Функтор

В математике , особенно в теории категорий , функтор — это отображение между категориями . Функторы были впервые рассмотрены в алгебраической топологии , где алгебраические объекты (такие как фундаментальная группа ) связаны с топологическими пространствами , а карты между этими алгебраическими объектами связаны с непрерывными отображениями между пространствами. В настоящее время функторы используются в современной математике для связи различных категорий. Таким образом, функторы важны во всех областях математики, к которым теория категорий применяется .

Слова категория и функтор были заимствованы математиками у философов Аристотеля и Рудольфа Карнапа соответственно. ^[1] Последний использовал функтор в лингвистическом контексте; ^[2] см. функциональное слово .

Определение [ править ]

Пусть C и D — категории . Функтор которое F из C в D — это отображение, ^[3]

связывает каждый объект $X$ в C к объекту $F(X)$ в Д ,
связывает каждый морфизм $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ в C к морфизму $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ $F(f)\двоеточие F(X)\to F(Y)$ в D такие, что выполняются следующие два условия:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ для каждого объекта $X$ в С ,
- $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ для всех морфизмов $f\colon X\to Y\,\!$ и $g\colon Y\to Z$ в С.

То есть функторы должны сохранять тождественные морфизмы и композицию морфизмов.

Ковариантность и контравариантность [ править ]

В математике существует множество конструкций, которые были бы функторами, если бы не тот факт, что они «переворачивают морфизмы» и «обратят композицию». Затем мы определяем контравариантный функтор F из C в D как отображение, которое

связывает каждый объект $X$ в C с объектом $F(X)$ в Д ,
связывает каждый морфизм $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ в C с морфизмом $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ $F(f)\двоеточие F(Y)\to F(X)$ в D такие, что выполняются следующие два условия:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ для каждого объекта $X$ в С ,
- $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ для всех морфизмов $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ в С.

Обратите внимание, что контравариантные функторы меняют направление композиции.

Обыкновенные функторы также называются ковариантными , чтобы отличить их от контравариантных. Обратите внимание, что контравариантный функтор можно также определить как ковариантный функтор в противоположной категории. $C^{\mathrm {op} }$ . ^[4]Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно. То есть вместо того, чтобы сказать $F\colon C\to D$ является контравариантным функтором, они просто пишут $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ (или иногда $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$ ) и назовем его функтором.

Контравариантные функторы также иногда называют кофункторами . ^[5]

Существует соглашение, которое относится к «векторам», т. е. векторным полям , элементам пространства сечений. $\Gamma (TM)$ касательного расслоения $TM$ — как «контравариантным» и «ковекторам» — т. е. 1-формам , элементам пространства сечений $\Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}$ котангенсного расслоения $T^{*}M$ - как «ковариантный». Эта терминология возникла в физике, и ее обоснование связано с положением индексов («наверху» и «внизу») в таких выражениях , как ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ для $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ или $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ для ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.$ В этом формализме замечено, что символ преобразования координат $\Lambda _{i}^{j}$ (представляющий матрицу ${\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}$ ) действует на «ковекторные координаты» «так же», как и на базисные векторы: $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$ — тогда как на «векторные координаты» он действует «наоборот» (но «так же», как и на базисные ковекторы: $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$ ). Эта терминология противоречит той, которая используется в теории категорий, поскольку именно ковекторы имеют откат в целом и, таким образом, являются контравариантными , тогда как векторы в целом являются ковариантными , поскольку их можно сдвигать вперед . См. также Ковариантность и контравариантность векторов .

Противоположная функция [ править ]

Каждый функтор $F\colon C\to D$ индуцирует противоположный функтор $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ , где $C^{\mathrm {op} }$ и $D^{\mathrm {op} }$ являются категориями, противоположными $C$ и $D$ . ^[6] По определению, $F^{\mathrm {op} }$ отображает объекты и морфизмы точно так же, как и $F$ . С $C^{\mathrm {op} }$ не совпадает с $C$ как категория, и аналогично для $D$ , $F^{\mathrm {op} }$ отличается от $F$ . Например, при составлении $F\colon C_{0}\to C_{1}$ с $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ , следует использовать либо $G\circ F^{\mathrm {op} }$ или $G^{\mathrm {op} }\circ F$ . Обратите внимание, что, следуя свойству противоположной категории , $\left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F$ .

Бифункторы и мультифункторы [ править ]

Бифунктор категория (также известный как бинарный функтор ) — это функтор, областью определения которого является произведения . Например, функтор Hom имеет тип C ^на× C → Установить . Его можно рассматривать как функтор с двумя аргументами. Функтор Hom является естественным примером; оно контрвариантно в одном аргументе и ковариантно в другом.

