Ковариантность и контравариантность векторов

Чтобы узнать об использовании «ковариации» в контексте специальной теории относительности, см. ковариацию Лоренца . Чтобы узнать о других значениях слов «ковариант» или «контравариант», см. Ковариантность и контравариантность (значения) .

А   вектор, v , представленный в терминах

касательная основа

  е ₁ , е ₂ , е ₃ в   координатные кривые ( слева ),

двойной базис, ковекторный базис или взаимный базис

  и ¹ , и ² , и ³ к   координатные поверхности ( справа ),

в 3-х общих криволинейных координатах ( q ¹ , q ² , q ³ ) — набор чисел, определяющий точку в пространстве позиций . Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис ортогонален .

В физике , особенно в полилинейной алгебре и тензорном анализе , ковариантность и контравариантность описывают, как количественное описание определенных геометрических или физических объектов меняется при смене базиса . Короче говоря, контравариантный вектор — это список чисел, который преобразуется противоположно изменению базиса, а ковариантный вектор — это список чисел, который преобразуется таким же образом. Контравариантные векторы часто называют просто векторами , а ковариантные векторы называют ковекторами или двойственными векторами . Термины «ковариант» и «контравариант» были введены Джеймсом Джозефом Сильвестром в 1851 году.

Криволинейные системы координат , такие как цилиндрические или сферические координаты , часто используются в физических и геометрических задачах. С любой системой координат связан естественный выбор координатной базы для векторов, базирующихся в каждой точке пространства, а ковариация и контравариантность особенно важны для понимания того, как меняется координатное описание вектора при переходе от одной системы координат к другой. Тензоры — это объекты полилинейной алгебры , которые могут иметь аспекты как ковариантности, так и контравариантности.

Введение

В физике вектор обычно возникает в результате измерения или серии измерений и представляется в виде списка (или кортежа ) чисел, например

$(v_{1},v_{2},v_{3}).$

Числа в списке зависят от выбора системы координат . Например, если вектор представляет положение относительно наблюдателя ( вектор положения ), то система координат может быть получена из системы жестких стержней или опорных осей, вдоль которых компоненты v ₁ , v ₂ и v ₃ расположены измерено. Чтобы вектор представлял геометрический объект, должна быть возможность описать, как он выглядит в любой другой системе координат. То есть компоненты векторов будут трансформироваться определенным образом при переходе из одной системы координат в другую.

Простой показательный случай — это евклидов вектор . Для вектора, как только набор базисных векторов определен, компоненты этого вектора всегда будут различаться в противоположном направлении от компонентов базисных векторов. Поэтому этот вектор определяется как контравариантный тензор. Возьмем, к примеру, стандартный вектор положения. Изменив масштаб опорных осей с метров на сантиметры (то есть разделив масштаб опорных осей на 100, так что базисные векторы теперь будут $.01$ метров в длину) компоненты измеренного положения вектора умножаются обратно на 100. Компоненты вектора меняют масштаб пропорционально изменению масштаба относительно опорных осей, и, следовательно, вектор называется контравариантным тензором.

Вектор тензора, имеет компоненты, которые преобразуются обратно по отношению , который является примером контравариантного к преобразованию опорных осей (примеры преобразований включают вращение и расширение ). Сам вектор при этих операциях не изменяется ; вместо этого компоненты вектора изменяются таким образом, что компенсируется изменение пространственных осей. Другими словами, если бы опорные оси были повернуты в одном направлении, представление компонента вектора вращалось бы совершенно противоположным образом. Аналогично, если бы опорные оси были растянуты в одном направлении, компоненты вектора уменьшились бы точно компенсирующим образом. Математически, если система координат претерпевает преобразование, описываемое $n\times n$ обратимая матрица M , так что базисные векторы преобразуются в соответствии с ${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M$, то компоненты вектора v в исходном базисе ( $v^{i}$ ) необходимо аналогичным образом преобразовать через ${\begin{bmatrix}v^{1}{^{\prime }}\\v^{2}{^{\prime }}\\...\\v^{n}{^{\prime }}\end{bmatrix}}=M^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\...\\v^{n}\end{bmatrix}}$. Компоненты вектора часто представляются в виде столбца.

