В вязкоупругих материалах, поведение которых занимает промежуточное положение между поведением жидкостей и твердых тел, тензор суммарных напряжений включает как вязкую, так и упругую («статическую») компоненты. Для полностью жидкого материала упругий член сводится к гидростатическому давлению .

В произвольной системе координат вязкое напряжение $ε$ и скорость деформации $E$ в конкретную точку и время могут быть представлены матрицами действительных чисел 3 × 3. Во многих ситуациях между этими матрицами существует приблизительно линейная связь; то есть тензор вязкости $ц$ четвертого порядка такой, что $е = цЕ$ . Тензор $µ$ имеет четыре индекса и состоит из действительных чисел 3×3×3×3 (из которых только 21 независимое). В ньютоновской жидкости по определению связь между $ε$ и $E$ совершенно линейна, а тензор вязкости $μ$ не зависит от состояния движения или напряжения в жидкости. Если жидкость является не только ньютоновской, но и изотропной, то тензор вязкости $ц$ будет иметь только три независимых действительных параметра: коэффициент объемной вязкости , определяющий сопротивление среды постепенному равномерному сжатию; коэффициент динамической вязкости , который выражает сопротивление постепенному сдвигу, и коэффициент ротационной вязкости , который возникает в результате связи между потоком жидкости и вращением отдельных частиц. ^[1]^: 304 В отсутствие такой связи тензор вязких напряжений будет иметь только два независимых параметра и будет симметричным. С другой стороны, в неньютоновских жидкостях связь между $ε$ и $E$ может быть крайне нелинейной, и $ε$ может даже зависеть от других особенностей потока, помимо $E$ .

Определение

Вязкое и упругое напряжение

Внутренние механические напряжения в сплошной среде обычно связаны с деформированием материала из некоторого «расслабленного» (ненапряженного) состояния. Эти напряжения обычно включают упругую («статическую») составляющую напряжения, которая связана с текущей величиной деформации и действует для восстановления материала в состояние покоя; и компонент вязкого напряжения , который зависит от скорости изменения деформации со временем и противодействует этому изменению.

Тензор вязких напряжений

Подобно полному и упругому напряжениям, вязкое напряжение вокруг определенной точки материала в любой момент можно смоделировать с помощью тензора напряжений, линейной зависимости между вектором направления нормали идеальной плоскости, проходящей через точку, и локальной плотностью напряжений. на этом самолете в тот момент.

В любой выбранной системе координат с осями с номерами 1, 2, 3 этот тензор вязких напряжений можно представить в виде матрицы действительных чисел 3 × 3:

\varepsilon (p,t)={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,.

Обратите внимание, что эти числа обычно меняются в зависимости от точки $p$ и времени $t$ .

Рассмотрим бесконечно малый плоской элемент поверхности с центром в точке $p$ , представленный вектором $dA,$ длина которого равна площади элемента и направление которого перпендикулярно ему. Пусть $dF$ — бесконечно малая сила, возникающая из-за вязкого напряжения, приложенного через этот элемент поверхности к материалу на стороне, противоположной $dA$ . Тогда компоненты $dF$ вдоль каждой оси координат определяются выражением

dF_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}\,dA_{j}\,.

В любом материале общий тензор напряжений $σ$ представляет собой сумму тензора вязких напряжений $ε$ , тензора упругих напряжений $τ$ и гидростатического давления $p$ . В идеально жидком материале, который по определению не может иметь статического напряжения сдвига, тензор упругих напряжений равен нулю:

\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\varepsilon _{ij}\,,

где $δ ij$ — единичный тензор , такой, что $δ ij$ равен 1, если $i = j$ , и 0, если $i \neq j$ .

Хотя вязкие напряжения создаются физическими явлениями, которые сильно зависят от природы среды, тензор вязких напряжений $ε$ является лишь описанием локальных мгновенных сил между соседними частями материала, а не свойством материала.

Симметрия

Игнорируя крутящий момент на элементе, обусловленный потоком («внешний» крутящий момент), вязкий «внутренний» крутящий момент на единицу объема жидкого элемента записывается (как антисимметричный тензор) как

\tau _{ij}=\varepsilon _{ij}-\varepsilon _{ji}

и представляет скорость изменения собственной плотности углового момента со временем. Если частицы имеют вращательные степени свободы, это будет означать собственный угловой момент, и если этот угловой момент может быть изменен в результате столкновений, возможно, что этот собственный угловой момент может измениться во времени, что приведет к собственному крутящему моменту, который не равен нулю. что будет означать, что тензор вязких напряжений будет иметь антисимметричную составляющую с соответствующим коэффициентом вращательной вязкости . ^[1] Если частицы жидкости имеют пренебрежимо малый угловой момент или если их угловой момент не связан заметно с внешним угловым моментом, или если время установления равновесия между внешней и внутренней степенями свободы практически равно нулю, крутящий момент будет равен нулю и тензор вязких напряжений будет симметричным. Внешние силы могут привести к асимметричной составляющей тензора напряжений (например, ферромагнитные жидкости , которые могут испытывать крутящий момент под действием внешних магнитных полей ).