Мультифунктор — это обобщение концепции функтора на n переменных. Так, например, бифунктор — это мультифунктор с n = 2 .

Свойства [ править ]

Двумя важными следствиями аксиом функтора являются :

F преобразует каждую коммутативную диаграмму в C в коммутативную диаграмму в D ;
если f — изоморфизм в C , то F ( f ) — изоморфизм D. в

Можно составить функторы, т. е. если F — функтор из A в B , а G — функтор из B в C то можно сформировать составной функтор G ∘ F из A в C. , Композиция функторов ассоциативна там, где она определена. Тождественность композиции функторов есть тождественный функтор. Это показывает, что функторы можно рассматривать как морфизмы в категориях категорий, например в категории малых категорий .

Небольшая категория с одним объектом — это то же самое, что моноид : морфизмы категории с одним объектом можно рассматривать как элементы моноида, а композицию в категории можно рассматривать как операцию моноида. Функторы между однообъектными категориями соответствуют моноидным гомоморфизмам . Таким образом, в некотором смысле функторы между произвольными категориями являются своего рода обобщением моноидных гомоморфизмов на категории с более чем одним объектом.

Примеры [ править ]

Диаграмма: Для категорий C и J диаграмма типа J в C является ковариантным функтором $D\colon J\to C$ .
(Теоретическая категория) предпучок: Для категорий C и J -предпучок J на C является контравариантным функтором. $D\colon C\to J$ .
В особом случае, когда J — это , категория множеств и функций, D называется предпучком на C. Set
Предпучки (в топологическом пространстве): Если X — топологическое пространство , то открытые множества в X образуют частично упорядоченное множество Open( X ) при включении. Как и любое частично упорядоченное множество, Open( X ) образует небольшую категорию, добавляя одну стрелку U → V тогда и только тогда, когда $U\subseteq V$ . Контравариантные функторы на Open( X ) называются предпучками на X . Например, присваивая каждому открытому множеству U ассоциативную алгебру вещественнозначных непрерывных функций на , можно получить предпучок алгебр на X. U
Они постоянно работают: Функтор C → D , который отображает каждый объект C в фиксированный объект X в D и каждый морфизм в C в тождественный морфизм на X . Такой функтор называется константой или функтором выбора .

Эндофунктор: Функтор, который сопоставляет категорию с той же самой категорией; например, полиномиальный функтор .