Напротив, ковектор имеет компоненты, которые преобразуются подобно опорным осям. Он живет в двойственном векторном пространстве и представляет собой линейную карту векторов в скаляры. Оператор скалярного произведения векторов является хорошим примером ковектора. Для иллюстрации предположим, что у нас есть ковектор, определенный как $\mathbf {v} \ \cdot$ , где $\mathbf {v}$ является вектором. Компоненты этого ковектора в произвольном базисе имеют вид ${\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}$, с ${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}$ являются базисными векторами в соответствующем векторном пространстве. (Это можно получить, заметив, что мы хотим получить правильный ответ для операции скалярного произведения при умножении на произвольный вектор $\mathbf {w}$ , с компонентами ${\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\\...\\w^{n}\end{bmatrix}}$). Ковариацию этих компонентов ковектора затем можно увидеть, заметив, что если преобразование, описываемое $n\times n$ обратимая матрица M должна была быть применена к базисным векторам в соответствующем векторном пространстве, ${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M$, то компоненты ковектора $\mathbf {v} \ \cdot$ преобразуется с той же матрицей $M$, а именно, ${\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}^{\prime }&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}^{\prime }&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M$. Компоненты ковектора часто изображают расположенными в ряд.

Третья концепция, связанная с ковариантностью и контравариантностью, — это инвариантность . Скаляр (также называемый тензором типа 0 или тензором ранга 0) — это объект, который не меняется при изменении базиса. Примером физической наблюдаемой , которая является скаляром, является масса частицы. Единственное скалярное значение массы не зависит от изменений базисных векторов и, следовательно, называется инвариантом . Величина вектора (например, расстояние ) является еще одним примером инварианта, поскольку она остается неизменной, даже если компоненты геометрического вектора изменяются. (Например, для вектора положения длиной $3$ метров, если все декартовы базисные векторы изменены с $1$ метров в длину до $.01$ метров в длину, длина вектора положения остается неизменной при $3$ метров, хотя все компоненты вектора увеличатся в раз. $100$). Скалярное произведение вектора и ковектора инвариантно, поскольку у одного есть компоненты, которые меняются с изменением базы, а у другого — компоненты, которые изменяются противоположно, и оба эффекта компенсируются. Таким образом, говорят, что ковекторы двойственны векторам.

Итак, подведем итог:

• Вектор или касательный вектор имеет компоненты, которые изменяются при изменении базиса для компенсации. То есть матрица, преобразующая компоненты вектора, должна быть обратной матрице, преобразующей базисные векторы. Компоненты векторов (в отличие от компонентов ковекторов) называются контравариантными . В обозначениях Эйнштейна (неявное суммирование по повторяющемуся индексу) контравариантные компоненты обозначаются верхними индексами, как в

  $\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}$

• Ковектор или котангенс вектор имеет компоненты, которые изменяются совместно с изменением базиса в соответствующем (начальном) векторном пространстве. То есть компоненты должны быть преобразованы той же матрицей, что и замена базисной матрицы в соответствующем (исходном) векторном пространстве. Компоненты ковекторов (в отличие от компонентов векторов) называются ковариантными . В обозначениях Эйнштейна ковариантные компоненты обозначаются нижними индексами , как в

  $\mathbf {w} =w_{i}\mathbf {e} ^{i}.$

• Скалярное произведение вектора и ковектора есть скаляр $v^{i}w_{i}$, что является инвариантом. Это двойственное спаривание векторов и ковекторов.

Определение

Ковариантные и контравариантные компоненты вектора, когда базис неортогонален.

Общая формулировка ковариации и контравариации относится к тому, как компоненты координатного вектора преобразуются при изменении базиса ( пассивное преобразование ). Таким образом, пусть V — векторное пространство размерности n над полем скаляров ′ S , и пусть каждый из f = ( X ₁ , ..., X _n ) и f = ( Y ₁ , ..., Y _n ) будет основе ​ ​ В. ​ Кроме того, пусть замена базиса с f на f ′ задается формулой

$\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '={\biggl (}\sum _{i}a_{1}^{i}X_{i},\dots ,\sum _{i}a_{n}^{i}X_{i}{\biggr )}=\mathbf {f} A$ ( 1 )

для некоторой обратимой размера n × n матрицы A с элементами $a_{j}^{i}$.Здесь каждый вектор Y _j базиса f ′ представляет собой линейную комбинацию векторов X _i базиса f , так что

