След (линейная алгебра)

В линейной алгебре след ( квадратной матрицы $A$ , обозначаемый $tr A)$ , ^[1] определяется как сумма элементов на главной диагонали (из верхнего левого угла в нижний правый) $A$ . След определяется только для квадратной матрицы ( $n \times n$ ).

В текстах по математической физике, если $tr(A)$ = 0, то матрица называется бесследовой . Это неправильное название, но оно широко используется, например, в матрицах Паули .

Можно доказать, что след матрицы представляет собой сумму ее собственных значений (считающихся с кратностью). Также можно доказать, что $tr(AB) = tr(BA)$ для любых двух матриц $A$ и $B$ подходящих размеров. Это означает, что подобные матрицы имеют один и тот же след. Как следствие, можно определить след линейного оператора, отображающего конечномерное векторное пространство в себя, поскольку все матрицы, описывающие такой оператор относительно базиса, подобны.

След связан с производной определителя ( см. формулу Якоби ).

Определение

След n A $\times n определяется$ квадратной матрицы $размера$ как ^[1]^[2]^[3]^: 34 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$ где $a ii$ обозначает запись в $i-$ й строке и $i-$ м столбце $A$ . Записи $A$ могут быть действительными числами , комплексными числами или, в более общем смысле, поля $F.$ элементами След не определен для неквадратных матриц.

Пример

Пусть $A —$ матрица, причем $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}$

Затем $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1$

Характеристики

Основные свойства

След является линейным отображением . То есть, ^[1]^[2] ${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}$ для всех квадратных матриц $A$ и $B$ и всех скаляров $c$ . ^[3]^: 34

Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же след: ^[1]^[2]^[3]^: 34 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).$

Это следует непосредственно из того, что транспонирование квадратной матрицы не затрагивает элементы вдоль главной диагонали.

След продукта

След квадратной матрицы, являющейся произведением двух матриц, можно переписать как сумму поэлементных произведений их элементов, т. е. как сумму всех элементов их произведения Адамара . Проще говоря, если $A$ и $B$ — две $размера m \times n$ матрицы , то: $\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.$

Если рассматривать любую действительную $матрицу размера m \times n$ как вектор длины $mn$ (операция, называемая векторизацией ), то описанная выше операция над $A$ и $B$ совпадает со стандартным скалярным произведением . Согласно приведенному выше выражению, $tr(A ⊤ A)$ представляет собой сумму квадратов и, следовательно, неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда $A$ равно нулю. ^[4]^: 7 Кроме того, как отмечено в приведенной выше формуле, $tr(A ⊤ B) = tr(B ⊤ А)$ . Они демонстрируют положительную определенность и симметрию, необходимые для внутреннего продукта ; принято называть $tr(A ⊤ B)$ внутренний продукт A $$ и $B.$ Фробениуса Это естественный скалярный продукт в векторном пространстве всех действительных матриц фиксированных размеров. Норма , полученная из этого внутреннего продукта, называется нормой Фробениуса и удовлетворяет субмультипликативному свойству, что можно доказать с помощью неравенства Коши – Шварца : $0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}\ ,$ если $A$ и $B$ — вещественные положительные полуопределенные матрицы одного размера. Внутренний продукт и норма Фробениуса часто возникают в матричном исчислении и статистике .

Внутренний продукт Фробениуса можно расширить до эрмитова внутреннего продукта в комплексном векторном пространстве всех комплексных матриц фиксированного размера, заменив $B$ его комплексно-сопряженным .

Симметрию внутреннего произведения Фробениуса можно более точно сформулировать следующим образом: матрицы в следе произведения можно переключать местами без изменения результата. Если $A$ и $B$ представляют собой $вещественные или комплексные матрицы m \times n$ и $n \times m$ соответственно, то ^[1]^[2]^[3]^: 34^{[примечание 1]}

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )$

Это примечательно как тем фактом, что $AB$ обычно не равно $BA$ , так и тем, что след любого из них обычно не равен $tr(A)tr(B)$ . ^{[примечание 2]} Инвариантность подобия следа, означающая, что $tr(A) = tr(P -1 AP)$ для любой квадратной матрицы $A$ и любой обратимой матрицы $P$ тех же размеров является фундаментальным следствием. Это доказывается $\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ Инвариантность подобия — это важнейшее свойство следа, позволяющее обсуждать следы линейных преобразований, как показано ниже.