Физические причины вязкого напряжения

В твердом материале упругая составляющая напряжения может быть связана с деформацией связей между атомами и молекулами материала и может включать в себя напряжения сдвига . В жидкости упругое напряжение можно объяснить увеличением или уменьшением среднего расстояния между частицами, что влияет на скорость их столкновений или взаимодействия и, следовательно, на передачу импульса через жидкость; следовательно, оно связано с микроскопической термической случайной составляющей движения частиц и проявляется как изотропное гидростатическое напряжение давления.

С другой стороны, вязкая составляющая напряжения возникает из-за макроскопической средней скорости частиц. Его можно объяснить трением или диффузией частиц между соседними участками среды, имеющими разные средние скорости.

Уравнение вязкости

Тензор скорости деформации

В гладком потоке скорость изменения локальной деформации среды во времени (скорость деформации) может быть аппроксимирована тензором скорости деформации $E (p, t)$ , который обычно является функцией точки $p$ и времени. $т$ . По отношению к любой системе координат ее можно выразить матрицей 3×3.

Тензор скорости деформации $E (p, t)$ можно определить как производную тензора деформации $e (p, t)$ по времени или, что то же самое, как симметричную часть градиента ( производную по пространству) вектор скорости потока $v (p, t)$ :

E={\frac {\partial e}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left((\nabla v)+(\nabla v)^{\textsf {T}}\right)\,,

где $\nabla v$ обозначает градиент скорости. В декартовых координатах $\nabla v$ — матрица Якоби ,

(\nabla v)_{ij}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}

и поэтому

E_{ij}={\frac {\partial e_{ij}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)\,.

В любом случае, тензор скорости деформации $E (p, t)$ выражает скорость, с которой изменяется средняя скорость в среде по мере удаления от точки $p$ – за исключением изменений, вызванных вращением среды вокруг $p$ как твердого тела. , которые не меняют относительные расстояния частиц и лишь вносят вклад во вращательную часть вязкого напряжения за счет вращения самих отдельных частиц. (Эти изменения включают в себя завихренность потока, которая представляет собой ротор (вращательный) $\nabla \times v$ скорости; который также является антисимметричной частью градиента скорости $\nabla v$ .)

Общие потоки

Тензор вязких напряжений представляет собой лишь линейную аппроксимацию напряжений вокруг точки $p$ и не учитывает члены более высокого порядка своего ряда Тейлора . Однако практически во всех практических ситуациях этими членами можно пренебречь, поскольку они становятся незначительными на масштабах размеров, где вязкое напряжение генерируется и влияет на движение среды. То же самое можно сказать и о тензоре скорости деформации $E$ как о представлении картины скоростей вокруг $p$ .

Таким образом, линейных моделей, представленных тензорами $E$ и $ε,$ почти всегда достаточно для описания вязкого напряжения и скорости деформации вокруг точки с целью моделирования ее динамики . В частности, скорость локальной деформации $E (p, t)$ является единственным свойством скоростного потока, которое напрямую влияет на вязкое напряжение $ε (p, t)$ в данной точке.

С другой стороны, связь между $E$ и $ε$ может быть весьма сложной и сильно зависит от состава, физического состояния и микроскопической структуры материала. Он также часто бывает очень нелинейным и может зависеть от деформаций и напряжений, ранее испытываемых материалом, который сейчас находится вокруг рассматриваемой точки.

Общие ньютоновские СМИ

Среду называют ньютоновской, если вязкое напряжение $ε (p, t)$ является линейной функцией скорости деформации $E (p, t)$ , и эта функция в остальном не зависит от напряжений и движения жидкости вокруг $точки p$ . Ни одна реальная жидкость не является совершенно ньютоновской, номожно предположить, что многие важные жидкости, включая газы и воду, являются таковыми, если напряжения течения и скорости деформации не слишком высоки.

В общем, линейная связь между двумя тензорами второго порядка представляет собой тензор четвертого порядка. В частности, в ньютоновской среде вязкое напряжение и скорость деформации связаны тензором вязкости $μ$ :

\varepsilon _{ij}=\sum _{kl}2{\boldsymbol {\mu }}_{ijkl}E_{kl}\,.

Коэффициент вязкости $μ$ — это свойство ньютоновского материала, которое по определению не зависит иначе от $v$ или $σ$ .