$Y_{j}=\sum _{i}a_{j}^{i}X_{i}.$

Контравариантное преобразование

Основная статья: Контравариантное преобразование

Вектор $v$ в V однозначно выражается как линейная комбинация элементов $X_{i}$ базиса f как

$v=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i},$ ( 2 )

где v ^я [ f — элементы поля S, известные как компоненты v ] в базисе f . Обозначим вектор-столбец компонентов v через v [ f ]:

$\mathbf {v} [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}$

так что ( 2 ) можно переписать как матричное произведение

$v=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].$

Вектор v также может быть выражен через базис f , так что

$v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].$

Однако, поскольку сам вектор v инвариантен относительно выбора базиса,

$\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].$

Инвариантность v в сочетании с соотношением ( 1 ) между f и f ′ означает, что

$\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=\mathbf {f} A\,\mathbf {v} [\mathbf {f} A],$

давая правило преобразования

$\mathbf {v} [\mathbf {f'} ]=\mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ].$

Что касается компонентов,

$v^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[\mathbf {f} ]$

где коэффициенты ${\tilde {a}}_{j}^{i}$ элементами обратной матрицы A . являются

Поскольку компоненты вектора v преобразуются вместе с обратной матрицей A , говорят, что эти компоненты преобразуются контравариантно при изменении базиса.

То, как A связывает две пары, показано стрелкой на следующей неформальной диаграмме. Разворот стрелки указывает на контрвариантное изменение:

${\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\v[\mathbf {f} ]&\longleftarrow v[\mathbf {f'} ]\end{aligned}}$

Ковариантное преобразование

Основная статья: Ковариантное преобразование

Линейный функционал α на V однозначно выражается через свои компоненты (элементы из S ) в базисе f как

$\alpha (X_{i})=\alpha _{i}[\mathbf {f} ],\quad i=1,2,\dots ,n.$

Эти компоненты представляют собой действие α на базисные векторы X _i базиса f .

При смене базиса с f на f ′ (через 1 ) компоненты преобразуются так, что

${\begin{aligned}\alpha _{i}[\mathbf {f} A]&=\alpha (Y_{i})\\&=\alpha {\biggl (}\sum _{j}a_{i}^{j}X_{j}{\biggr )}\\&=\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha (X_{j})\\&=\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha _{j}[\mathbf {f} ].\end{aligned}}$ ( 3 )

Обозначим вектор-строку компонентов α через α [ f ]:

$\mathbf {\alpha } [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\alpha _{1}[\mathbf {f} ],\alpha _{2}[\mathbf {f} ],\dots ,\alpha _{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}$

так что ( 3 ) можно переписать как матричное произведение

$\alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A.$

Поскольку компоненты линейного функционала α преобразуются вместе с матрицей A , говорят, что эти компоненты преобразуются ковариантно при изменении базиса.

То, как A связывает две пары, показано стрелкой на следующей неформальной диаграмме. Указана ковариантная связь, поскольку стрелки идут в одном направлении:

${\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\\alpha [\mathbf {f} ]&\longrightarrow \alpha [\mathbf {f'} ]\end{aligned}}$

Если бы вместо этого использовалось представление вектора-столбца, закон преобразования был бы транспонированием .

$\alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} A]=A^{\mathrm {T} }\alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} ].$

Выбор базиса f в векторном пространстве V однозначно определяет набор координатных функций на V с помощью

$x^{i}[\mathbf {f} ](v)=v^{i}[\mathbf {f} ].$

Таким образом, координаты на V контравариантны в том смысле, что

$x^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{k=1}^{n}{\tilde {a}}_{k}^{i}x^{k}[\mathbf {f} ].$

И наоборот, система из n величин v ^я которые преобразуются как координаты x ^я на V определяет контравариантный вектор (или просто вектор). Тогда система из n величин, преобразующихся противоположно координатам, представляет собой ковариантный вектор (или ковектор).

Эта формулировка контравариантности и ковариантности часто более естественна в приложениях, в которых существует координатное пространство (многообразие ) , на котором векторы существуют как касательные векторы или котангенсные векторы . Учитывая локальную систему координат x ^я на многообразии опорными осями системы координат являются векторные поля

$X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}.$

Это приводит к появлению кадра f = ( X ₁ , ..., X _n ) в каждой точке координатного пятна.

