Многомерная система

В теории математических систем многомерная система или мД-система — это система, в которой существует не только одна независимая переменная (например, время), но и несколько независимых переменных.

Важные проблемы, такие как факторизация и устойчивость m - D-систем ( m > 1), в последнее время привлекли интерес многих исследователей и практиков. Причина в том, что факторизация и устойчивость не являются прямым расширением факторизации и устойчивости одномерных систем, потому что, например, теорема алгебры не существует в кольце полиномов m -D ( m > 1) фундаментальная .

Приложения

Многомерные системы или системы m -D представляют собой необходимую математическую основу для современной цифровой обработки изображений , имеющей множество приложений в биомедицине , рентгеновских технологиях и спутниковой связи . Есть также некоторые исследования, сочетающие m системы -D с уравнениями в частных производных (PDE).

Линейная многомерная модель

Модель в пространстве состояний — это представление системы, в которой эффект всех «предшествующих» входных значений содержится в векторе состояния. В случае системы m -d каждое измерение имеет вектор состояния, который содержит эффект предыдущих входных данных относительно этого измерения. Совокупность всех таких размерных векторов состояния в точке составляет общий вектор состояния в этой точке.

Рассмотрим равномерную дискретно-пространственную линейную двумерную (2d) систему, пространственно-инвариантную и причинную. В матрично-векторном виде его можно представить следующим образом:

Представьте входной вектор в каждой точке $(i,j)$ к $u(i,j)$, выходной вектор по $y(i,j)$ горизонтальный вектор состояния $R(i,j)$ и вертикальный вектор состояния на $S(i,j)$. Тогда операция в каждой точке определяется следующим образом:

${\begin{aligned}R(i+1,j)&=A_{1}R(i,j)+A_{2}S(i,j)+B_{1}u(i,j)\\S(i,j+1)&=A_{3}R(i,j)+A_{4}S(i,j)+B_{2}u(i,j)\\y(i,j)&=C_{1}R(i,j)+C_{2}S(i,j)+Du(i,j)\end{aligned}}$

где $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ и $D$ являются матрицами соответствующих размерностей.

Эти уравнения можно записать более компактно, объединив матрицы:

${\begin{bmatrix}R(i+1,j)\\S(i,j+1)\\y(i,j)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&B_{1}\\A_{3}&A_{4}&B_{2}\\C_{1}&C_{2}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R(i,j)\\S(i,j)\\u(i,j)\end{bmatrix}}$

Данные входные векторы $u(i,j)$ в каждой точке и значениях начального состояния значение каждого выходного вектора можно вычислить, рекурсивно выполнив описанную выше операцию.

Многомерная передаточная функция

Дискретную линейную двумерную систему часто описывают уравнением в частных разностях вида: $\sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}y(i-p,j-q)=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}x(i-p,j-q)$

где $x(i,j)$ это вход и $y(i,j)$ это выход в точке $(i,j)$ и $a_{p,q}$ и $b_{p,q}$ являются постоянными коэффициентами.

Чтобы получить передаточную функцию системы, 2d Z к обеим частям приведенного выше уравнения применяется -преобразование.

$\sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})$

Транспонирование дает передаточную функцию $T(z_{1},z_{2})$:

$T(z_{1},z_{2})={Y(z_{1},z_{2}) \over X(z_{1},z_{2})}={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}$

Таким образом, при наличии любого шаблона входных значений вычисляется 2d Z -преобразование шаблона, а затем умножается на передаточную функцию. $T(z_{1},z_{2})$ для создания Z -преобразования выходных данных системы.

Реализация 2d передаточной функции

Часто обработка изображений или другая вычислительная задача md описывается передаточной функцией, которая имеет определенные свойства фильтрации, но желательно преобразовать ее в форму пространства состояний для более прямых вычислений. Такое преобразование называется реализацией передаточной функции.

Рассмотрим двумерную линейную пространственно-инвариантную причинную систему, имеющую отношения ввода-вывода, описываемые следующим образом:

$Y(z_{1},z_{2})={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}X(z_{1},z_{2})$

Отдельно рассматриваются два случая: 1) нижнее суммирование — это просто константа 1 2) верхнее суммирование — это просто константа $k$. Случай 1 часто называют случаем «всего нуля» или «конечной импульсной характеристикой», тогда как случай 2 называют случаем «всех полюсов» или «бесконечной импульсной характеристикой». Общая ситуация может быть реализована как каскад двух отдельных случаев. Решение для случая 1 значительно проще, чем для случая 2, и показано ниже.

Пример: полностью нулевая или конечная импульсная характеристика

$Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})$

Векторы пространства состояний будут иметь следующие размерности:

$R(1\times m),\quad S(1\times n),\quad x(1\times 1)$ и $y(1\times 1)$

Каждый член суммирования включает в себя отрицательную (или нулевую) степень $z_{1}$ и из $z_{2}$ которые соответствуют задержке (или сдвигу) по соответствующему измерению ввода $x(i,j)$. Эту задержку можно осуществить, поместив $1$вдоль супердиагонали в $A_{1}$. и $A_{4}$ матрицы и умножающие коэффициенты $b_{i,j}$ на правильных позициях в $A_{2}$. Значение $b_{0,0}$ находится в верхнем положении $B_{1}$ матрица, которая будет умножать входные данные $x(i,j)$ и добавьте его к первому компоненту $R_{i,j}$ вектор. Также значение $b_{0,0}$ помещается в $D$ матрица, которая будет умножать входные данные $x(i,j)$ и добавить его в вывод $y$.Матрицы тогда выглядят следующим образом:

$A_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

$A_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\end{bmatrix}}$

$A_{3}={\begin{bmatrix}b_{1,n}&b_{2,n}&b_{3,n}&\cdots &b_{m-1,n}&b_{m,n}\\b_{1,n-1}&b_{2,n-1}&b_{3,n-1}&\cdots &b_{m-1,n-1}&b_{m,n-1}\\b_{1,n-2}&b_{2,n-2}&b_{3,n-2}&\cdots &b_{m-1,n-2}&b_{m,n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{1,2}&b_{2,2}&b_{3,2}&\cdots &b_{m-1,2}&b_{m,2}\\b_{1,1}&b_{2,1}&b_{3,1}&\cdots &b_{m-1,1}&b_{m,1}\end{bmatrix}}$

$A_{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

$B_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{bmatrix}}$

$B_{2}={\begin{bmatrix}b_{0,n}\\b_{0,n-1}\\b_{0,n-2}\\\vdots \\b_{0,2}\\b_{0,1}\end{bmatrix}}$

$C_{1}={\begin{bmatrix}b_{1,0}&b_{2,0}&b_{3,0}&\cdots &b_{m-1,0}&b_{m,0}\\\end{bmatrix}}$

$C_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\\end{bmatrix}}$

$D={\begin{bmatrix}b_{0,0}\end{bmatrix}}$