Хом-функтор

В математике , особенно в теории категорий , hom-множества (т.е. наборы морфизмов между объектами ) порождают важные функторы категории множеств . Эти функторы называются hom-функторами и имеют многочисленные применения в теории категорий и других разделах математики.

Формальное определение

Пусть C — локально малая категория (т. е. категория , для которой hom-классы на самом деле являются множествами , а не собственными классами ).

Для всех объектов A и B в C мы определяем два функтора категории множеств следующим образом:

Hom( A , –) : C → Set	Hom(–, B ): C → Set
Это ковариантный функтор, определяемый формулой: Hom( A , –) отображает каждый объект X в C в набор морфизмов Hom( A , X ) Hom( A , –) отображает каждый морфизм f : X → Y в функцию Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ), заданный формулой $g\mapsto f\circ g$ для каждого g в Hom( A , X ).	Это контравариантный функтор, определяемый формулой: Hom(–, B ) отображает каждый объект X в C в набор морфизмов Hom( X , B ) Hom(–, B ) отображает каждый морфизм h : X → Y в функцию Hom( h , B ): Hom( Y , B ) → Hom( X , B ), заданный формулой $g\mapsto g\circ h$ для каждого g в Hom( Y , B ).

Функтор Hom(–, B ) также называется функтором точек объекта B .

Обратите внимание, что фиксация первого аргумента Hom естественным образом приводит к ковариантному функтору, а фиксация второго аргумента естественным образом дает контравариантный функтор. Это артефакт способа составления морфизмов.

Пара функторов Hom( A , –) и Hom(–, B ) связаны естественным образом . Для любой пары морфизмов f : B → B ′ и h : A ′ → A следующая диаграмма коммутирует :

Оба пути отправляют g : A → B в f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′.

Коммутативность приведенной выше диаграммы означает, что Hom(–, –) является бифунктором из C × C в Set , который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. Эквивалентно, мы можем сказать, что Hom(–, –) является бифунктором

Hom(–, –) : C ^на × C → Установить

где С ^на является противоположной C. , категорией Обозначение Hom _C (–, –) иногда используется для Hom(–, –), чтобы подчеркнуть категорию, образующую домен.

Лемма Йонеды

Основная статья: лемма Йонеды

Обращаясь к приведенной выше коммутативной диаграмме, можно заметить, что каждый морфизм

ч : А ′ → А

вызывает естественную трансформацию

Hom( h , –) : Hom( A , –) → Hom( A ′, –)

и каждый морфизм

е : B → B ′

вызывает естественную трансформацию

Hom(–, f ) : Hom(–, B ) → Hom(–, B ′)

Лемма Йонеды подразумевает, что каждое естественное преобразование между функторами Hom имеет эту форму. Другими словами, функторы Hom приводят к полному и точному вложению категории C в категорию функторов Set ^{С на} (ковариантный или контравариантный в зависимости от того, какой функтор Hom используется).

Внутренний функтор Hom

Некоторые категории могут иметь функтор, который ведет себя как функтор Hom, но принимает значения в самой категории C , а не в Set . Такой функтор называется внутренним функтором Hom и часто записывается как

$\left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C$

чтобы подчеркнуть его продуктовый характер, или как

$\mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C$

чтобы подчеркнуть его функториальную природу, а иногда и просто в нижнем регистре:

$\operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.$ Примеры см. в разделе Категории отношений .

Категории, обладающие внутренним функтором Hom, называются закрытыми категориями . У одного это есть

$\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)$,

где I — единичный объект закрытой категории. В случае замкнутой моноидальной категории это распространяется на понятие каррирования , а именно, что

$\operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)$

где $\otimes$ является бифунктором , функтором внутреннего произведения, определяющим моноидальную категорию . Изоморфизм естественен как в X , в Z. так и Другими словами, в замкнутой моноидальной категории внутренний функтор Hom является сопряженным функтором к функтору внутреннего произведения. Объект $Y\Rightarrow Z$ называется внутренним Hom . Когда $\otimes$ это декартово произведение $\times$, объект $Y\Rightarrow Z$ называется экспоненциальным объектом и часто записывается как $Z^{Y}$.

Внутренние хомы, соединенные вместе, образуют язык, называемый внутренним языком категории. Наиболее известными из них являются просто типизированное лямбда-исчисление , которое является внутренним языком декартовых замкнутых категорий , и система линейных типов , которая является внутренним языком замкнутых симметричных моноидальных категорий .

Характеристики

Заметим, что функтор вида

Hom(–, A ): C ^на → Установить

является предпучком ; аналогично Hom( A , –) является копредпучком.

Функтор F : C → Set , естественно изоморфный Hom( A , –) для некоторого A из C, называется представимым функтором (или представимым коппучком); аналогично контравариантный функтор, эквивалентный Hom(–, A ), можно было бы назвать корпредставимым.

Обратите внимание, что Hom(–, –) : C ^на × C → Set — это профунктор , и, в частности, это тождественный профунктор. $\operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C$.

Внутренний функтор hom сохраняет пределы ; то есть, $\operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C$ отправляет лимиты на лимиты, в то время как $\operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C$ отправляет лимиты в $C^{\text{op}}$, то есть копределы в $C$, в пределы. В определенном смысле это можно понимать как определение предела или копредела.

Эндофунктору E Hom( Set , –) : Set → ; придать структуру монады можно эта монада называется монадой среды (или читателя) .

Другие объекты недвижимости

Если A — абелева категория и A — объект A , то Hom _A ( A , –) — ковариантный левоточный функтор из A в категорию Ab абелевых групп . Оно точно тогда и только тогда, A проективно когда .

Пусть R — и кольцо M — левый R - модуль . Функтор Hom _R ( M , –): Mod - R → Ab сопряжено с функтором тензорного произведения – $\otimes$_Р М : Аб → Мод - Р .

См. также

• Внешний функтор
• Категория функтора
• Представимый функтор

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для работающего математика (второе изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 .
• Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, Категориальный анализ логики (пересмотренная ред.). Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-45026-1 . Архивировано из оригинала 21 марта 2020 г. Проверено 25 ноября 2009 г.
• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47187-7 .

Внешние ссылки

• Hom-функтор в n Lab
• Внутреннее домашнее задание в n Lab