Вихревой лист

Вихревой лист — это термин, используемый в механике жидкости для обозначения поверхности, на которой наблюдается разрыв скорости жидкости , например, при скольжении одного слоя жидкости по другому. ^[1] В то время как тангенциальные компоненты скорости потока прерывисты поперек вихревой пелены, нормальная составляющая скорости потока непрерывна. Прерывистость тангенциальной скорости означает, что поток имеет бесконечную завихренность на вихревом слое.

При высоких числах Рейнольдса вихревые листы имеют тенденцию быть нестабильными. В частности, они могут проявлять нестабильность Кельвина-Гельмгольца .

Формулировка уравнения движения вихревого слоя дается в терминах комплексной координаты $z=x+iy$ . Лист описывается параметрически формулой $z(s,t)$ где $s$ длина дуги между координатой $z$ и ориентир, и $t$ это время. Позволять $\gamma (s,t)$ обозначают прочность листа, т. е. скачок тангенциального разрыва. Тогда поле скорости, индуцированное листом, равно

${\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma (s',t)\mathrm {d} s'}{z(s,t)-z(s',t)}}$

Интеграл в приведенном выше уравнении представляет собой интеграл главного значения Коши. Теперь мы определяем $\Gamma$ как интегрированная прочность листа или циркуляция между точками с длиной дуги $s$ и точка эталонного материала $s=0$ в листе.

$\Gamma (s,t)=\int \limits _{0}^{s}\gamma (s',t)\mathrm {d} s'\qquad \mathrm {and} \qquad {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} s}}=\gamma (s,t)$

Как следствие теоремы о циркуляции Кельвина, при отсутствии внешних сил на листе циркуляция между любыми двумя материальными точками листа сохраняется, поэтому $\mathrm {d} \Gamma /\mathrm {d} t=0$ . Уравнение движения листа можно переписать в виде $\Gamma$ и $t$ путем замены переменной. Параметр $s$ заменяется на $\Gamma$ . То есть,

${\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\Gamma '}{z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t)}}$

Это нелинейное интегро-дифференциальное уравнение называется уравнением Биркофа-Ротта. Он описывает эволюцию вихревого слоя при заданных начальных условиях. Более подробную информацию о вихревых слоях можно найти в учебнике Саффмана (1977).

Диффузия вихревого слоя

Будучи вихревым слоем, он будет диффундировать из-за действия вязкости. Рассмотрим плоский однонаправленный поток при $t=0$ ,

u={\begin{cases}+U,&{\text{for }}y>0\\-U,&{\text{for }}y<0\end{cases}}

подразумевая наличие вихревого слоя в $y=0$ . Разрыв скорости сглаживается согласно ^[2]

u(y,t)={\frac {U}{2{\sqrt {\pi \nu t}}}}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-(s-y)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s-\int _{0}^{\infty }e^{-(s+y)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s\right].

где $\nu$ – кинематическая вязкость . Единственная ненулевая компонента завихренности находится в $z$ направление, заданное

\omega _{z}=-{\frac {U}{\sqrt {\pi \nu t}}}e^{-y^{2}/4\nu t}

.

Вихревой лист с периодическими границами

Плоский вихревой лист с периодическими границами в продольном направлении можно использовать для моделирования временного слоя свободного сдвига при высоких числах Рейнольдса. Предположим, что интервал между периодическими границами имеет длину $1$ . Тогда уравнение движения вихревого слоя сводится к виду

${\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2}}\int \limits _{0}^{1}\cot \pi (z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t))\;d\Gamma '$

Аппроксимация непрерывного вихревого слоя панельным методом. Сворачивание вихревого слоя из-за начального синусоидального возмущения.

Обратите внимание, что интеграл в приведенном выше уравнении является интегралом главного значения Коши. Начальное условие для плоского вихревого слоя постоянной силы: $z(\Gamma ,0)=\Gamma$ . Плоский вихревой лист является равновесным решением. Однако он неустойчив к бесконечно малым периодическим возмущениям вида $\sum _{k=-\infty }^{\infty }A_{k}\mathrm {e} ^{\imath 2\pi k\Gamma }$ . Линейная теория показывает, что коэффициент Фурье $A_{k}$ растет экспоненциально со скоростью, пропорциональной $k$ . То есть, чем выше волновое число моды Фурье, тем быстрее оно растет. Однако линейная теория не может быть расширена далеко за пределы начального состояния. Если учитывать нелинейные взаимодействия, то асимптотический анализ показывает, что при больших $k$ и конечный $t<t_{c}$ , где $t_{c}$ – критическая величина, коэффициент Фурье $A_{k}$ затухает экспоненциально. Ожидается, что решение вихревого слоя потеряет аналитичность в критический момент. См. Мур (1979) и Мейрон, Бейкер и Орзаг (1983).

Решение вихревого слоя, заданное уравнением Биркофа-Ротта, не может выйти за пределы критического времени. Спонтанная потеря аналитичности вихревой пелены является следствием математического моделирования, поскольку реальная жидкость с какой бы малой вязкостью никогда не развила сингулярность. Вязкость действует как параметр сглаживания или регуляризации в реальной жидкости. Были проведены обширные исследования вихревого слоя, большинство из которых проводились с использованием дискретной или точечной вихревой аппроксимации, с десингуляризацией или без нее. Используя аппроксимацию точечного вихря и дельта-регуляризацию, Красный (1986) получил плавное свертывание вихревого листа в двойную разветвленную спираль. Поскольку точечные вихри по своей сути хаотичны, для контроля роста ошибок округления необходим фильтр Фурье. Непрерывная аппроксимация вихревой пелены вихревыми панелями с дуговой диффузией плотности циркуляции также показывает, что пелена сворачивается в двойную разветвленную спираль.

Во многих инженерных и физических приложениях представляет интерес рост временного слоя свободного сдвига. Толщину слоя свободного сдвига обычно измеряют по импульсной толщине, которая определяется как

$\theta =\int \limits _{y=-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{4}}-\left({\frac {\left\langle u\right\rangle }{2U}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} y$

где $\left\langle u\right\rangle ={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}\ u(x,y,t)dx$ и $U$ - скорость набегающего потока. Толщина импульса имеет размерность длины, а безразмерная толщина импульса определяется выражением $\theta _{ND}=\theta /L$ . Толщину импульса можно использовать для измерения толщины вихревого слоя.

См. также

Ссылки

^ Словарь научных и технических терминов McGraw-Hill , дата обращения: июль 2012 г.
^ Дразин, П.Г., и Райли, Н. (2006). Уравнения Навье-Стокса: классификация течений и точные решения (№ 334). Издательство Кембриджского университета.

[1] Словарь научных и технических терминов McGraw-Hill , дата обращения: июль 2012 г.

[2] Дразин, П.Г., и Райли, Н. (2006). Уравнения Навье-Стокса: классификация течений и точные решения (№ 334). Издательство Кембриджского университета.

[1]

[2]