Анафунктор

Анафунктор ​ — понятие, введенное Маккаем (1996) для обычных категорий и являющееся обобщением функторов. В теории категорий некоторые утверждения требуют аксиомы выбора, но аксиому выбора иногда можно избежать при использовании анафунктора. Например, утверждение «каждый полностью точный и по существу сюръективный функтор является эквивалентностью категорий » эквивалентно аксиоме выбора, но мы обычно можем следовать тому же утверждению без аксиомы выбора, используя анафунктор вместо функтора.

Определение

анафункторов

Анафунктор (пролет)

Пусть X и A — категории . Анафунктор F с доменом ( источником ) X и кодоменом ( цель ) A , а также между категориями X и A является категорией. $|F|$, в обозначениях $F:X\xrightarrow {a} A$, определяется следующими условиями:

• $F_{0}$ является сюръективным по отношению к объектам .

• Пусть пара $F_{0}:|F|\rightarrow X$ и $F_{1}:|F|\rightarrow A$ быть функторами , совокупностью обычных функторов ( $X\leftarrow |F|\rightarrow A$), где $F_{0}$ верен полностью .

Теоретико-множественное определение

Анафунктор $F:X\xrightarrow {a} A$ следующее условие:

• Набор $|F|$ спецификаций $F$, с картами $\sigma :|F|\to \mathrm {Ob} (X)$ (источник), $\tau :|F|\to \mathrm {Ob} (A)$ (цель). $|F|$ это набор спецификаций, $s\in |F|$ указывает значение $\tau (s)$ на споре $\sigma (s)$. Для $X\in \mathrm {Ob} (X)$, мы пишем $|F|\;X$ для класса $\{s\in |F|:\sigma (s)=X\}$ и $F_{s}(X)$ для $\tau (s)$ обозначение $F_{s}(X)$ предполагает, что $s\in |F|\;X$.

• Для каждого $X,\;Y\in \mathrm {Ob} (X)$, $x\in |F|\;X$, $y\in |F|\;Y$ и $f:X\to Y$ в классе всех стрелок $\mathrm {Arr(X)}$ стрелы ​ $F_{x,y}(f):F_{x}(X)\to F_{y}(Y)$ в $A$.

• Для каждого $X\in \mathrm {Ob} (X)$, такой, что $|F|\;X$ является обитаемым ( непустым ).

• $F$ сохранить личность . Для всех $X\in \mathrm {Ob} (X)$ и $x\in |F|\;X$, у нас есть $F_{x,x}(\mathrm {id} _{x})=\mathrm {id} _{F_{x}X}$

• $F$ держать состав . В любое время $X,Y,Z\in \mathrm {Ob} (X)$, $x\in |F|\;X$, $y\in |F|\;Y$, $z\in |F|\;Z,$ и $F_{x,z}(gf)=F_{y,z}(g)\circ F_{x,y}(f)$.

См. также

• Профунктор

Библиография

• Маккай, М. (1996). «Избегание аксиомы выбора в общей теории категорий». Журнал чистой и прикладной алгебры . 108 (2): 109–173. дои : 10.1016/0022-4049(95)00029-1 .
• Маккай, М. (1998). «К категориальному основанию математики» . Коллоквиум по логике '95: Материалы ежегодного европейского летнего собрания Ассоциации символической логики, проходившего в Хайфе, Израиль, 9-18 августа 1995 г. Том. 11. Ассоциация символической логики. стр. 153–191. Збл   0896.03051 .
• Палмгрен, Эрик (2008). «Локально-декартовы замкнутые категории без выбранных конструкций» . Теория и приложения категорий . 20 :5–17.
• Робертс, Дэвид М. (2011). «Внутренние категории, анафункторы и локализации» (PDF) . Теория и применение категорий . arXiv : 1101.2363 .
• Шрайбер, Урс; Вальдорф, Конрад (2007). «Параллельный транспорт и функторы» (PDF) . Журнал гомотопии и родственных структур . arXiv : 0705.0452 .

Дальнейшее чтение

• Келли, генеральный директор (1964). «Полные функторы в гомологиях I. Цепные отображения и эндоморфизмы». Математические труды Кембриджского философского общества . 60 (4): 721–735. Бибкод : 1964PCPS...60..721K . дои : 10.1017/S0305004100038202 .

Внешние ссылки

• Бартельс, Тоби (2004). «Высшая калибровочная теория I: 2-расслоения». arXiv : math/0410328 .
• «анафунктор» . ncatlab.org .