Производная материала

В механике сплошных сред материальная производная ^[1]^[2] описывает скорость изменения во времени некоторой физической величины (например, тепла или импульса ) материального элемента , который подвергается зависящему от пространства и времени макроскопическому полю скоростей . Материальная производная может служить связующим звеном между эйлеровым и лагранжевым континуума описаниями деформации . ^[3]

Например, в гидродинамике поле скорости — это скорость потока , а интересующей величиной может быть температура жидкости. В этом случае производная материала затем описывает изменение температуры определенного пакета жидкости со временем, когда он течет по своему пути (траектории).

Другие имена

Есть много других названий материального производного, в том числе:

адвективная производная ^[4]
конвективная производная ^[5]
производная по движению ^[1]
гидродинамическая производная ^[1]
производная Лагранжа ^[6]
производная частицы ^[7]
существенная производная ^[1]
существенная производная ^[8]
Производная Стокса ^[8]
полная производная , ^[1]^[9] хотя материальная производная на самом деле является частным случаем полной производной ^[9]

Определение

Материальная производная определяется для любого тензорного поля y, которое является макроскопическим , в том смысле, что оно зависит только от координат положения и времени, $y = y (x, t)$ : ${\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,$ где $\nabla y$ — ковариантная производная тензора, а $u (x, t)$ — скорость потока . Обычно конвективную производную поля $u \cdot\nabla y$ , которая содержит ковариантную производную поля, можно интерпретировать как как включающую тензорную производную линии тока поля $u \cdot(\nabla y)$ , так и как включающую производную линии тока по направлению поля $(u \cdot\nabla) y$ , что приводит к тому же результату. ^[10] Только этот пространственный член, содержащий скорость потока, описывает перенос поля в потоке, тогда как другой описывает собственное изменение поля, независимое от наличия какого-либо потока. Как ни странно, иногда название «конвективная производная» используется для всей материальной производной $D / Dt$ , а не только для пространственного члена $u \cdot\nabla$ . ^[2] Влияние независимых от времени членов в определениях относится к скалярному и тензорному случаю, соответственно известному как адвекция и конвекция.

Скалярные и векторные поля

Например, для макроскопического скалярного поля $φ (x, t)$ и макроскопического векторного поля $A (x, t)$ определение становится следующим: ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}$

В скалярном случае $\nabla φ$ — это просто градиент скаляра, а $A —$ ковариантная производная макроскопического вектора (который также можно рассматривать как матрицу Якоби A $\nabla$ как функцию от $x$ ). В частности, для скалярного поля в трехмерной декартовой системе координат $(x 1, x 2, x 3)$ компоненты скорости $u$ равны $u 1, u 2, u 3$ , а конвективный член тогда: $\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.$

Разработка

Рассмотрим скалярную величину $φ = φ (x, t)$ , где $t$ — время, а $x$ — положение. Здесь $φ$ может быть некоторой физической переменной, такой как температура или химическая концентрация. Физическая величина, скалярная величина которой равна $φ$ , существует в континууме и чья макроскопическая скорость представлена векторным полем $u (x, t)$ .

(Полная) производная по времени $φ$ разлагается с использованием правила многомерной цепочки : ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .$

Очевидно, эта производная зависит от вектора ${\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},$ который описывает выбранный путь $x (t)$ в пространстве. Например, если ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0}$ выбрана, производная по времени становится равной частной производной по времени, что согласуется с определением частной производной : производная, взятая по некоторой переменной (в данном случае времени), при которой другие переменные остаются постоянными (в данном случае пространства). Это имеет смысл, потому что если ${\dot {\mathbf {x} }}=0$ , то производная берется в некотором постоянном положении. Эта статическая производная положения называется производной Эйлера.

Примером этого случая является пловец, стоящий на месте и рано утром ощущающий изменение температуры в озере: вода постепенно становится теплее из-за нагревания от солнца. В каком случае термин ${\partial \varphi }/{\partial t}$ достаточно, чтобы описать скорость изменения температуры.

Если солнце не нагревает воду (т.е. ${\partial \varphi }/{\partial t}=0$ ), но путь $x (t)$ не является остановкой, производная по времени $φ$ может измениться из-за пути. Например, представьте, что пловец находится в неподвижном бассейне с водой, в помещении, не подверженном воздействию солнца. Один конец находится при постоянной высокой температуре, а другой конец - при постоянной низкой температуре. Плавая от одного конца к другому, пловец ощущает изменение температуры во времени, даже если температура в любой заданной (статической) точке является постоянной. Это связано с тем, что производная берется в месте смены пловца, а второй член справа ${\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi$ достаточно, чтобы описать скорость изменения температуры. Датчик температуры, прикрепленный к пловцу, будет показывать, что температура меняется со временем просто из-за изменения температуры от одного конца бассейна к другому.

Производная материала, наконец, получается, когда путь $x (t)$ выбирается так, чтобы скорость была равна скорости жидкости. ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .$

То есть путь следует потоку жидкости, описываемому полем скорости жидкости $u$ . Итак, материальная производная скаляра $φ$ равна ${\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .$

Примером этого случая является легкая частица с нейтральной плавучестью, несущаяся по текущей реке и испытывающая при этом изменения температуры. Температура воды на местах может повышаться из-за того, что одна часть реки солнечная, а другая находится в тени, или вода в целом может нагреваться в течение дня. Изменения, вызванные движением частицы (которые сами по себе вызваны движением жидкости), называются адвекцией (или конвекцией, если переносится вектор).