Кроме того, для реальных векторов-столбцов $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ , след внешнего продукта эквивалентен внутреннему продукту:

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b}$

Циклическое свойство

В более общем смысле, трасса инвариантна относительно круговых сдвигов , то есть

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).$

Это известно как циклическое свойство .

Произвольные перестановки не допускаются: как правило, $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).$

Однако если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку: $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),$ где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что это неверно в целом для более чем трех факторов.

След продукта Кронекера

След кронекеровского произведения двух матриц есть произведение их следов: $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).$

Характеристика следа

Следующие три свойства: ${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}$ охарактеризовать след с точностью до скалярного кратного в следующем смысле: Если $f$ — линейный функционал в пространстве квадратных матриц, удовлетворяющий условию $f(xy)=f(yx),$ затем $f$ и $\operatorname {tr}$ пропорциональны. ^{[примечание 3]}

Для $n\times n$ матрицы, налагая нормировку $f(\mathbf {I} )=n$ делает $f$ равен следу.

След как сумма собственных значений

Для любой $размера n \times n$ матрицы $A$ существует

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$

где $λ 1, ..., λ n$ — собственные значения оператора $A,$ подсчитанные с кратностью. Это справедливо, даже если $A$ — действительная матрица и некоторые (или все) собственные значения являются комплексными числами. Это можно рассматривать как следствие существования жордановой канонической формы вместе с обсуждавшейся выше подобием-инвариантностью следа.

След коммутатора

Когда оба $A$ и $B$ являются $матрицами размера n \times n$ , след (теоретического кольца) коммутатора B $A$ и $tr ($ исчезает: $[A, B]) = 0$ , потому что $tr(AB) = tr(BA)$ и $tr$ является линейным. Это можно сформулировать так: «след представляет собой отображение алгебр Ли $gl n \to k$ от операторов к скалярам», поскольку коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли ). В частности, используя инвариантность подобия, следует, что единичная матрица никогда не похожа на коммутатор какой-либо пары матриц.

И наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. ^{[примечание 4]} Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.

Следы особых видов матриц

След $n \times n$ единичной матрицы размера — это размерность пространства, а именно $n$ .
$\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n$
Это приводит к обобщению размерности с использованием трассировки .
След эрмитовой матрицы веществен, потому что элементы на диагонали вещественны.
След матрицы перестановок — это количество неподвижных точек соответствующей перестановки, поскольку диагональный член $a ii$ равен 1, если $i$ -я точка фиксирована, и 0 в противном случае.
След матрицы проекции — это размерность целевого пространства. ${\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}$ Матрица $P X$ идемпотентна.
В более общем смысле, след любой идемпотентной матрицы , т.е. матрицы с $A 2 = A$ , равен своему рангу .
След нильпотентной матрицы равен нулю.
Когда характеристика базового поля равна нулю, справедливо и обратное: если $tr(A к) = 0$ для всех $k$ , то $A$ нильпотентна.
Когда характеристика $n > 0$ положительна, тождество в $n$ измерениях является контрпримером, как $\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0$ , но тождество не нильпотентно.

Связь с характеристическим полиномом

След $n\times n$ матрица $A$ коэффициент $t^{n-1}$ в характеристическом многочлене возможно изменение знака в соответствии с соглашением в определении характеристического многочлена.

Связь с собственными значениями

Если $A$ — линейный оператор, представленный квадратной матрицей с действительными или комплексными элементами, и если $λ 1, ..., λ n$ — собственные значения оператора $A$ (перечислены в соответствии с их алгебраическими кратностями ), то

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}$

Это следует из того, что $A$ всегда подобна своей жордановой форме — верхней треугольной матрице, имеющей $λ 1, ..., λ n$ на главной диагонали. Напротив, определитель A $;$ является произведением его собственных значений то есть, $\det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.$

Все изложенное в настоящем параграфе применимо и к любой квадратной матрице с коэффициентами в алгебраически замкнутом поле .

