Супертрассировка

В теории супералгебр , если A — коммутативная супералгебра , V — свободный правый A - супермодуль и T — эндоморфизм из V в себя, то суперслед T , str( T ) определяется следующей диаграммой следов :

Более конкретно, если мы запишем T в виде блочной матрицы после разложения на четное и нечетное подпространства следующим образом:

$T={\begin{pmatrix}T_{00}&T_{01}\\T_{10}&T_{11}\end{pmatrix}}$

тогда суперслед

str( T ) = обычный след T 00 ₁₁ обычный след T ₋ .

Покажем, что суперслед не зависит от базиса.Предположим, что e ₁ , ..., e _p — четные базисные векторы, а e _{p +1} , ..., e _{p + q} — нечетные базисные векторы. Тогда компоненты T , которые являются элементами A , определяются как

$T(\mathbf {e} _{j})=\mathbf {e} _{i}T_{j}^{i}.\,$

Оценка Т ^я _j — сумма градуировок T , e _i , e _j mod 2.

Изменение базиса на e _1' , ..., e _p' , e _{( p +1)'} , ..., e _{( p + q )'} задается суперматрицей

$\mathbf {e} _{i'}=\mathbf {e} _{i}A_{i'}^{i}$

и обратная суперматрица

$\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{i'}(A^{-1})_{i}^{i'},\,$

где, конечно, АА ⁻¹ = А ⁻¹ А = 1 (тождество).

Теперь мы можем явно проверить, что суперслед не зависит от базиса . В случае четного T имеем

$\operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(|i'|+|j|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}(A^{-1})_{j}^{i'}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).$

В случае, когда T нечетно, мы имеем

$\operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(1+|j|+|k|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}(A^{-1})_{j}^{i'}A_{i'}^{k}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).$

Обычная трасса не является независимой от базиса, поэтому подходящей трассой для использования в настройке Z2 _- градуации является супертрасса.

Суперслед удовлетворяет свойству

$\operatorname {str} (T_{1}T_{2})=(-1)^{|T_{1}||T_{2}|}\operatorname {str} (T_{2}T_{1})$

для всех , _T1 T2 в _V End( ) . В частности, суперслед суперкоммутатора равен нулю.

Фактически, можно определить суперслед в более общем смысле для любой ассоциативной супералгебры E над коммутативной супералгеброй A как линейное отображение tr: E -> A , которое обращается в нуль на суперкоммутаторах. Такой суперслед не определен однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на элемент A .

Физические приложения

В суперсимметричных квантовых теориях поля, в которых интеграл действия инвариантен относительно набора преобразований симметрии (известных как преобразования суперсимметрии), алгебры которых являются супералгебрами, суперслед имеет множество применений. В таком контексте суперслед массовой матрицы теории можно записать как сумму по спинам следов массовых матриц для частиц различного спина:

$\operatorname {str} [M^{2}]=\sum _{s}(-1)^{2s}(2s+1)\operatorname {tr} [m_{s}^{2}].$

В теориях без аномалий, где в суперпотенциале появляются только перенормируемые члены, можно показать, что указанный выше суперслед исчезает, даже когда суперсимметрия спонтанно нарушается.

Вклад в эффективный потенциал, возникающий на одной петле (иногда называемый потенциалом Коулмана–Вайнберга) ) также можно записать в терминах суперследа. Если $M$ - массовая матрица для данной теории, однопетлевой потенциал можно записать как

$V_{eff}^{1-loop}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {str} {\bigg [}M^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {M^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {tr} {\bigg [}m_{B}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{B}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}-m_{F}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{F}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}$

где $m_{B}$ и $m_{F}$ — соответствующие древесные матрицы масс для отдельных бозонных и фермионных степеней свободы в теории и $\Lambda$ это предельная шкала.

См. также

• в Березине