Обратная решетка

Сгенерированная компьютером обратная решетка вымышленного моноклинного трехмерного кристалла.

Двумерный кристалл и его обратная решетка.

В физике возникает обратная решетка в результате преобразования Фурье другой решетки . Прямая решетка или действительная решетка — это периодическая функция в физическом пространстве , такая как кристаллическая система (обычно решетка Браве ). Обратная решетка существует в математическом пространстве пространственных частот , известном как обратное пространство или k-пространство , которое является двойственным физическому пространству, рассматриваемому как векторное пространство, а обратная решетка — это подрешетка этого пространства, двойственная прямой решетке. .

В квантовой физике обратное пространство тесно связано с пространством импульсов согласно пропорциональности $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$, где $\mathbf {p}$ вектор импульса и $\hbar$ – приведенная постоянная Планка . Обратная решетка обратной решетки эквивалентна исходной прямой решетке, поскольку определяющие уравнения симметричны относительно векторов в вещественном и обратном пространстве. Математически векторы прямой и обратной решетки представляют собой ковариантные и контравариантные векторы соответственно.

Обратная решетка — это совокупность всех векторов $\mathbf {G} _{m}$, которые являются волновыми векторами плоских волн в ряду Фурье пространственной функции, периодичность которой такая же, как у прямой решетки $\mathbf {R} _{n}$. Каждая плоская волна в этом ряду Фурье имеет одну и ту же фазу или фазы, которые отличаются кратно $2\pi$ в каждой прямой точке решетки (поэтому по существу одна и та же фаза во всех прямых точках решетки).

Обратная решетка играет фундаментальную роль в большинстве аналитических исследований периодических структур, особенно в теории дифракции . В нейтронов , гелия и рентгеновских лучей дифракции из-за условий Лауэ разность импульсов между входящим и дифрагированным рентгеновскими лучами кристалла представляет собой вектор обратной решетки. По дифракционной картине кристалла можно определить обратные векторы решетки. Используя этот процесс, можно сделать вывод об атомном расположении кристалла.

Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера–Зейтца обратной решетки.

Волновое описание

Адсорбированные частицы на поверхности со сверхструктурой 1×2 приводят к появлению дополнительных пятен при дифракции медленных электронов (ДМЭ).

Взаимное пространство

Обратное пространство (также называемое k -пространством) позволяет визуализировать результаты преобразования Фурье пространственной функции. По своей роли он аналогичен частотной области , возникающей в результате преобразования Фурье функции, зависящей от времени; обратное пространство - это пространство, в котором преобразование Фурье пространственной функции представляется на пространственных частотах или волновых векторах плоских волн преобразования Фурье. Область самой пространственной функции часто называют реальным пространством. В физических приложениях, таких как кристаллография, как реальное, так и обратное пространство часто бывают двух- или трехмерными. В то время как количество пространственных измерений этих двух связанных пространств будет одинаковым, пространства будут различаться по своей количественной размерности, так что, когда реальное пространство имеет измерение длины ( L ), его обратное пространство будет иметь обратную длину, поэтому L ⁻¹ (обратная длина).

Обратное пространство вступает в игру в отношении волн, как классических, так и квантово-механических. Поскольку синусоидальную плоскую волну с единичной амплитудой можно записать как колебательный член $\cos(kx-\omega t+\varphi _{0})$, с начальной фазой $\varphi _{0}$, угловое волновое число $k$ и угловая частота $\omega$, его можно рассматривать как функцию обоих $k$ и $x$ (и изменяющаяся во времени часть как функция обоих $\omega$ и $t$). Эта дополнительная роль $k$ и $x$ приводит к их визуализации в дополнительных пространствах (реальном пространстве и обратном пространстве). Пространственная периодичность этой волны определяется ее длиной волны $\lambda$, где $k\lambda =2\pi$; следовательно, соответствующее волновое число в обратном пространстве будет равно $k=2\pi /\lambda$.