Производные отношения

Если $ΔA$ — квадратная матрица с небольшими элементами, а $I$ обозначает единичную матрицу , то мы имеем приблизительно

$\det(\mathbf {I} +\mathbf {\Delta A} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {\Delta A} ).$

что след является производной детерминантной Именно это означает , функции в единичной матрице. Формула Якоби

$d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}$

является более общим и описывает дифференциал определителя произвольной квадратной матрицы в терминах следа и сопряженной матрицы.

Отсюда (или из связи следа с собственными значениями) можно вывести связь между функцией следа, матричной показательной функцией и определителем: $\det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).$

Соответствующая характеристика следа применима к линейным векторным полям . Учитывая матрицу $A$ , определите векторное поле $F$ на $R н$ F $= (Икс) Ах$ . Компоненты этого векторного поля являются линейными функциями (заданными строками $A$ ). Его дивергенция $div F$ является постоянной функцией, значение которой равно $tr(A)$ .

По теореме о дивергенции это можно интерпретировать в терминах потоков: если $F (x)$ представляет скорость жидкости в месте $x$ , а $U$ — область в $R н$ , чистый поток жидкости из $U$ определяется выражением $tr(A) \cdot vol(),$ где $vol(U)$ — объём U $U$ .

След является линейным оператором, следовательно, он коммутирует с производной: $d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).$

След линейного оператора

линейное отображение $f : V \to V$ (где $V$ — конечномерное векторное пространство ), мы можем определить след этого отображения, рассматривая след матричного представления f $В общем случае, учитывая некоторое$ , то есть выбирая базис для $V$ и описываем $f$ как матрицу относительно этого базиса и берем след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранного базиса, поскольку разные базисы будут давать одинаковые матрицы , что обеспечивает возможность независимого от базиса определения следа линейного отображения.

Такое определение можно дать, используя канонический изоморфизм между пространством $End(V)$ линейных отображений на $V$ и $V \otimes V *$ , где $V *$ — пространство, к $V.$ двойственное Пусть $v$ находится в $V$ , и пусть $g$ находится в $V *$ . Тогда след неразложимого элемента $v \otimes g$ определяется как $g (v)$ ; след общего элемента определяется линейностью. След линейного отображения $f : V \to V$ тогда можно определить как след в указанном выше смысле элемента из $V \otimes V *,$ соответствующего f при упомянутом выше каноническом изоморфизме. Используя явный базис для $V$ и соответствующий двойственный базис для $V *$ , можно показать, что это дает то же определение следа, что и данное выше.

Численные алгоритмы

Стохастический оценщик

След можно объективно оценить с помощью «трюка Хатчинсона»: ^[5]

Учитывая любую матрицу $W\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ и любое случайное $u\in \mathbb {R} ^{n}$ с $E[uu^{T}]=I$ , у нас есть $E[u^{T}Wu]=tr(W)$ . (Доказательство: непосредственно расширить ожидание.)

Обычно случайный вектор выбирается из $N(0,I)$ (нормальное распределение) или $\{\pm n^{-1/2}\}^{n}$ ( Распределение Радемахера ).

Были разработаны более сложные стохастические оценки следа. ^[6]

Приложения

Если действительная матрица 2 x 2 имеет нулевой след, ее квадрат является диагональной матрицей .

След комплексной матрицы 2×2 используется для классификации преобразований Мёбиуса . Сначала матрица нормализуется, чтобы ее определитель стал равен единице. Тогда, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование является параболическим . Если квадрат находится в интервале [0,4) , он эллиптический . Наконец, если квадрат больше 4, преобразование является локсодромным . См. классификацию преобразований Мёбиуса .

Трассировка используется для определения символов представлений групп . Два представления $A, B : G \to GL (V)$ группы $G$ эквивалентны (с точностью до замены базиса на $V$ если $tr(A (g)) = tr(B (g))$ для всех $g \in G.$ ) ,

След также играет центральную роль в распределении квадратичных форм .

Алгебра Ли

След представляет собой отображение алгебр Ли. $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ из алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$ линейных операторов в $n$ -мерном пространстве ( $матрицы n \times n$ с элементами в $K$ ) к алгебре Ли $K$ скаляров; поскольку $K$ абелева (скобка Ли исчезает), тот факт, что это отображение алгебр Ли, является в точности утверждением об исчезновении следа скобки: $\operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.$

ядром этого отображения является матрица, след которой равен нулю . Часто говорят, что бесследный или следы свободны , и эти матрицы образуют простую алгебру Ли ${\mathfrak {sl}}_{n}$ , которая является алгеброй Ли специальной линейной группы матриц с определителем 1. Специальная линейная группа состоит из матриц, которые не меняют объема, а специальная линейная алгебра Ли - это матрицы, которые не меняют объем бесконечно малых множеств.

