Уравнение завихренности

Уравнение завихренности гидродинамики ; описывает эволюцию завихренности ω $частицы$ жидкости при движении вместе со своим потоком ее то есть локальное вращение жидкости (в терминах векторного исчисления это ротор ) скорости потока . Основное уравнение:

${\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)\end{aligned}}$

где $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ D / Dt ⁠$ — оператор производной материала , $u$ — скорость потока , $ρ$ — локальная плотность жидкости , $p$ — локальное давление , $τ$ — тензор вязких напряжений , а $B$ представляет собой сумму внешних массовых сил . Первый исходный термин в правой части представляет растяжение вихря .

Уравнение справедливо в отсутствие каких-либо сосредоточенных моментов и линейных сил для сжимаемой ньютоновской жидкости . В случае несжимаемого потока (т. е. с низким числом Маха ) и изотропных жидкостей с консервативными объемными силами уравнение упрощается до уравнения переноса завихренности :

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}

где $ν$ — кинематическая вязкость , $\nabla ^{2}$ — оператор Лапласа . При дальнейшем предположении о двумерном потоке уравнение упрощается до:

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}

Физическая интерпретация

Термин $⁠ D ω / Dt ⁠$ в левой части — материальная производная вектора завихренности $ω$ . Он описывает скорость изменения завихренности движущейся частицы жидкости. Это изменение можно объяснить нестационарностью потока ( $⁠ \partial ω / \partial t ⁠$ , нестационарный член ) или из-за движения частицы жидкости при движении из одной точки в другую ( $(u ∙ \nabla) ω$ , конвекционный член ).
Член $(ω ∙ \nabla) u$ в правой части описывает растяжение или наклон завихренности из-за градиентов скорости потока. Заметим, что $(ω ∙ \nabla) u$ — векторная величина, так как $ω ∙ \nabla$ — скалярный дифференциальный оператор, а $\nabla u$ — девятиэлементная тензорная величина.
Член $ω (\nabla ∙ u)$ описывает растяжение завихренности вследствие сжимаемости потока. Это следует из уравнения непрерывности Навье-Стокса , а именно ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}$ где $v = ⁠ 1 / ρ ⁠$ — удельный объём жидкого элемента. Можно думать о $\nabla ∙ u$ как о мере сжимаемости потока. Иногда в термин включается отрицательный знак.
Термин $⁠ 1 / п 2 ⁠ \nabla ρ \times \nabla p$ — бароклинический термин . Он объясняет изменения завихренности вследствие пересечения поверхностей плотности и давления.
Член $\nabla \times (⁠ \nabla ∙ τ / ρ ⁠)$ объясняет диффузию завихренности из-за вязких эффектов.
Член $\nabla \times B$ учитывает изменения, вызванные внешними массовыми силами. Это силы, которые распространяются по трехмерной области жидкости, такие как гравитация или электромагнитные силы . (В отличие от сил, которые действуют только на поверхность (например, сопротивление стены) или линию (например, поверхностное натяжение вокруг мениска ).

Упрощения

В случае консервативных объемных сил ∇ $\times B = 0$ .
Для баротропной жидкости ∇ $ρ \times \nabla p = 0$ . Это также верно для жидкости постоянной плотности (включая несжимаемую жидкость), где $\nabla ρ = 0$ . Обратите внимание, что это не то же самое, что несжимаемый поток , для которого нельзя пренебрегать баротропным членом.
Для невязких жидкостей тензор вязкости $τ$ равен нулю.

Таким образом, для невязкой баротропной жидкости с консервативными объемными силами уравнение завихренности упрощается до

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)=\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u}

Альтернативно, в случае несжимаемой, невязкой жидкости с консервативными массовыми силами,

{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u}

^[1]

Краткий обзор дополнительных случаев и упрощений см. также. ^[2] Об уравнении завихренности в теории турбулентности в контексте течений в океанах и атмосфере см. ^[3]

Вывод

Уравнение завихренности можно вывести из уравнения Навье – Стокса сохранения углового момента . В отсутствие каких-либо сосредоточенных моментов и линейных сил получаем:

{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}+{\frac {\mathbf {B} }{\rho }}

Теперь завихренность определяется как ротор вектора скорости потока; взятие ротора уравнения количества движения дает искомое уравнение. При выводе уравнения полезны следующие тождества:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}&=\nabla \times \mathbf {u} \\\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\\nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}

где $\phi$ – любое скалярное поле.

Тензорная запись

Уравнение завихренности можно выразить в тензорной записи, используя соглашение Эйнштейна о суммировании и символ Леви-Чивита $e ijk$ :

{\begin{aligned}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}

В конкретных науках

Науки об атмосфере

В науках об атмосфере уравнение завихренности можно сформулировать в терминах абсолютной завихренности воздуха относительно инерциальной системы отсчета или завихренности относительно вращения Земли. Абсолютная версия

{\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\times \nabla _{\text{h}}\rho \right)

Здесь $η$ — полярная ( $z$ ) составляющая завихренности, $ρ$ атмосферы — плотность , $u$ , $v$ и w — компоненты скорости ветра , а $\nabla h$ — двумерная (т.е. только горизонтальная компонента) del .

См. также

Ссылки

^ Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Д. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред (1-е изд.). Дуврские публикации. п. 351. ИСБН 978-0-486-43261-8 .
^ Берр, К.П. «Морская гидродинамика, лекция 9» (PDF) . Лекции Массачусетского технологического института .
^ Салмон, Ричард Л. «Лекции по геофизической гидродинамике, глава 4» (PDF) . Издательство Оксфордского университета; 1 издание (26 февраля 1998 г.) .

Дальнейшее чтение

Манна, Утпал; Шритаран, СС (2007). «Функционалы Ляпунова и локальная диссипативность для уравнения завихренности в $L п$ и пространства Бесова». Дифференциальные и интегральные уравнения . 20 (5): 581–598. arXiv : 0802.2898 . doi : 10.57262/die/1356039440 . S2CID 50701138 .
Барбу, В.; Шритаран, СС (2000). « $M$ -аккретивное квантование уравнения завихренности» (PDF) . В Балакришнане, А.В. (ред.). Полугруппы операторов: теория и приложения . Бостон: Биркхаузер. стр. 296–303.
Кригель, AM (1983). «Вихревая эволюция». Геофизическая и астрофизическая гидродинамика . 24 (3): 213–223. Бибкод : 1983GApFD..24..213K . дои : 10.1080/03091928308209066 .

[1] Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Д. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред (1-е изд.). Дуврские публикации. п. 351. ИСБН 978-0-486-43261-8 .

[2] Берр, К.П. «Морская гидродинамика, лекция 9» (PDF) . Лекции Массачусетского технологического института .

[3] Салмон, Ричард Л. «Лекции по геофизической гидродинамике, глава 4» (PDF) . Издательство Оксфордского университета; 1 издание (26 февраля 1998 г.) .

[1]

[2]

[3]