Функтор тождества: В категории C , записанной 1 _C или id _C , отображает объект в себя и морфизм в себя. Тождественный функтор является эндофунктором.
Диагональный функтор: Диагональный функтор определяется как функтор из D в категорию функторов D ^С который отправляет каждый объект в D постоянному функтору этого объекта.
Предельный функтор: Для с фиксированным индексом категории J , если каждый функтор J → C имеет предел (например, если C полно), то предельный функтор C ^Дж→ C присваивает каждому функтору свой предел. Существование этого функтора можно доказать, осознав, что он является правосопряженным к диагональному функтору , и применив теорему Фрейда о сопряженном функторе . Для этого требуется подходящая версия выбранной аксиомы . Аналогичные замечания применимы и к функтору копредела (который присваивает каждому функтору его копредел и является ковариантным).
Функтор степенных наборов: Функтор набора мощности P : Set → Set отображает каждый набор на его набор мощности и каждую функцию. $f\colon X\to Y$ на карту, которая отправляет $U\in {\mathcal {P}}(X)$ своему образу $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$ . Можно также рассмотреть контравариантный функтор набора мощности , который отправляет $f\colon X\to Y$ на карту, которая отправляет $V\subseteq Y$ к своему обратному образу $f^{-1}(V)\subseteq X.$
Например, если $X=\{0,1\}$ затем $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ . Предполагать $f(0)=\{\}$ и $f(1)=X$ . Затем $F(f)$ это функция, которая отправляет любое подмножество $U$ из $X$ своему образу $f(U)$ , что в данном случае означает $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ , где $\mapsto$ обозначает отображение под $F(f)$ , так что это также можно записать как $(F(f))(\{\})=\{\}$ . Для остальных значений $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ $\{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\$ $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ Обратите внимание, что $f(\{0,1\})$ следовательно, порождает тривиальную топологию на $X$ . Также обратите внимание, что хотя функция $f$ в этом примере сопоставлено с набором мощности $X$ , это не обязательно должно быть так в целом.
Двойное векторное пространство: Отображение, которое ставит в соответствие каждому векторному пространству свое двойственное пространство и каждому линейному отображению свое двойственное или транспонированное пространство, является контравариантным функтором из категории всех векторных пространств над фиксированным полем в себя.
Фундаментальная группа: Рассмотрим категорию точечных топологических пространств , т. е. топологических пространств с выделенными точками. Объекты представляют собой пары ( X , x0 _а ) , где X — топологическое пространство, x0 _— точка X. в Морфизм из ( X , x ₀ ) в ( Y , y ₀ ) задается непрерывным отображением f : X → Y с f ( x ₀ ) = y ₀ .
топологического пространства X с отмеченной точкой x0 _, можно определить фундаментальную группу основанную в x0 _точке обозначаемую π1 _{Для каждого} ( X , x0 _, ) . Это группа гомотопических x0 классов петель, основанных в точке с _, групповой операцией конкатенации. Если f : X → Y — морфизм точечных пространств , то каждая петля в X с базовой точкой x ₀ может быть составлена с f , чтобы получить петлю в Y с базовой точкой y ₀ . Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и композицией петель, и мы получаем групповой гомоморфизм из π( X , x ₀ ) в π( Y , y ₀ ) . Таким образом, мы получаем функтор из категории точечных топологических пространств в категорию групп .
В категории топологических пространств (без выделенной точки) рассматриваются гомотопические классы общих кривых, но они не могут быть составлены, если не имеют общей конечной точки. группы имеется фундаментальной фундаментальный группоид , и эта конструкция является функториальной. Таким образом , вместо
Алгебра непрерывных функций: Контравариантный функтор из категории топологических пространств (с непрерывными отображениями в качестве морфизмов) в категорию вещественных ассоциативных алгебр задается путем присвоения каждому топологическому пространству X алгебры C( X ) всех вещественнозначных непрерывных функций на этом пространстве. Каждое непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм алгебр C( f ) : C( Y ) → C( X ) по правилу C( f )( φ ) = φ ∘ f для каждого φ в C( Y ).
Касательные и котангенсные расслоения: Отображение, которое переводит каждое дифференцируемое многообразие в его касательное расслоение и каждое гладкое отображение в его производную , является ковариантным функтором из категории дифференцируемых многообразий в категорию векторных расслоений .
Выполнение этих конструкций поточечно дает касательное пространство , ковариантный функтор из категории заостренных дифференцируемых многообразий в категорию вещественных векторных пространств. Точно так же кокасательное пространство является контравариантным функтором, по сути являющимся композицией касательного пространства с двойственным пространством, указанным выше.
Групповые действия/представления: Каждую группу G можно рассматривать как категорию с единственным объектом, морфизмы которого являются элементами G . функтор из G в Set Тогда представляет собой не что иное, как групповое действие G G на конкретном множестве, т. е. -множестве . функтор из G в категорию векторных пространств Vect _K является представлением G. Аналогично , линейным В общем, функтор G → C можно рассматривать как «действие» G на объект в категории C . Если C — группа, то это действие является гомоморфизмом группы.
Алгебры Ли: Сопоставляя каждой вещественной (комплексной) группе Ли ее вещественную (комплексную) алгебру Ли, мы определяем функтор.
Тензорные продукты: Если C обозначает категорию векторных пространств над фиксированным полем с линейными отображениями в качестве морфизмов, то тензорное произведение $V\otimes W$ определяет функтор C × C → C , ковариантный по обоим аргументам. ^[7]
Забывчивые функторы: Функтор U : Grp → Set , который отображает группу в ее основной набор, а гомоморфизм группы в ее основную функцию множеств, является функтором. ^[8]Подобные функторы, которые «забывают» некоторую структуру, называются забывчивыми функторами . Другим примером является функтор Rng → Ab , который отображает кольцо в лежащую в его основе аддитивную абелеву группу . Морфизмы в Rng ( гомоморфизмы колец ) становятся морфизмами в Ab (гомоморфизмы абелевых групп).
Свободные функторы: В противоположном направлении от забывчивых функторов действуют свободные функторы. Свободный функтор F : Set → Grp отправляет каждое множество X в свободную группу порожденную X. , Функции отображаются в групповые гомоморфизмы между свободными группами. Для многих категорий существуют свободные конструкции, основанные на структурированных множествах. Посмотреть свободный объект .
Группы гомоморфизмов: Каждой паре A , B абелевых групп можно сопоставить абелеву группу Hom( A , B ), состоящую из всех групп из A в B. гомоморфизмов Это функтор, контравариантный по первому и ковариантный по второму аргументу, т. е. это функтор Ab ^на× Ab → Ab (где Ab обозначает категорию абелевых групп с групповыми гомоморфизмами). Если f : A ₁ → A ₂ и g : B ₁ → B ₂ являются морфизмами в Ab , то групповой гомоморфизм Hom( f , g ) : Hom( A ₂ , B ₁ ) → Hom( A ₁ , B ₂ ) есть ∘ φ ↦ г φ ∘ ж . См. функтор Hom .
Представимые функторы: Мы можем обобщить предыдущий пример на любую C. категорию Каждой паре X , Y объектов в C можно сопоставить множество ( X , Y ) морфизмов из X в Y. Hom Это определяет функтор для Set , который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму, т. е. это функтор C ^на× C → Установить . Если f : X ₁ → X ₂ и g : Y ₁ → Y ₂ являются морфизмами в C , то отображение Hom( f , g ) : Hom( X ₂ , Y ₁ ) → Hom( X ₁ , Y ₂ ) задано φ ↦ г ∘ φ ∘ ж .
Подобные функторы называются представимыми функторами . Во многих случаях важной целью является определение того, представим ли данный функтор.