Фактически существует внутреннее в прямую сумму разложение ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ операторов/матриц на бесследовые операторы/матрицы и скалярные операторы/матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена через след, а именно: $\mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .$

Формально трассу ( карту единиц ) можно составить из карты единиц. $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ «включения скаляров » для получения карты ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ отображение на скаляры и умножение на $n$ . Деление на $n$ делает это проекцией, давая формулу, приведенную выше.

В терминах коротких точных последовательностей имеем $0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0$ что аналогично $1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1$ (где $K^{*}=K\setminus \{0\}$ ) для групп Ли . Однако след естественным образом распадается (через $1/n$ умножить скаляры), так что ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ , но расщепление определителя будет как $скаляры n-го$ корня, умноженные на скаляры, и это, как правило, не определяет функцию, поэтому определитель не расщепляется и общая линейная группа не разлагается: $\operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.$

Билинейные формы

Билинейная форма (где $X$ , $Y$ — квадратные матрицы) $B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X}$ называется формой Киллинга , которая используется для классификации алгебр Ли.

Трассировка определяет билинейную форму: $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).$

Форма симметричная, невырожденная. ^{[примечание 5]} и ассоциативны в том смысле, что: $\operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).$

Для сложной простой алгебры Ли (например, ${\mathfrak {sl}}$ ), каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме Киллинга ^{[ нужна ссылка ]}.

Две матрицы $X$ и $Y$ называются ортогональными по следу, если $\operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.$

Существует обобщение общего представления $(\rho ,{\mathfrak {g}},V)$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ , такой, что $\rho$ является гомоморфизмом алгебр Ли $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).$ Форма следа ${\text{tr}}_{V}$ на ${\text{End}}(V)$ определяется, как указано выше. Билинейная форма $\phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))$ симметричен и инвариантен вследствие цикличности.

Обобщения

Понятие следа матрицы обобщается на ядерный класс компактных операторов в гильбертовых пространствах , а аналог нормы Фробениуса называется нормой Гильберта–Шмидта .

Если $K$ — ядерный оператор, то для любого ортонормированного базиса $(e_{n})_{n}$ , след определяется выражением $\operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle e_{n},Ke_{n}\right\rangle ,$ и конечен и не зависит от ортонормированного базиса. ^[7]

Частичный след — это еще одно обобщение операторного следа. След линейного оператора $Z$ , живущего в пространстве-произведении $A \otimes B,$ равен частичным следам над $A$ и $B$ : $\operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).$

Дополнительные свойства и обобщение частичного следа см. в разделе « Отслеживаемые моноидальные категории» .

Если $A$ — общая ассоциативная алгебра над полем $k$ , то след на $A$ часто определяется как любое отображение $tr: A \mapsto k,$ которое обращается в нуль на коммутаторах; $tr([a, b]) = 0$ всех $a, b \in A.$ для Такой след не определен однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на ненулевой скаляр.

Суперслед — это обобщение следа на случай супералгебр .

Операция сжатия тензора обобщает след на произвольные тензоры.

Следы на языке тензорных произведений

Для векторного пространства $V$ существует естественное билинейное отображение $V \times V * \to F$ , заданный путем перевода $(v, φ)$ в скаляр $φ(v)$ . Универсальное свойство тензорного произведения $V \otimes V *$ автоматически следует, что это билинейное отображение индуцировано линейным функционалом на $V \otimes V *$ . ^[8]

Аналогично существует естественное билинейное отображение $V \times V * \to Hom(V, V),$ заданный отправкой $(v, φ)$ в линейное отображение $w \mapsto φ(w) v$ . Универсальное свойство тензорного произведения, как оно использовалось ранее, говорит о том, что это билинейное отображение индуцируется линейным отображением $V \otimes V * \to Хом(V, V)$ . Если $V$ конечномерно, то это линейное отображение является линейным изоморфизмом . ^[8] Этот фундаментальный факт является прямым следствием существования (конечного) базиса $V$ , и его также можно сформулировать как утверждение, что любое линейное отображение $V \to V$ может быть записано как сумма (конечного числа) линейных карт ранга один. Составление обратного изоморфизма с полученным выше линейным функционалом приводит к линейному функционалу на $Hom(V, V)$ . Этот линейный функционал точно такой же, как и след.