Тензор скорости деформации $E (p, t)$ симметричен по определению, поэтому он имеет только шесть линейно независимых элементов. Следовательно, тензор вязкости $μ$ имеет только 6 × 9 = 54 степени свободы, а не 81. В большинстве жидкостей тензор вязких напряжений также симметричен, что еще больше уменьшает количество параметров вязкости до 6 × 6 = 36.

Сдвиговое и объемное вязкое напряжение

В отсутствие вращательных эффектов тензор вязких напряжений будет симметричным. Как и любой симметричный тензор, тензор вязких напряжений $ε$ можно выразить как сумму бесследового симметричного тензора $ε с$ и скалярное кратное $ε v$ тождественного тензора. В координатной форме

{\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&=\varepsilon _{ij}^{\text{v}}+\varepsilon _{ij}^{\text{s}}\\[3pt]\varepsilon _{ij}^{\text{v}}&={\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\\\varepsilon _{ij}^{\text{s}}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\,.\end{aligned}}

Это разложение не зависит от системы координат и поэтому физически значимо. Постоянная часть $ε v$ Тензор вязких напряжений проявляется как своего рода давление, или объемное напряжение, действующее одинаково и перпендикулярно на любую поверхность, независимо от ее ориентации. В отличие от обычного гидростатического давления, оно может появляться только при изменении напряжения, противодействуя этому изменению; и оно может быть отрицательным.

Изотропный ньютоновский случай

В ньютоновской среде, которая является изотропной (т. е. свойства которой одинаковы во всех направлениях), каждая часть тензора напряжений связана с соответствующей частью тензора скорости деформации.

{\begin{aligned}\varepsilon ^{\text{v}}(p,t)&=2\mu ^{\text{v}}E^{\text{v}}(p,t)\,,\\\varepsilon ^{\text{s}}(p,t)&=2\mu ^{\text{s}}E^{\text{s}}(p,t)\,,\end{aligned}}

где $Е v$ и $Е с$ – скалярно-изотропная и нулевая части тензора скорости деформации $E$ , а $µ v$ и $мкм с$ два действительных числа. ^[2] Таким образом, в этом случае тензор вязкости $ц$ имеет только два независимых параметра.

Часть с нулевым следом $E с$ представляет собой $E$ симметричный тензор 3 × 3, который описывает скорость, с которой среда деформируется в результате сдвига, игнорируя любые изменения ее объема. Таким образом, часть нулевого следа $ε с$ ε $—$ это знакомое вязкое напряжение сдвига , которое связано с прогрессирующей деформацией сдвига . Это вязкое напряжение, которое возникает в жидкости, движущейся по трубке с однородным поперечным сечением ( течение Пуазейля ) или между двумя параллельными движущимися пластинами ( течение Куэтта ), и сопротивляется этим движениям.

Часть $Е v$ E $,$ действует как скалярный множитель (например $ε v$ ), средняя скорость расширения среды вокруг рассматриваемой точки. (В любой системе координат она представляется диагональной матрицей 3×3 с одинаковыми значениями по диагонали.) Численно она равна ⁠ 1/3 ⁠ дивергенции скорости

\nabla \cdot v=\sum _{k}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{k}}}\,,

что, в свою очередь, представляет собой относительную скорость изменения объема жидкости из-за потока.

Следовательно, скалярная часть $ε v$ ε $— это напряжение, которое можно наблюдать ,$ когда материал сжимается или расширяется с одинаковой скоростью во всех направлениях. Оно проявляется в виде дополнительного давления , которое появляется только при сжатии материала, но (в отличие от истинного гидростатического давления) пропорционально скорости изменения сжатия, а не величине сжатия, и исчезает, как только объем перестает изменяться.

Эта часть вязкого напряжения, обычно называемая объемной вязкостью или объемной вязкостью, часто важна в вязкоупругих материалах и отвечает за затухание волн давления в среде. Объемной вязкостью можно пренебречь, когда материал можно считать несжимаемым (например, при моделировании течения воды в канале).

Коэффициент $ц v$ , часто обозначаемый $η$ , называется коэффициентом объемной вязкости (или «второй вязкости»); в то время как $μ с$ – коэффициент общей (сдвиговой) вязкости.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Де Гроот, СР; Мазур, П. (1984). Неравновесная термодинамика . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-64741-2 .
^ Ландау, LD; Лифшиц, Э.М. (1997). Механика жидкости . Перевод Сайкса, Дж. Б.; Рид, WH (2-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. ISBN 0-7506-2767-0 .

[dG1984-1] Jump up to: ^а ^б Де Гроот, СР; Мазур, П. (1984). Неравновесная термодинамика . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-64741-2 .

[2] Ландау, LD; Лифшиц, Э.М. (1997). Механика жидкости . Перевод Сайкса, Дж. Б.; Рид, WH (2-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. ISBN 0-7506-2767-0 .

[1]

[2]