Если да ^я это другая система координат и

$Y_{1}={\frac {\partial }{\partial y^{1}}},\dots ,Y_{n}={\frac {\partial }{\partial y^{n}}},$

тогда кадр f' связан с кадром f обратной матрицей Якобиана координатного перехода:

$\mathbf {f} '=\mathbf {f} J^{-1},\quad J=\left({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)_{i,j=1}^{n}.$

Или, в индексах,

${\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.$

Касательный вектор по определению представляет собой вектор, который представляет собой линейную комбинацию частичных координат. $\partial /\partial x^{i}$. Таким образом, касательный вектор определяется формулой

$v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f} ].$

Такой вектор контравариантен относительно смены системы отсчета. При изменении системы координат

$\mathbf {v} \left[\mathbf {f} '\right]=\mathbf {v} \left[\mathbf {f} J^{-1}\right]=J\,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].$

Следовательно, компоненты касательного вектора преобразуются через

$v^{i}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ].$

Соответственно, система из n величин v ^я в зависимости от координат, которые преобразуются таким образом при переходе из одной системы координат в другую, называется контравариантным вектором.

Ковариантная и контравариантная компоненты вектора с метрикой

Контравариантные компоненты   вектора   получаются проецированием на оси координат. Ковариантные компоненты   получаются проецированием на нормали к координатным гиперплоскостям.

В конечномерном векторном пространстве V над полем K с симметричной билинейной формой g : V × V → K (которую можно назвать метрическим тензором ) существует небольшое различие между ковариантными и контравариантными векторами, поскольку билинейная форма позволяет идентифицировать ковекторы с векторами. То есть вектор v однозначно определяет ковектор α через

$\alpha (w)=g(v,w)$

для всех векторов w . И наоборот, каждый ковектор α определяет уникальный вектор v по этому уравнению. Из-за такого отождествления векторов с ковекторами можно говорить о ковариантных компонентах или контравариантных компонентах вектора, то есть они являются просто представлениями одного и того же вектора с использованием взаимного базиса .

Учитывая базис f = ( X ₁ ..., X _n ) V , , существует единственный взаимный базис f ^# = ( И ¹ , ..., И ^н ) V чтобы определяется требованием,

$g(Y^{i},X_{j})=\delta _{j}^{i},$

Кронекера дельта . В терминах этих базисов любой вектор v можно записать двумя способами:

${\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]\\&=\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f} ]Y^{i}=\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].\end{aligned}}$

Компоненты v ^я [ f ] — контравариантные компоненты вектора v в базисе f а компоненты vi _{вектора} [ f ] — ковариантные компоненты v , в базисе f . Терминология оправдана, поскольку при изменении базиса

$\mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ],\quad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]=A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].$

Евклидова плоскость

В евклидовой плоскости скалярное произведение позволяет идентифицировать векторы с ковекторами. Если $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ является базисом, то двойственный базис $\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}$ удовлетворяет

${\begin{aligned}\mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=1,&\quad \mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=0\\\mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{1}=0,&\quad \mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=1.\end{aligned}}$

Таким образом, е ¹ и e ₂ перпендикулярны друг другу, как и e ² и e ₁ , а длины e ¹ и е ² нормализовано по e ₁ и e ₂ соответственно.

Пример

Например, предположим, что нам дан базис e1 _e1 , e2 _, состоящий из пары векторов, образующих угол 45° друг с другом, такой, что длину _имеет 2, а имеет _e2 длину 1. Тогда двойственные базисные векторы задаются следующим образом :

• и ² является результатом поворота e ₁ на угол 90° (где смысл измеряется путем предположения, что пара e ₁ , e ₂ положительно ориентирована), а затем изменения масштаба так, что e ² ⋅ e ₂ = 1 .
• и ¹ является результатом поворота e ₂ на угол 90° и последующего изменения масштаба так, чтобы e ¹ ⋅ e ₁ = 1 .

