Jump to content

Супермодуль

В математике супермодуль это Z 2 - градуированный модуль над суперкольцом или супералгеброй . Супермодули возникают в суперлинейной алгебре , которая является математической основой для изучения понятия суперсимметрии в теоретической физике .

Супермодули над коммутативной супералгеброй можно рассматривать как обобщения супервекторных пространств над (чисто четным) полем K . Супермодули часто играют более заметную роль в суперлинейной алгебре, чем супервекторные пространства. Причина в том, что часто бывает необходимо или полезно расширить поле скаляров, включив в него нечетные переменные. При этом мы переходим от полей к коммутативным супералгебрам и от векторных пространств к модулям.

В этой статье все супералгебры предполагаются ассоциативными и унитальными , если не указано иное.

Формальное определение

[ редактировать ]

Пусть A — фиксированная супералгебра . Правый супермодуль над A — это правый модуль E над A с разложением в прямую сумму (как абелева группа )

такой, что умножение на элементы A удовлетворяет

для всех i и j в Z 2 . Тогда подгруппы E i являются правыми A 0 -модулями.

Элементы E i называются однородными . Четность | однородного элемента x , обозначаемого x |, равно 0 или 1 в зависимости от того, находится ли E0 в или E1 он . Элементы четности 0 называются четными , а элементы четности 1 - нечетными . Если a — однородный скаляр, а x — однородный элемент E , то | х · а | является однородным и | х · а | = | х | + | а |.

Аналогично, левые супермодули и супербимодули определяются как левые модули или бимодули над A , скалярные умножения которых очевидным образом учитывают градуировки. Если A суперкоммутативен можно рассматривать как супербимодуль , , то каждый левый или правый супермодуль над A полагая

для однородных элементов a A и x E и продолжается по линейности. Если A чисто четное, это сводится к обычному определению.

Гомоморфизмы

[ редактировать ]

Гомоморфизм , супермодулей — это гомоморфизм модулей сохраняющий градуировку.Пусть E и F правые супермодули над A. — Карта

является гомоморфизмом супермодуля, если

для всех a A всех x , y E. и Множество всех гомоморфизмов модулей из E в F обозначается Hom( E , F ).

Во многих случаях необходимо или удобно рассматривать более широкий класс морфизмов между супермодулями. Пусть A — суперкоммутативная алгебра. Тогда все супермодули над A естественным образом можно рассматривать как супербимодули. Для супермодулей E и F пусть Hom ( E , F ) обозначает пространство всех право -линейных A-отображений (т.е. всех гомоморфизмов модулей из E в F, рассматриваемых как неградуированные правые A -модули). Существует естественная градуировка на Hom ( E , F ), где четными гомоморфизмами являются те, которые сохраняют градуировку

а нечетными гомоморфизмами являются те, которые обращают градуировку

Если φ ∈ Hom ( E , F ) и a A однородны, то

То есть четные гомоморфизмы линейны как справа, так и слева, тогда как нечетный гомоморфизм линейен справа, но антилинейен слева (относительно градуированного автоморфизма).

Множеству Hom ( E , F ) можно придать структуру бимодуля над A , установив

При указанной выше градуировке Hom ( E , F ) становится супермодулем над A , четная часть которого является множеством всех обычных гомоморфизмов супермодулей.

На языке теории категорий класс всех супермодулей над A образует категорию с гомоморфизмами супермодулей в качестве морфизмов. Эта категория представляет собой симметричную моноидальную замкнутую категорию относительно супертензорного произведения, внутренний функтор Hom которой задается Hom .

  • Делинь, Пьер ; Джон В. Морган (1999). «Заметки о суперсимметрии (по Джозефу Бернштейну)». Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество. стр. 41–97. ISBN  0-8218-2012-5 .
  • Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и сложная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-61378-1 .
  • Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Курант Конспект лекций по математике 11 . Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3574-2 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ffd136dcb03bda83574d186f83168e1b__1610570520
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ff/1b/ffd136dcb03bda83574d186f83168e1b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Supermodule - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)