Одноформный (дифференциальная геометрия)

«Одна форма» перенаправляется сюда. Не путать с One-form (линейная алгебра) .

В дифференциальной геометрии одна форма на дифференцируемом многообразии — это гладкое сечение кокасательного расслоения . Эквивалентно, одна форма на многообразии $M$ гладким отображением всего пространства касательного расслоения является $M$ к $\mathbb {R}$ ограничение которого на каждый слой является линейным функционалом в касательном пространстве. Символически,

$$\alpha :T^{*}M\rightarrow {\mathbb {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}^{*}M}:T_{x}^{*}M\rightarrow {\mathbb {R} },$$

где $\alpha _{x}$ является линейным.

Часто одноформы описываются локально , особенно в локальных координатах . В местной системе координат одноформа представляет собой линейную комбинацию дифференциалов координат :

$$\alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},$$

где $f_{i}$ являются гладкими функциями. С этой точки зрения одноформа имеет ковариантный закон преобразования при переходе из одной системы координат в другую. Таким образом, одна форма представляет собой ковариантное тензорное поле первого порядка .

Примеры

Самая основная нетривиальная дифференциальная форма - это форма «изменения угла». $d\theta .$ Это определяется как производная угловой «функции». $\theta (x,y)$ (которая определена только с точностью до аддитивной константы), которую можно явно определить через функцию atan2 . Взяв производную, получим следующую формулу для полной производной :

$${\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}$$

В то время как угловая «функция» не может быть определена непрерывно – функция atan2 разрывна в отрицательном направлении. $y$-ось - которая отражает тот факт, что угол не может быть определен непрерывно, эта производная непрерывно определяется, за исключением начала координат, что отражает тот факт, что бесконечно малые (и даже локальные) изменения угла могут быть определены везде, кроме начала координат. Интегрирование этой производной вдоль пути дает общее изменение угла по пути, а интегрирование по замкнутому контуру дает количество витков . $2\pi .$

На языке дифференциальной геометрии эта производная представляет собой одноформу, причем она замкнута (ее производная равна нулю), но не точна (она не является производной 0-формы, то есть функцией), и фактически он порождает первые когомологии де Рама плоскости проколотой . Это самый простой пример такой формы, и он является фундаментальным в дифференциальной геометрии.

Дифференциал функции

Основная статья: Дифференциал функции

Позволять $U\subseteq \mathbb {R}$ быть открытым (например, интервал $(a,b)$) и рассмотрим дифференцируемую функцию $f:U\to \mathbb {R} ,$ с производной $f'.$ Дифференциал $df$ из $f,$ в какой-то момент $x_{0}\in U,$ определяется как некоторая линейная карта переменной $dx.$ Конкретно, $df(x_{0},\cdot ):dx\mapsto f'(x_{0})dx.$ (Значение символа $dx$ таким образом обнаруживается: это просто аргумент или независимая переменная линейной функции $df(x_{0},\cdot ).$) Отсюда карта $x\mapsto df(x)$ отправляет каждую точку $x$ к линейному функционалу $df(x,\cdot ).$ Это простейший пример дифференциальной (одно-)формы.

В терминах коцепного комплекса де Рама имеется присвоение нулевых форм (скалярных функций) одноформам; то есть, $f\mapsto df.$

См. также

• Дифференциальная форма - выражение, которое можно интегрировать по региону.
• Внутренний продукт – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Обратная решетка - преобразование Фурье решетки реального пространства, важное в физике твердого тела.
• Тензор - алгебраический объект с геометрическими приложениями.