Применяя эти правила, находим

$\mathbf {e} ^{1}={\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{1}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{2}$

и

$\mathbf {e} ^{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}.$

Таким образом, изменение базисной матрицы при переходе от исходного базиса к взаимному базису равно

$R={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}},$

с

$[\mathbf {e} ^{1}\ \mathbf {e} ^{2}]=[\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}]{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}}.$

Например, вектор

$v={\frac {3}{2}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}$

вектор с контравариантными компонентами

$v^{1}={\frac {3}{2}},\quad v^{2}=2.$

Ковариантные компоненты получаются путем приравнивания двух выражений для вектора v :

$v=v_{1}\mathbf {e} ^{1}+v_{2}\mathbf {e} ^{2}=v^{1}\mathbf {e} _{1}+v^{2}\mathbf {e} _{2}$

так

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}&=R^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}4&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}6+2{\sqrt {2}}\\2+{\frac {3}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}.$

Трехмерное евклидово пространство

В трехмерном евклидовом пространстве можно также явно определить двойственный базис к заданному набору базисных векторов e ₁ , e ₂ , e ₃ из E ₃ , которые не обязательно считаются ортогональными или имеют единичную норму. Двойные базисные векторы:

$\mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})}};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})}};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}}.$

Даже когда e _i и e ^я не ортонормированы , они по-прежнему взаимно обратны:

$\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i},$

любого вектора v могут быть получены скалярным произведением v Тогда контравариантные компоненты с двойственными базисными векторами:

$q^{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad q^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad q^{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{3}.$

Аналогично, ковариантные компоненты v могут быть получены из скалярного произведения v с базисными векторами, а именно.

$q_{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad q_{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad q_{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{3}.$

Тогда v можно выразить двумя (взаимными) способами, а именно.

$\mathbf {v} =q^{i}\mathbf {e} _{i}=q^{1}\mathbf {e} _{1}+q^{2}\mathbf {e} _{2}+q^{3}\mathbf {e} _{3}.$

или

$\mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q_{1}\mathbf {e} ^{1}+q_{2}\mathbf {e} ^{2}+q_{3}\mathbf {e} ^{3}$

Объединив приведенные выше соотношения, имеем

$\mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}$

и мы можем конвертировать между базисом и двойным базисом с помощью

$q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})q^{j}$

и

$q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})q_{j}.$

Если базисные векторы ортонормированы , то они такие же, как и двойственные базисные векторы.

Общие евклидовы пространства

В более общем смысле, в n -мерном евклидовом пространстве V , если базис

$\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},$

обратная основа определяется выражением (двойные индексы суммируются),

$\mathbf {e} ^{i}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}$

где коэффициенты g ^ij являются элементами обратной матрицы

$g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.$

Действительно, тогда мы имеем

$\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.$

Ковариантные и контравариантные компоненты любого вектора

$\mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q^{i}\mathbf {e} _{i}\,$

связаны, как указано выше, соотношением

$q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=q^{j}g_{ji}$

и

$q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=q_{j}g^{ji}.$

Неофициальное использование

области физики прилагательное В ковариант часто неофициально используется как синоним инварианта. Например, уравнение Шредингера не сохраняет свою записанную форму при преобразованиях координат специальной теории относительности . Таким образом, физик мог бы сказать, что уравнение Шредингера не является ковариантным . Напротив, уравнение Клейна-Гордона и уравнение Дирака сохраняют свою письменную форму при этих преобразованиях координат. Таким образом, физик мог бы сказать, что эти уравнения ковариантны .

Несмотря на такое использование слова «ковариант», точнее сказать, что уравнения Клейна – Гордона и Дирака инвариантны, а уравнение Шредингера не инвариантно. Дополнительно, чтобы устранить неоднозначность, следует указать преобразование, с помощью которого оценивается инвариантность.

Поскольку компоненты векторов контравариантны, а компоненты ковекторов ковариантны, сами векторы часто называют контравариантными, а ковекторы - ковариантными.

в

Различие между ковариацией и контравариацией особенно важно для вычислений с тензорами , которые часто имеют смешанную дисперсию . Это означает, что они имеют как ковариантные, так и контравариантные компоненты или как векторные, так и ковекторные компоненты. Валентность тензора — это количество вариантных и ковариантных членов, а в обозначениях Эйнштейна ковариантные компоненты имеют нижние индексы, а контравариантные компоненты — верхние индексы. Двойственность между ковариантностью и контравариантностью возникает всякий раз, когда векторная или тензорная величина представлена ​​своими компонентами, хотя современная дифференциальная геометрия использует более сложные безиндексные методы для представления тензоров .