Используя определение следа как суммы диагональных элементов, матричную формулу $tr(AB) = tr(BA)$ доказать несложно, и она была приведена выше. В настоящей перспективе мы рассматриваем линейные карты $S$ и $T$ и рассматриваем их как суммы карт ранга один, так что существуют линейные функционалы $φ i$ и $ψ j$ и ненулевые векторы $v i$ и $w j$ такие, что $S (u) знак равно Σ φ я (ты) v я$ и $Т (ты) знак равно Σ ψ j (ты) ш j$ для любого $ты$ в $V$ . Затем

(S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}

для любого $u$ в $V$ . Линейное отображение ранга один $u \mapsto ψ j (u) φ i (w j) v i$ имеет след $ψ j (v i) φ i (w j)$ , и поэтому

\operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).

Следуя той же процедуре с $обратными S$ и $T$ , можно найти точно такую же формулу, доказывая, что $tr(S \circ T)$ равно $tr(T \circ S)$ .

Приведенное выше доказательство можно рассматривать как основанное на тензорном произведении, учитывая, что фундаментальное тождество $End(V)$ с $V \otimes V *$ эквивалентно выразимости любого линейного отображения как суммы линейных отображений первого ранга. Таким образом, доказательство можно записать в обозначениях тензорных произведений. Тогда можно рассмотреть полилинейное отображение $V \times V * \times V \times V * \to V \otimes V *$ задается отправкой $(v, φ, w, ψ)$ в $φ (w) v \otimes ψ$ . Дальнейшая композиция с картой трасс затем приводит к $φ (w) ψ (v)$ , и это не изменится, если вместо этого начать с $(w, ψ, v, φ)$ . Можно также рассмотреть билинейное отображение $End(V) \times End(V) \to End(V),$ заданное отправкой $(f, g)$ в композицию $f \circ g$ , которая затем индуцируется линейным отображением $End(V) \otimes End (V) \to Конец(V)$ . Видно, что это совпадает с линейным отображением $V \otimes V * \otimes V \otimes V * \to V \otimes V *$ . Установленная симметрия при композиции с картой трасс затем устанавливает равенство двух трасс. ^[8]

Для любого конечномерного векторного пространства $V$ существует естественное линейное отображение $F \to V \otimes V'$ ; на языке линейных карт он присваивает скаляру $c$ линейное отображение $c \cdotid V$ . Иногда это называется картой кооценки , а след $V \otimes V' \to F$ называется картой оценки . ^[8] Эти структуры могут быть аксиоматизированы для определения категориальных следов в абстрактной теории категорий .

См. также

Примечания

^ Это следует из определения матричного произведения : $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).$
^ Например, если $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},$ тогда продукт $\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$ и следы: $tr(AB) = 1 \neq 0 \cdot 0 знак равно tr(A)tr(B)$ .
^ Доказательство: Пусть $e_{ij}$ стандартную основу и обратите внимание, что $f\left(e_{ij}\right)=0$ тогда и только тогда, когда $i\neq j$ и $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ $f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ Более абстрактно это соответствует разложению ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,$ как $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ (эквивалентно, $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ ) определяет трассировку на ${\mathfrak {sl}}_{n},$ которое дополняет скалярные матрицы и оставляет одну степень свободы: любое такое отображение определяется его значением на скалярах, которые являются одним скалярным параметром и, следовательно, все они кратны следу, такой карте ненулевой.
^ Доказательство: ${\mathfrak {sl}}_{n}$ является полупростой алгеброй Ли , и, следовательно, каждый элемент в ней представляет собой линейную комбинацию коммутаторов некоторых пар элементов, в противном случае производная алгебра была бы собственным идеалом.
^ Это следует из того, что $tr(A * A) = 0$ тогда и только тогда, когда $A = 0$ .