Бургеры вихрь

В гидродинамике вихрь Бюргерса или вихрь Бюргерса-Ротта является точным решением уравнений Навье-Стокса , управляющих вязким потоком , названным в честь Яна Бюргерса. и Николас Ротт. Вихрь Бюргерса описывает стационарный автомодельный поток. Внутренний радиальный поток имеет тенденцию концентрировать завихренность в узком столбе вокруг оси симметрии, тогда как осевое растяжение приводит к увеличению завихренности. В то же время вязкая диффузия имеет тенденцию к распространению завихренности. Стационарный вихрь Бюргерса возникает, когда все три эффекта находятся в равновесии.

Вихрь Бюргерса, помимо того, что служит иллюстрацией механизма растяжения вихря , может описывать такие потоки, как торнадо, где завихренность обеспечивается непрерывным конвекцией растяжением вихря, вызванным .

Поле потока

Азимутальная скорость и $z$-компонентная завихренность в вихре Бюргерса

Течение вихря Бюргерса описывается в цилиндрической форме. $(r,\theta ,z)$ координаты. Предполагая осевую симметрию (нет $\theta$-зависимость) поле течения, связанное с течением в осесимметричной критической точке рассматривается :

$v_{r}=-\alpha r,$

$v_{z}=2\alpha z,$

$v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}g(r),$

где $\alpha >0$ (скорость деформации) и $\Gamma >0$ (циркуляция) являются константами. Поток удовлетворяет уравнению неразрывности по двум первым из приведенных выше уравнений. Тогда уравнение азимутального импульса уравнений Навье – Стокса сводится к

$r{\frac {d^{2}g}{dr^{2}}}+\left({\frac {\alpha r^{2}}{\nu }}-1\right){\frac {dg}{dr}}=0$

где $\nu$ – кинематическая вязкость жидкости. Уравнение интегрируется с условием $g(\infty )=1$ так что на бесконечности решение ведет себя как потенциальный вихрь, но в конечном положении поток является вращательным. Выбор $g(0)=0$ обеспечивает $v_{\theta }=0$ на оси. Решение

$g=1-\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).$

Уравнение завихренности дает только нетривиальную составляющую в $z$-направление, заданное

$\omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu }}\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).$

Интуитивно поток можно понять, рассмотрев три члена уравнения завихренности для $\omega _{z}$,

$-\alpha r{\frac {d\omega _{z}}{dr}}=2\alpha \omega _{z}+{\frac {\nu }{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d\omega _{z}}{dr}}\right).$

Первый член в правой части приведенного выше уравнения соответствует растяжению вихря, которое усиливает завихренность ядра вихря за счет составляющей осевой скорости. $v_{z}=2\alpha z$. Усиленная завихренность пытается диффундировать наружу радиально из-за второго члена в правой части, но ей препятствует радиальная завихренность конвекции из-за $v_{r}=-\alpha r$ которое появляется в левой части приведенного выше уравнения. Трехсторонний баланс обеспечивает устойчивое решение. Вихрь Бюргерса является устойчивым решением уравнений Навье–Стокса.

Одним из важных свойств вихря Бюргерса, показанного Яном Бюргерсом, является то, что полная скорость вязкой диссипации $\Phi$ на единицу осевой длины не зависит от вязкости, что указывает на то, что диссипация вихря Бюргерса отлична от нуля даже в пределе $\nu \to 0$. По этой причине он служит подходящим кандидатом для моделирования и понимания растянутых вихревых трубок, наблюдаемых в турбулентных потоках. Полная скорость диссипации на единицу осевой длины в несжимаемых потоках просто равна полной энстрофии на единицу длины, которая определяется выражением

$\Phi =\nu \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\omega _{z}^{2}\,rdrd\theta ={\frac {\alpha \Gamma ^{2}}{4\pi }}.$

Неустойчивая эволюция к вихрю Бюргерса

Точное решение нестационарных уравнений Навье Стокса для произвольной функции $\alpha =\alpha (t)$ доступен. В частности, когда $\alpha$ постоянно, поле завихренности $\omega (r,t)$ с произвольным начальным распределением $\Omega (r)=\omega (r,0)$ дается

$\omega (r,t)={\frac {\alpha }{2\pi \nu (1-e^{-2\alpha t})}}\iint \Omega \left({\sqrt {\xi _{1}^{2}+\eta _{1}^{2}}}~\right)\exp \left[{\frac {-(x-\xi _{1}e^{-\alpha t})^{2}-(y-\eta _{1}e^{-\alpha t})^{2}}{(2\nu /\alpha )(1-e^{-2\alpha t})}}\right]\,d\xi _{1}d\eta _{1}.$

Как $t\rightarrow \infty$, асимптотическое поведение определяется выражением

$\omega (r,t)={\frac {\alpha }{2\pi \nu }}\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)\left[\Gamma +e^{-2\alpha t}\int _{0}^{\infty }\Omega (s)\left({\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}-1\right)\left({\frac {\alpha s^{2}}{2\nu }}-1\right)2\pi s\,ds+O(e^{-4\alpha t})\right],\qquad \Gamma =\int _{0}^{\infty }\Omega (s)2\pi s\,ds$