другими категориальными с Связь понятиями

Пусть C и D — категории. Совокупность всех функторов от C до D образует объекты категории: категория функторов . Морфизмы этой категории представляют собой естественные преобразования между функторами.

Функторы часто определяются универсальными свойствами ; примерами являются тензорное произведение , прямая сумма и прямое произведение групп или векторных пространств, построение свободных групп и модулей, прямые и обратные пределы. Понятия предела и копредела обобщают некоторые из вышеперечисленных.

Универсальные конструкции часто порождают пары сопряженных функторов .

Компьютерные реализации [ править ]

Функторы иногда появляются в функциональном программировании . Например, в языке программирования Haskell есть класс Functor где fmap — политипическая функция , используемая для отображения функций ( морфизмы в Hask , категория типов Haskell) ^[9] между существующими типами и функциями между некоторыми новыми типами. ^[10]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Мак Лейн, Сондерс (1971), Категории для работающего математика , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
^ Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка , Рутледж и Кеган, стр. 13–14.
^ Джейкобсон (2009) , с. 19, деф. 1.2.
^ Джейкобсон (2009) , стр. 19–20.
^ Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). Теория категорий . Дордрехт: Спрингер. п. 12. ISBN 9789400995505 . Проверено 23 апреля 2016 г.
^ Мак Лейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
^ Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
^ Джейкобсон (2009) , с. 20, упр. 2.
^ Не совсем ясно, действительно ли типы данных Haskell образуют категорию. См. https://wiki.haskell.org/Hask для получения более подробной информации.
^ см. https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell . Дополнительную информацию

Ссылки [ править ]

Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47187-7 .

Внешние ссылки [ править ]

«Функтор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
см. функтор в n Lab и обсуждаемые там варианты и ссылки на них.
Андре Жойал , CatLab , вики-проект, посвященный изложению категориальной математики.
Хиллман, Крис (2001). «Категорический букварь» . CiteSeerX 10.1.1.24.3264 . Архивировано из оригинала 3 мая 1997 г.
Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Стекер, Абстрактные и конкретные категории - Радость кошек. Архивировано 21 апреля 2015 г. в Wayback Machine.
Стэнфордская энциклопедия философии : « Теория категорий » — Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
Список научных конференций по теории категорий
Баэз, Джон, 1996, « Повесть о n- категориях». Неофициальное введение в категории высшего порядка.
WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов, естественных преобразований , универсальных свойств .
The Catsters — канал на YouTube, посвященный теории категорий.
Видеоархив записей выступлений по категориям, логике и основам физики.
Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.

[1] Мак Лейн, Сондерс (1971), Категории для работающего математика , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30, ISBN 978-3-540-90035-1

[2] Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка , Рутледж и Кеган, стр. 13–14.

[FOOTNOTEJacobson2009p._19,_def._1.2-3] Джейкобсон (2009) , с. 19, деф. 1.2.

[FOOTNOTEJacobson200919–20-4] Джейкобсон (2009) , стр. 19–20.

[Popescu1979-5] Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). Теория категорий . Дордрехт: Спрингер. п. 12. ISBN 9789400995505 . Проверено 23 апреля 2016 г.

[6] Мак Лейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2

[7] Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4

[FOOTNOTEJacobson2009p._20,_ex._2-8] Джейкобсон (2009) , с. 20, упр. 2.

[9] Не совсем ясно, действительно ли типы данных Haskell образуют категорию. См. https://wiki.haskell.org/Hask для получения более подробной информации.

[10] см. https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell . Дополнительную информацию

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]