Волновое число

Диаграмма, иллюстрирующая связь между волновым числом и другими свойствами гармонических волн.

В физических науках волновое число (или волновое число ), также известное как повторяемость , — это пространственная частота волны радианах , измеряемая в циклах на единицу расстояния ( обычное волновое число ) или на единицу расстояния ( угловое волновое число ). Это аналог временной частоты , которая определяется как количество волновых циклов в единицу времени ( обычная частота ) или радиан в единицу времени ( угловая частота ).

В многомерных системах волновое число представляет собой величину волнового вектора . Пространство волновых векторов называется обратным пространством . Волновые числа и волновые векторы играют важную роль в оптике и физике рассеяния волн , такой как дифракция рентгеновских лучей , дифракция нейтронов , дифракция электронов и физика элементарных частиц . Для квантово-механических волн волновое число, умноженное на приведенную постоянную Планка, является каноническим импульсом .

Волновое число можно использовать для указания величин, отличных от пространственной частоты. Например, в оптической спектроскопии его часто используют как единицу временной частоты, предполагая определенную скорость света .

Определение

Волновое число, используемое в спектроскопии и большинстве областей химии, определяется как количество длин волн на единицу расстояния, обычно в сантиметрах (см). ⁻¹ ):

${\tilde {\nu }}\;=\;{\frac {1}{\lambda }},$

где λ — длина волны. Его иногда называют «спектроскопическим волновым числом». Она равна пространственной частоте .

Например, волновое число в обратных сантиметрах можно преобразовать в частоту, выраженную в единицах гигагерц, умножив на 29,979 · 2458 см/нс ( скорость света в сантиметрах на наносекунду); и наоборот, электромагнитная волна на частоте 29,9792458 ГГц имеет длину волны 1 см в свободном пространстве.

В теоретической физике чаще используется волновое число, определяемое как количество радиан на единицу расстояния, иногда называемое «угловым волновым числом»:

$k\;=\;{\frac {2\pi }{\lambda }}$

Когда волновое число представлено символом ν , частота все равно отображается, хотя и косвенно. Как описано в разделе спектроскопии, это делается посредством соотношения ${\textstyle {\frac {\nu _{\text{s}}}{c}}\;=\;{\frac {1}{\lambda }}\;\equiv \;{\tilde {\nu }},}$где ν _s — частота, выраженная в единицах герц . Это сделано для удобства, поскольку частоты обычно очень велики.

Волновое число имеет размеры , обратные длине , поэтому его единица СИ является обратной величиной метров (м). ⁻¹ ). В спектроскопии волновые числа обычно выражают в единицах СГС (т. е. в обратных сантиметрах; см). ⁻¹ ); в этом контексте волновое число раньше называлось кайзером , в честь Генриха Кайзера (в некоторых старых научных работах использовалась эта единица, сокращенно K , где 1   K = 1   см). ⁻¹ ). Угловое волновое число может быть выражено в единицах радиан на метр (рад⋅м ⁻¹ ), или как указано выше, радиан безразмерен поскольку .

Для электромагнитного излучения в вакууме волновое число прямо пропорционально частоте и энергии фотонов . По этой причине волновые числа используются как удобная единица энергии в спектроскопии.

Сложный

Комплексное волновое число можно определить для среды с комплексной относительной диэлектрической проницаемостью . $\varepsilon _{r}$, относительная проницаемость $\mu _{r}$ и показатель преломления n как:

$k=k_{0}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}=k_{0}n$

где k ₀ - волновое число в свободном пространстве, как указано выше. Мнимая часть волнового числа выражает затухание на единицу расстояния и полезна при изучении экспоненциально затухающих затухающих полей .

Плоские волны в линейных средах

Коэффициент распространения синусоидальной плоской волны, распространяющейся в положительном направлении x в линейном материале, определяется выражением

$P=e^{-jkx}$

где

• $k=k'-jk''={\sqrt {-\left(\omega \mu ''+j\omega \mu '\right)\left(\sigma +\omega \varepsilon ''+j\omega \varepsilon '\right)}}\;$
• $k'=$ фазовая постоянная в радианах / метрах
• $k''=$ константа затухания в единицах неперс /метр
• $\omega =$ угловая частота
• $x=$ расстояние, пройденное в x направлении
• $\sigma =$ проводимость в Сименс /метр
• $\varepsilon =\varepsilon '-j\varepsilon ''=$ комплексная диэлектрическая проницаемость
• $\mu =\mu '-j\mu ''=$ комплексная проницаемость
• $j={\sqrt {-1}}$

Соглашение о знаках выбрано для обеспечения совместимости с распространением в средах с потерями. Если константа затухания положительна, то амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x.