В трех измерениях соответствующий член плоской волны становится $\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})$, что упрощает $\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\varphi )$ в фиксированное время $t$, где $\mathbf {r}$ — вектор положения точки в реальном пространстве, и теперь $\mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda$ — волновой вектор в трехмерном обратном пространстве. (Амплитуда волнового вектора называется волновым числом.) Константа $\varphi$ - фаза волнового фронта (плоскости постоянной фазы) через начало координат $\mathbf {r} =0$ во время $t$, и $\mathbf {e}$ - единичный вектор, перпендикулярный этому волновому фронту. Волновые фронты с фазами $\varphi +(2\pi )n$, где $n$ представляет собой любое целое число и содержит набор параллельных плоскостей, расположенных на равном расстоянии друг от друга по длине волны. $\lambda$.

Обратная решетка

В общем, геометрическая решетка — это бесконечный регулярный массив вершин (точек) в пространстве, который можно векторно смоделировать как решетку Браве . Некоторые решетки могут быть перекошенными, а это значит, что их основные линии не обязательно будут находиться под прямым углом. В обратном пространстве обратная решетка определяется как набор волновых векторов $\mathbf {k}$ плоских волн в ряду Фурье любой функции $f(\mathbf {r} )$ периодичность которого совместима с периодичностью исходной прямой решетки в реальном пространстве. Эквивалентно, волновой вектор является вершиной обратной решетки, если он соответствует плоской волне в реальном пространстве, фаза которой в любой момент времени одинакова (фактически отличается на $(2\pi )n$ с целым числом $n$) в каждой прямой вершине решетки.

Один эвристический подход к построению обратной решетки в трех измерениях состоит в том, чтобы записать вектор положения вершины прямой решетки как $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$, где $n_{i}$ целые числа, определяющие вершину и $\mathbf {a} _{i}$ — это линейно независимые примитивные векторы трансляции (или кратко называемые примитивными векторами), характерные для решетки. Тогда существует единственная плоская волна (вплоть до отрицательного фактора), волновой фронт которой через начало координат $\mathbf {R} =0$ содержит прямые точки решетки в точках $\mathbf {a} _{2}$ и $\mathbf {a} _{3}$, и с прилегающим к нему волновым фронтом (фаза которого отличается на $2\pi$ или $-2\pi$ от бывшего волнового фронта, проходящего через начало координат), проходящего через $\mathbf {a} _{1}$. Его угловой волновой вектор имеет вид $\mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}$, где $\mathbf {e} _{1}$ - единичный вектор, перпендикулярный этим двум соседним волновым фронтам, и длина волны $\lambda _{1}$ должен удовлетворить $\lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}$, означает, что $\lambda _{1}$ равно расстоянию между двумя волновыми фронтами. Следовательно, по построению $\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi$ и $\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0$.

Поочередно перебирая индексы, тот же метод дает три волновых вектора. $\mathbf {b} _{j}$ с $\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}$, где дельта Кронекера $\delta _{ij}$ равен единице, когда $i=j$ и равно нулю в противном случае. $\mathbf {b} _{j}$ представляют собой набор из трех примитивных волновых векторов или трех примитивных векторов трансляции обратной решетки, каждая из вершин которых имеет вид $\mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}$, где $m_{j}$ являются целыми числами. Обратная решетка также является решеткой Браве , поскольку она образована целочисленными комбинациями примитивных векторов, то есть $\mathbf {b} _{1}$, $\mathbf {b} _{2}$, и $\mathbf {b} _{3}$ в этом случае. Простая алгебра показывает, что для любой плоской волны с волновым вектором $\mathbf {G}$ на обратной решетке полный фазовый сдвиг $\mathbf {G} \cdot \mathbf {R}$ между началом координат и любой точкой $\mathbf {R}$ на прямой решетке кратно $2\pi$ (возможно, оно может быть равно нулю, если множитель равен нулю), поэтому фаза плоской волны с $\mathbf {G}$ по существу будут равны для каждой вершины прямой решетки в соответствии с приведенным выше определением обратной решетки. (Хотя любой волновой вектор $\mathbf {G}$ на обратной решетке всегда принимает такую ​​форму, этот вывод является скорее мотивационным, чем строгим, поскольку в нем не доказано отсутствие других возможностей.)

