Профунктор

В теории категорий , разделе математики , профунторы являются обобщением отношений , а также бимодулей .

Определение

Профунктор модулем называемый дистрибьютором во французской школе и ( также в Сиднейской школе) $\,\phi$ из категории $C$ в категорию $D$, написано

$\phi :C\nrightarrow D$,

определяется как функтор

$\phi :D^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set}$

где $D^{\mathrm {op} }$ обозначает противоположную категорию $D$ и $\mathbf {Set}$ обозначает категорию множеств . Данные морфизмы $f:d\to d',g:c\to c'$ соответственно в $D,C$ и элемент $x\in \phi (d',c)$, мы пишем $xf\in \phi (d,c),gx\in \phi (d',c')$ для обозначения действий.

Используя замыкание декартово $\mathbf {Cat}$, категория малых категорий , профунктор $\phi$ можно рассматривать как функтор

${\hat {\phi }}:C\to {\hat {D}}$

где ${\hat {D}}$ обозначает категорию $\mathrm {Set} ^{D^{\mathrm {op} }}$ предшкивов ​ над $D$.

Письмо ​ от $C$ к $D$ является профунктором $D\nrightarrow C$.

Профунторы как категории

Эквивалентное определение профунтора $\phi :C\nrightarrow D$ категория, объекты которой представляют собой непересекающееся объединение объектов $C$ и объекты $D$, и чьи морфизмы являются морфизмами $C$ и морфизмы $D$, плюс ноль или более дополнительных морфизмов от объектов $D$ к объектам $C$. Множества в формальном определении, приведенном выше, представляют собой hom-множества между объектами $D$ и объекты $C$. (Они также известны как гет-множества, поскольку соответствующие морфизмы можно назвать гетероморфизмами .) Предыдущее определение можно восстановить с помощью ограничения hom-функтора $\phi ^{\text{op}}\times \phi \to \mathbf {Set}$ к $D^{\text{op}}\times C$.

Это также проясняет, что профунктор можно рассматривать как отношение между объектами $C$ и объекты $D$, где каждый член отношения связан с набором морфизмов. Функтор — это частный случай профунтора, точно так же, как функция — это частный случай отношения.

Состав профункторов

Композитный $\psi \phi$ из двух профункторов

$\phi :C\nrightarrow D$ и $\psi :D\nrightarrow E$

дается

$\psi \phi =\mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})\circ {\hat {\phi }}$

где $\mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})$ — левое кановское расширение функтора ${\hat {\psi }}$ вдоль функтора Йонеды $Y_{D}:D\to {\hat {D}}$ из $D$ (который к каждому объекту $d$ из $D$ связывает функтор $D(-,d):D^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Set}$).

Можно показать, что

$(\psi \phi )(e,c)=\left(\coprod _{d\in D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)\right){\Bigg /}\sim$

где $\sim$ — наименьшее отношение эквивалентности такое, что $(y',x')\sim (y,x)$ всякий раз, когда существует морфизм $v$ в $D$ такой, что

$y'=vy\in \psi (e,d')$ и $x'v=x\in \phi (d,c)$.

Эквивалентно, композиция профункторов может быть записана с использованием коэнда

$(\psi \phi )(e,c)=\int ^{d\colon D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)$

Бикатегория профункторов

Композиция профункторов ассоциативна только с точностью до изоморфизма (поскольку произведение не является строго ассоциативным в Set ). Поэтому лучшее, на что можно надеяться, — это построить бикатегорию Prof , чья

• 0-ячейки — это небольшие категории ,
• 1-ячейки между двумя небольшими категориями являются профункторами между этими категориями,
• 2-ячейки между двумя профункторами представляют собой естественные преобразования между этими профункторами.

Свойства

Преобразование функторов в профунторы

Функтор $F:C\to D$ можно рассматривать как профунктор $\phi _{F}:C\nrightarrow D$ путем посткомпозиции с функтором Йонеды:

$\phi _{F}=Y_{D}\circ F$.

Можно показать, что такой профунктор $\phi _{F}$ имеет правый сопряженный. Более того, это характеристика: профунктор $\phi :C\nrightarrow D$ имеет правый сопряженный тогда и только тогда, когда ${\hat {\phi }}:C\to {\hat {D}}$ факторы посредством завершения Коши $D$, т.е. существует функтор $F:C\to D$ такой, что ${\hat {\phi }}=Y_{D}\circ F$.

См. также

• Анафунктор

Ссылки

• Бенабу, Жан (2000), Дистрибьюторы за работой (PDF)
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре . ЧАШКА.
• Лурье, Джейкоб (2009). Теория высшего топоса . Издательство Принстонского университета.
• Профунктор в n Lab
• Гетероморфизм в n Lab