Длина волны , фазовая скорость и глубина скин-слоя имеют простые отношения к компонентам волнового числа:

$\lambda ={\frac {2\pi }{k'}}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{k'}}\qquad \delta ={\frac {1}{k''}}$

В волновых уравнениях

Здесь мы предполагаем, что волна является регулярной в том смысле, что различные величины, описывающие волну, такие как длина волны, частота и, следовательно, волновое число, являются постоянными. См. волновой пакет для обсуждения случая, когда эти величины не являются постоянными.

В общем, угловое волновое число k (т.е. величина волнового вектора ) определяется выражением

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\mathrm {p} }}}={\frac {\omega }{v_{\mathrm {p} }}}$

где ν — частота волны, λ — длина волны, ω = 2 πν — угловая частота волны, а v _p — фазовая скорость волны. Зависимость волнового числа от частоты (или чаще частоты от волнового числа) известна как дисперсионное соотношение .

Для частного случая электромагнитной волны в вакууме, когда волна распространяется со скоростью света, k определяется выражением:

$k={\frac {E}{\hbar c}}={\frac {\omega }{c}}$

где E — энергия волны, ħ — приведенная постоянная Планка , а c — скорость света в вакууме.

Для частного случая волны материи , например электронной волны, в нерелятивистском приближении (в случае свободной частицы, то есть частица не имеет потенциальной энергии):

$k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$

Здесь p — импульс частицы, m — масса частицы, E — кинетическая энергия частицы, а ħ — приведенная постоянная Планка .

Волновое число также используется для определения групповой скорости .

В спектроскопии

В спектроскопии «волновое число». ${\tilde {\nu }}$ (в обратных сантиметрах , см ⁻¹ ) относится к временной частоте (в герцах), которая была разделена на скорость света в вакууме (обычно в сантиметрах в секунду, см⋅с). ⁻¹ ):

${\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}={\frac {\omega }{2\pi c}}.$

Историческая причина использования этого спектроскопического волнового числа, а не частоты, заключается в том, что это удобная единица измерения при изучении атомных спектров путем подсчета полос на см с помощью интерферометра : спектроскопическое волновое число является обратной величиной длины волны света в вакууме:

$\lambda _{\rm {vac}}={\frac {1}{\tilde {\nu }}},$

которое остается практически неизменным в воздухе, поэтому спектроскопическое волновое число напрямую связано с углами света, рассеянного на дифракционных решетках , и расстоянием между полосами в интерферометрах , когда эти инструменты работают в воздухе или вакууме. Такие волновые числа впервые были использованы в расчетах Йоханнеса Ридберга в 1880-х годах. Комбинационный принцип Ридберга -Ритца 1908 года также был сформулирован в терминах волновых чисел. Несколько лет спустя спектральные линии можно было понимать в квантовой теории как разницу между уровнями энергии, причем энергия пропорциональна волновому числу или частоте. Однако спектроскопические данные продолжали табулироваться в терминах спектроскопического волнового числа, а не частоты или энергии.

Например, спектроскопические волновые числа спектра излучения атомарного водорода даются формулой Ридберга :

${\tilde {\nu }}=R\left({\frac {1}{{n_{\text{f}}}^{2}}}-{\frac {1}{{n_{\text{i}}}^{2}}}\right),$

где R — постоянная Ридберга , а n _i и n _f — главные квантовые числа начального и конечного уровней соответственно ( ni _n больше, чем f _для излучения).

Спектроскопическое волновое число можно преобразовать в энергию на фотон E по соотношению Планка :

$E=hc{\tilde {\nu }}.$

Ее также можно преобразовать в длину волны света:

$\lambda ={\frac {1}{n{\tilde {\nu }}}},$

где n — преломления среды . показатель Обратите внимание, что длина волны света меняется при прохождении через разные среды, однако спектроскопическое волновое число (т. е. частота) остается постоянным.

Часто пространственные частоты выражаются некоторыми авторами «в волновых числах», неправильный перевод названия величины в единицу СГС см ⁻¹ сам.

См. также

• Угловая длина волны
• Пространственная частота
• Показатель преломления
• Зональное волновое число

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с волновым числом, на Викискладе?