— Зона Бриллюэна примитивная ячейка (точнее ячейка Вигнера-Зейтца ) обратной решетки, которая играет важную роль в физике твердого тела благодаря теореме Блоха . В чистой математике двойственное пространство и линейных форм двойственная решетка обеспечивают более абстрактные обобщения обратного пространства и обратной решетки.

Математическое описание

Демонстрация связи между вещественной и обратной решеткой. Реальная пространственная двумерная решетка (красные точки) с примитивными векторами $a_{1}$ и $a_{2}$ показаны синими и зелеными стрелками соответственно. На вершине плоские волны формы $e^{iG\cdot r}$ нанесены на график. Отсюда мы видим, что когда $G$ - это любая целочисленная комбинация базиса векторов обратной решетки $b_{1}$ и $b_{2}$ (т.е. любой вектор обратной решетки), результирующие плоские волны имеют ту же периодичность, что и решетка – то есть любой сдвиг из точки $r$ (показано оранжевым) до точки $R+r$ ( $R$ показано красным), значение плоской волны такое же. Эти плоские волны можно сложить вместе, и приведенное выше соотношение все равно будет применяться.

Предполагая трехмерную решетку Браве и маркируя каждый вектор решетки (вектор, указывающий точку решетки) индексом $n=(n_{1},n_{2},n_{3})$ как тройка целых чисел,

$\mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ где $n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z}$

где $\mathbb {Z}$ представляет собой набор целых чисел и $\mathbf {a} _{i}$ — это примитивный вектор трансляции или, коротко, примитивный вектор. Взяв функцию $f(\mathbf {r} )$ где $\mathbf {r}$ это вектор положения из начала координат $\mathbf {R} _{n}=0$ в любую позицию, если $f(\mathbf {r} )$ следует периодичности этой решетки, например, функцию, описывающую электронную плотность в атомном кристалле, полезно записать $f(\mathbf {r} )$ как многомерный ряд Фурье

$\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=f\left(\mathbf {r} \right)$

где теперь индекс $m=(m_{1},m_{2},m_{3})$, так что это тройная сумма.

Как $f(\mathbf {r} )$ следует периодичности решетки, переводя $\mathbf {r}$ любым вектором решетки $\mathbf {R} _{n}$ мы получаем одно и то же значение, следовательно

$f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} ).$

Выражая вышесказанное через ряд Фурье, мы имеем $$\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\,e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }.$$

Поскольку равенство двух рядов Фурье влечет равенство их коэффициентов, $e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1$, которое имеет место только тогда, когда

$\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N$ где $N\in \mathbb {Z} .$

Математически обратная решетка представляет собой набор всех векторов $\mathbf {G} _{m}$, которые являются волновыми векторами плоских волн в ряду Фурье пространственной функции, периодичность которой такая же, как у прямой решетки, как множество всех векторов положения точек прямой решетки $\mathbf {R} _{n}$, и $\mathbf {G} _{m}$ удовлетворить это равенство для всех $\mathbf {R} _{n}$. Каждая плоская волна в ряду Фурье имеет одинаковую фазу (фактически может отличаться в несколько раз). $2\pi$) во всех точках решетки $\mathbf {R} _{n}$.

Как показано в разделе многомерные ряды Фурье , $\mathbf {G} _{m}$ можно выбрать в виде $\mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}$ где $\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}$. В таком виде обратная решетка как совокупность всех волновых векторов $\mathbf {G} _{m}$ для ряда Фурье пространственной функции, периодичность которой следует $\mathbf {R} _{n}$, сама по себе является решеткой Браве, поскольку она образована целочисленными комбинациями собственных примитивных векторов сдвига. $\left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)$, а обратной решетке является исходная решетка, что раскрывает двойственность Понтрягина их соответствующих векторных пространств . (возможна другая форма $\mathbf {G} _{m}$. Любая допустимая форма $\mathbf {G} _{m}$ приводит к той же обратной решетке.)