Таким образом, при условии $\Gamma \neq 0$произвольное распределение завихренности приближается к вихрю Бюргерса. Если $\Gamma =0$, скажем, в случае, когда начальное состояние состоит из двух равных и противоположных вихрей, тогда первый член равен нулю, а второй член подразумевает, что завихренность убывает до нуля как $t\rightarrow \infty .$

Вихревой слой бургеров

$y$- скорость компонента и $z$-компонентная завихренность в вихревом слое Бюргерса

Вихревой слой Бюргерса или вихревая полоса Бюргерса представляет собой напряженный сдвиговый слой, который является двумерным аналогом вихря Бюргерса. Это также точное решение уравнений Навье – Стокса, впервые описанных Альбертом А. Таунсендом в 1951 году. Поле скоростей $(v_{x},v_{y},v_{z})$ выраженные в декартовых координатах:

$v_{x}=-\alpha x,$

$v_{z}=\alpha z,$

$v_{y}=U\operatorname {erf} \left({\frac {{\sqrt {\alpha }}x}{\sqrt {2\nu }}}\right),$

где $\alpha >0$ - скорость деформации, $v_{y}(+\infty )=U$ и $v_{y}(-\infty )=-U$. Значение $2U$ интерпретируется как сила вихревого слоя . Уравнение завихренности дает только нетривиальную составляющую в $z$-направление, заданное

$\omega _{z}=2U{\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi \nu }}}\exp \left(-{\frac {\alpha x^{2}}{2\nu }}\right).$

К. Н. Беронов и С. Кида показали неустойчивость вихревого слоя Бюргерса к малым возмущениям. таким образом, сначала возникает нестабильность Кельвина – Гельмгольца , за которой следуют вторые нестабильности. и, возможно, переходят к вихрям Керра – Долда при умеренно больших числах Рейнольдса, но становятся турбулентными при больших числах Рейнольдса.

Неосесимметричные вихри Бюргерса

В неосесимметричных напряженных потоках возникают неосесимметричные вихри Бюргерса. Теория неосесимметричного вихря Бюргерса для малых вихревых чисел Рейнольдса $Re=\Gamma /(2\pi \nu )$ был разработан AC Robinson и Philip Saffman в 1984 году. тогда как Кейт Моффат , С. Кида и К. Окитани разработали теорию $Re\gg 1$ в 1994 году. Структуру неосесимметричных вихрей Бюргерса для произвольных значений вихревого числа Рейнольдса можно обсудить посредством численного интегрирования. Поле скорости принимает вид

$v_{x}=-\alpha x+u(x,y),$

$v_{y}=-\beta y+v(x,y),$

$v_{z}=\gamma z$

подчиняется условию $\gamma =\alpha +\beta$. Без ограничения общности можно считать $\alpha >0$ и $\gamma >0$. Сечение вихря лежит в $xy$ плоскости, обеспечивающей ненулевую составляющую завихренности в $z$ направление

$\omega _{z}={\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$

Осесимметричный вихрь Бюргерса восстанавливается, когда $\alpha =\beta =\gamma /2$ тогда как вихревой слой Бюргерса восстанавливается, когда $\alpha =\gamma$ и $\beta =0$.

Вихрь бургеров на цилиндрических застойных поверхностях

Явное решение уравнений Навье–Стокса для вихря Бюргерса в растянутых цилиндрических застойных поверхностях было решено П. Раджаманикамом и А.Д. Вайсом. Решение выражается в цилиндрической системе координат следующим образом

$v_{r}=-\alpha \left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right),$

$v_{z}=2\alpha z,$

$v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}P\left(1+{\frac {\alpha r_{s}^{2}}{2\nu }},{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right),$

где $\alpha >0$ - скорость деформации, $r_{s}\geq 0$ – радиальное расположение цилиндрической застойной поверхности, $\Gamma >0$ это циркуляция и $P$ – регуляризованная гамма-функция . Это решение представляет собой не что иное, как вихрь Бюргерса при наличии линейного источника с силой источника $Q=2\pi \alpha r_{s}^{2}$. Уравнение завихренности дает только нетривиальную составляющую в $z$-направление, заданное

$\omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu {\tilde {\Gamma }}(1+\alpha r_{s}^{2}/2\nu )}}\left({\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)^{\alpha r_{s}^{2}/2\nu }\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)$

где ${\tilde {\Gamma }}$ в приведенном выше выражении является гамма-функцией . Как $r_{s}\rightarrow 0$, решение сводится к вихревому решению Бюргерса и как $r_{s}\rightarrow \infty$, решение становится решением вихревого слоя Бюргерса. Также существует явное решение для вихря Салливана на цилиндрической застойной поверхности.

См. также

• Салливанский вихрь
• Керр – Скрытый вихрь