Приведенное выше определение основывалось на физической природе потока жидкости; однако никакие законы физики не использовались (например, предполагалось, что легкая частица в реке будет следовать за скоростью воды), но оказывается, что многие физические концепции можно кратко описать с помощью материальной производной. Однако общий случай адвекции основан на сохранении массы потока жидкости; ситуация становится несколько иной, если адвекция происходит в неконсервативной среде.

Для скаляра выше рассматривался только путь. Для вектора градиент становится производной тензора ; для тензорных полей мы можем принять во внимание не только перемещение системы координат из-за движения жидкости, но также ее вращение и растяжение. Это достигается за счет верхней конвекционной производной по времени .

Ортогональные координаты

Можно показать, что в ортогональных координатах -я компонента $j$ конвекционного члена материальной производной векторного поля $\mathbf {A}$ дается ^[11] $[\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),$

где $h i$ связаны с метрическими тензорами соотношением $h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.$

В частном случае трехмерной декартовой системы координат ( x , y , z ), а $A$ является 1-тензором (вектором с тремя компонентами), это просто: $(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u}$

где ${\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}$ является матрицей Якобиана .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Берд, РБ; Стюарт, МЫ; Лайтфут, EN (2007). Транспортные явления (пересмотренное второе изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 83. ИСБН 978-0-470-11539-8 .
^ Jump up to: ^а ^б Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. стр. 72–73. ISBN 0-521-66396-2 .
^ Тренберт, К.Э. (1993). Моделирование климатической системы . Издательство Кембриджского университета. п. 99. ИСБН 0-521-43231-6 .
^ Майда, А. (2003). Введение в PDE и волны для атмосферы и океана . Курант Конспект лекций по математике. Том. 9. Американское математическое общество. п. 1. ISBN 0-8218-2954-8 .
^ Окендон, Х. ; Окендон, младший (2004). Волны и сжимаемый поток . Спрингер. п. 6. ISBN 0-387-40399-Х .
^ Меллор, Г.Л. (1996). Введение в физическую океанографию . Спрингер. п. 19. ISBN 1-56396-210-1 .
^ Стокер, Джей-Джей (1992). Волны на воде: математическая теория с приложениями . Уайли. п. 5. ISBN 0-471-57034-6 .
^ Jump up to: ^а ^б Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Публикации Courier Dover. п. 30. ISBN 0-486-68356-7 .
^ Jump up to: ^а ^б Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики. Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 3–4 и 227. ISBN. 0-7506-2767-0 .
^ Эмануэль, Г. (2001). Аналитическая гидродинамика (второе изд.). ЦРК Пресс. стр. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8 .
^ Эрик В. Вайсштейн . «Конвективный оператор» . Математический мир . Проверено 22 июля 2008 г.

Дальнейшее чтение

Коэн, Ира М.; Кунду, Пиджуш К (2008). Механика жидкости (4-е изд.). Академическая пресса . ISBN 978-0-12-373735-9 .
Лай, Майкл; Кремль, Эрхард; Рубен, Дэвид (2010). Введение в механику сплошных сред (4-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-7506-8560-3 .

[BSLr2-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Берд, РБ; Стюарт, МЫ; Лайтфут, EN (2007). Транспортные явления (пересмотренное второе изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 83. ИСБН 978-0-470-11539-8 .

[Batchelor-2] Jump up to: ^а ^б Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. стр. 72–73. ISBN 0-521-66396-2 .

[Trenberth-3] Тренберт, К.Э. (1993). Моделирование климатической системы . Издательство Кембриджского университета. п. 99. ИСБН 0-521-43231-6 .

[4] Майда, А. (2003). Введение в PDE и волны для атмосферы и океана . Курант Конспект лекций по математике. Том. 9. Американское математическое общество. п. 1. ISBN 0-8218-2954-8 .

[Ockendon-5] Окендон, Х. ; Окендон, младший (2004). Волны и сжимаемый поток . Спрингер. п. 6. ISBN 0-387-40399-Х .

[Mellor-6] Меллор, Г.Л. (1996). Введение в физическую океанографию . Спрингер. п. 19. ISBN 1-56396-210-1 .

[7] Стокер, Джей-Джей (1992). Волны на воде: математическая теория с приложениями . Уайли. п. 5. ISBN 0-471-57034-6 .

[Granger-8] Jump up to: ^а ^б Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Публикации Courier Dover. п. 30. ISBN 0-486-68356-7 .

[LandauLifshitz-9] Jump up to: ^а ^б Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики. Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 3–4 и 227. ISBN. 0-7506-2767-0 .

[10] Эмануэль, Г. (2001). Аналитическая гидродинамика (второе изд.). ЦРК Пресс. стр. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8 .

[11] Эрик В. Вайсштейн . «Конвективный оператор» . Математический мир . Проверено 22 июля 2008 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]