Два измерения

Для бесконечной двумерной решетки, определяемой ее примитивными векторами $\left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)$, его обратная решетка может быть определена путем создания двух обратных примитивных векторов с помощью следующих формул:

$\mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}$

где $m_{i}$ является целым числом и

${\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}$

Здесь $\mathbf {Q}$ на 90 градусов представляет собой матрицу поворота , т.е. на четверть оборота. Вращение против часовой стрелки и вращение по часовой стрелке можно использовать для определения обратной решетки: если $\mathbf {Q}$ это вращение против часовой стрелки и $\mathbf {Q'}$ это вращение по часовой стрелке, $\mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v}$ для всех векторов $\mathbf {v}$. Таким образом, используя перестановку

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}$

мы получаем

$\mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.$

Примечательно, что в трехмерном пространстве эта двумерная обратная решетка представляет собой бесконечно расширенный набор стержней Брэгга, описанный Сунгом и др.

Три измерения

Для бесконечной трехмерной решетки $\mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$, определяемый своими примитивными векторами $\left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)$ и нижний индекс целых чисел $n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)$, его обратная решетка $\mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}$ с целочисленным индексом $m=(m_{1},m_{2},m_{3})$ может быть определен путем создания трех обратных примитивных векторов $\left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)$$${\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\[8pt]\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}$$где $$V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)$$ — скалярное тройное произведение . Выбор из этих $\left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)$ это удовлетворить $\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}$ как известное условие (могут быть другие условия.) примитивных векторов сдвига для обратной решетки, полученной с помощью эвристического подхода, описанного выше , и сечения многомерного ряда Фурье . Этот выбор также удовлетворяет требованию обратной решетки $e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1$ математически выведено выше . Используя представление вектор-столбца (обратных) примитивных векторов, приведенные выше формулы можно переписать с использованием обращения матрицы :

$\left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.$

Этот метод апеллирует к определению и допускает обобщение на произвольные размеры. Формула перекрестного произведения доминирует во вводных материалах по кристаллографии.

Приведенное выше определение называется «физическим» определением, поскольку фактор $2\pi$ естественным образом возникает в результате изучения периодических структур. По существу эквивалентное определение, определение «кристаллографа», исходит из определения обратной решетки. $\mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi$. который изменяет обратные примитивные векторы на

$\mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}$

и так далее для других примитивных векторов. Определение кристаллографа имеет то преимущество, что определение $\mathbf {b} _{1}$ это просто обратная величина $\mathbf {a} _{1}$ в направлении $\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}$, опуская коэффициент $2\pi$. Это может упростить некоторые математические манипуляции и выразить обратные размеры решетки в единицах пространственной частоты . Какое определение решетки использовать — дело вкуса, при условии, что они не смешаны.

$m=(m_{1},m_{2},m_{3})$ условно записывается как $(h,k,\ell )$ или $(hk\ell )$, называемые индексами Миллера ; $m_{1}$ заменяется на $h$, $m_{2}$ заменен на $k$, и $m_{3}$ заменен на $\ell$. Каждая точка решетки $(hk\ell )$ в обратной решетке соответствует набору плоскостей решетки $(hk\ell )$ в реальной пространственной решетке. (Плоскость решетки — это плоскость, пересекающая точки решетки.) Направление вектора обратной решетки соответствует нормали к плоскостям реального пространства. Величина вектора обратной решетки $\mathbf {K} _{m}$ дается в обратной длине и равен обратной величине межплоскостного расстояния реальных космических плоскостей.

Высшие измерения

Формула для $n$ размеры можно получить, предполагая $n$- размерное действительное векторное пространство $V$ с основой $(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$ и внутренний продукт $g\colon V\times V\to \mathbf {R}$. Векторы обратной решетки однозначно определяются по формуле $g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}$. Использование перестановки

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},$

их можно определить по следующей формуле:

$\mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\varepsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V$

Здесь, $\omega \colon V^{n}\to \mathbf {R}$ это форма объема , $g^{-1}$ является обратным изоморфизму векторного пространства ${\hat {g}}\colon V\to V^{*}$ определяется ${\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)$ и $\lrcorner$ обозначает внутреннее умножение .

В эквивалентности этой формулы известным формулам для двумерного и трехмерного случая можно убедиться, используя следующие факты: В трех измерениях $\omega (u,v,w)=g(u\times v,w)$ и в двух измерениях, $\omega (v,w)=g(Rv,w)$, где $R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)$ — поворот на 90 градусов (так же, как и объемная форма, угол, назначенный повороту, зависит от выбора ориентации ).

Обратные решетки различных кристаллов

Обратные решетки для кубической кристаллической системы следующие.

Простая кубическая решетка

Простая кубическая решетка Браве с кубической примитивной ячейкой стороны $a$, имеет обратную простую кубическую решетку с кубической примитивной ячейкой со стороной ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$ (или ${\textstyle {\frac {1}{a}}}$ в определении кристаллографа). Поэтому кубическую решетку называют самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве.

Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка

Обратная решетка решетке FCC представляет собой объемноцентрированную кубическую (BCC) решетку со стороной куба ${\textstyle {\frac {4\pi }{a}}}$.

Рассмотрим составную элементарную ячейку FCC. Найдите примитивную элементарную ячейку FCC; т. е. элементарная ячейка с одной точкой решетки. Теперь возьмем одну из вершин примитивной элементарной ячейки за начало координат. Укажите базисные векторы реальной решетки. Тогда по известным формулам можно вычислить базисные векторы обратной решетки. Эти векторы обратной решетки FCC представляют собой базисные векторы реальной решетки BCC. Базисные векторы реальной ОЦК-решетки и обратной решетки ГЦК похожи друг на друга по направлению, но не по величине.

Объемно-центрированная кубическая (BCC) решетка

Обратная решетка решетке BCC представляет собой решетку FCC со стороной куба ${\textstyle 4\pi /a}$.

Можно доказать, что только решетки Браве, имеющие угол между ними 90 градусов, $\left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)$ (кубические, тетрагональные, ромбические) имеют примитивные векторы трансляции обратной решетки, $\left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)$, параллельно их векторам в реальном пространстве.

Простая шестиугольная решетка

Обратное к простой гексагональной решетке Браве с постоянными решетки ${\textstyle a}$ и ${\textstyle c}$ это еще одна простая гексагональная решетка с постоянными решетки ${\textstyle 2\pi /c}$ и ${\textstyle 4\pi /(a{\sqrt {3}})}$ повернута на 90° вокруг оси c относительно прямой решетки. Поэтому простую шестиугольную решетку называют самодвойственной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве. Примитивные векторы трансляции для этих простых векторов гексагональной решетки Браве: $${\begin{aligned}a_{1}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{2}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{3}&=c{\hat {z}}.\end{aligned}}$$

Произвольный набор атомов

Тень интенсивной обратной решетки граненого углеродного пентакона из 118 атомов светится красным светом при дифракции при пересечении сферы Эвальда.

Один путь к обратной решетке произвольного набора атомов исходит из идеи рассеянных волн в пределе Фраунгофера (дальнего расстояния или задней фокальной плоскости линзы) как в стиле Гюйгенса суммы амплитуд от всех точек рассеяния (в в этом случае от каждого отдельного атома). Эта сумма обозначается комплексной амплитудой $F$ в приведенном ниже уравнении, поскольку это также преобразование Фурье (как функция пространственной частоты или обратного расстояния) эффективного потенциала рассеяния в прямом пространстве:

$F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\!\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.$

Здесь g = q /(2 π ) — вектор рассеяния q в кристаллографических единицах, N — число атомов, f _j [ g ] — атомный фактор рассеяния для атома j и вектора рассеяния g , а r _j — положение вектора атома j . Фаза Фурье зависит от выбора начала координат.

Для частного случая бесконечного периодического кристалла амплитуда рассеяния F = M F _h,k,ℓ от M элементарных ячеек (как и в случаях выше) оказывается отличной от нуля только для целых значений $(h,k,\ell )$, где

$F_{h,k,\ell }=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{h,k,\ell }\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+\ell w_{j}\right)}$

находится j = 1, m когда внутри элементарной ячейки атомов, чьи дробные индексы решетки равны соответственно { u _j , v _j , w _j }. Разумеется, чтобы учитывать эффекты, связанные с конечным размером кристалла, вместо этого необходимо использовать свертку формы для каждой точки или приведенное выше уравнение для конечной решетки.

Независимо от того, конечен ли массив атомов или бесконечен, можно также представить «решетку обратной интенсивности» I[ g ], которая связана с амплитудной решеткой F обычным соотношением I = F ^* F где F ^* является комплексно-сопряженным F. Поскольку преобразование Фурье, конечно, обратимо, этот акт преобразования в интенсивность отбрасывает «всю информацию, кроме второго момента» (т.е. фазы). Таким образом, для случая произвольного набора атомов обратная решетка интенсивности равна:

$I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{\!\!\;jk}}.$

Здесь r _jk — векторное расстояние между атомом j и атомом k . Это также можно использовать для прогнозирования влияния формы нанокристаллитов и тонких изменений ориентации луча на обнаруженные дифракционные пики, даже если в некоторых направлениях толщина кластера составляет всего один атом. С другой стороны, расчеты рассеяния с использованием обратной решетки в основном рассматривают падающую плоскую волну. Таким образом, после первого взгляда на эффекты обратной решетки (кинематическое рассеяние), эффекты расширения луча и многократного рассеяния (т.е. динамического ) также могут быть важными для рассмотрения.

Обобщение двойственной решетки

Основная статья: Двойная решетка

существуют две версии На самом деле в математике абстрактной концепции двойственной решетки для данной решетки L в реальном векторном пространстве V конечной размерности .

Первый, который непосредственно обобщает конструкцию обратной решетки, использует анализ Фурье . Это можно сформулировать просто в терминах двойственности Понтрягина . Двойственная группа V ^ к V снова является вещественным векторным пространством, а ее замкнутая подгруппа L ^, двойственная к L, оказывается решеткой в ​​V ^. Следовательно, L ^ является естественным кандидатом на двойственную решетку в другом векторном пространстве (той же размерности).

Другой аспект проявляется в наличии квадратичной формы Q на V ; если оно невырождено, оно позволяет идентифицировать двойственное пространство V ^* из V с V . Отношение В. ^* V ; не является внутренним это зависит от выбора меры Хаара (элемента объема) на V . Но при отождествлении этих двух элементов, которое в любом случае четко определено с точностью до скаляра , наличие Q позволяет обращаться к решетке, двойственной к L, при этом внутри V. оставаясь

В математике двойственной решеткой к данной решетке L в абелевой локально компактной топологической группе G является подгруппа L ^∗ двойственной группы к G, состоящей из всех непрерывных характеров, равных единице в каждой точке L .

В дискретной математике решетка — это локально дискретный набор точек, описываемый всеми целыми линейными комбинациями dim = n линейно независимых векторов в R. ^н . Тогда двойственная решетка определяется всеми точками линейной оболочки исходной решетки (обычно всеми точками R ^н ) со свойством, что целое число получается из скалярного произведения со всеми элементами исходной решетки. Отсюда следует, что двойственная двойственная решетка является исходной решеткой.

Более того, если мы позволим матрице B иметь столбцы в качестве линейно независимых векторов, описывающих решетку, тогда матрица $A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}$ имеет столбцы векторов, описывающих двойственную решетку.

См. также

• Зона Бриллюэна
• Кристаллография
• Двойной базис
• Сфера Эвальда
• Линия Кикучи
• Индекс Миллера
• Порошковая дифракция
• Ось зоны

Внешние ссылки

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html – симулятор дифракции электронов на основе Jmol позволяет исследовать пересечение обратной решетки и сферы Эвальда во время наклона.
• Пакет преподавания и обучения DoITPoMS по взаимному пространству и обратной решетке
• Легко изучите кристаллографию и то, как обратная решетка объясняет явление дифракции, как показано в главах 4 и 5.