В тензорном анализе вектор ковариантный изменяется более или менее обратно пропорционально соответствующему контравариантному вектору. Выражения для длин, площадей и объемов объектов в векторном пространстве затем могут быть заданы через тензоры с ковариантными и контравариантными индексами. При простом расширении и сжатии координат взаимность точная; при аффинных преобразованиях компоненты вектора смешиваются при переходе от ковариантного к контравариантному выражению.

На многообразии тензорное поле обычно имеет несколько верхних и нижних индексов, где широко используется обозначение Эйнштейна. Когда многообразие снабжено метрикой , ковариантные и контравариантные индексы становятся очень тесно связанными друг с другом. Контравариантные индексы можно превратить в ковариантные индексы путем сжатия метрического тензора. Обратное возможно путем сжатия (матрицы), обратной метрическому тензору. Заметим, что вообще такого отношения не существует в пространствах, не наделенных метрическим тензором. Более того, с более абстрактной точки зрения, тензор просто «здесь», а его компоненты любого типа являются лишь вычислительными артефактами, значения которых зависят от выбранных координат.

Объяснение с геометрической точки зрения состоит в том, что общий тензор будет иметь контравариантные индексы, а также ковариантные индексы, поскольку у него есть части, которые находятся как в касательном, так и в кокасательном расслоении .

Контравариантный вектор — это вектор, который преобразуется как ${\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}$, где $x^{\mu }\!$ - координаты частицы в ее собственное время $\tau$. Ковариантный вектор — это вектор, который преобразуется как ${\frac {\partial \varphi }{\partial x^{\mu }}}$, где $\varphi$ является скалярным полем.

Алгебра и геометрия

В теории категорий существуют ковариантные функторы и контравариантные функторы . Соответствие двойственного пространства векторному пространству является стандартным примером контравариантного функтора. Контравариантные (соответственно ковариантные) векторы — это контравариантные (соответственно ковариантные) функторы из ${\text{GL}}(n)$- торсор к фундаментальному представлению ${\text{GL}}(n)$. Аналогично, тензоры более высокой степени являются функторами со значениями в других представлениях ${\text{GL}}(n)$. Однако некоторые конструкции полилинейной алгебры имеют «смешанную» дисперсию, что не позволяет им быть функторами.

В дифференциальной геометрии компоненты вектора относительно базиса касательного расслоения являются ковариантными, если они изменяются с помощью того же линейного преобразования, что и изменение базиса. Они контравариантны, если изменяются в результате обратного преобразования. Иногда это становится источником путаницы по двум различным, но связанным между собой причинам. Во-первых, векторы, компоненты которых являются ковариантными (называемые ковекторами или 1-формами ), на самом деле возвращаются назад под действием гладких функций, а это означает, что операция, присваивающая пространство ковекторов гладкому многообразию, на самом деле является контравариантным функтором. Аналогично, векторы, компоненты которых являются контравариантными, продвигаются вперед при гладких отображениях, поэтому операция присвоения пространства (контравариантных) векторов гладкому многообразию является ковариантным функтором. Во-вторых, в классическом подходе к дифференциальной геометрии наиболее примитивным объектом являются не базы касательного расслоения, а изменения в системе координат. Векторы с контравариантными компонентами преобразуются так же, как и изменения координат (поскольку они фактически изменяются противоположно индуцированному изменению базиса). Аналогично, векторы с ковариантными компонентами трансформируются противоположным образом по мере изменения координат.

См. также

• Активная и пассивная трансформация
• Смешанный тензор
• Двухточечный тензор — обобщение, позволяющее индексам ссылаться на несколько векторных баз.

Ссылки

• Куссе, Брюс Р.; Вествиг, Эрик А. (2010), Математическая физика: прикладная математика для ученых и инженеров (2-е изд.), Wiley, ISBN  978-3-527-61814-9 .
• Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ганс Дж. (2005), Математические методы для физиков (6-е изд.), Harcourt, ISBN  0-12-059876-0 .
• Додсон, CTJ; Постон, Т. (1991), Тензорная геометрия , Тексты для аспирантов по математике, том. 130 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3-540-52018-4 , МР   1223091 .
• Греуб, Вернер Хильдберт (1967), Полилинейная алгебра , Основы математических наук, том 136, Springer, ISBN  9780387038278 , МР   0224623 .
• Штернберг, Шломо (1983), Лекции по дифференциальной геометрии , Челси, ISBN  978-0-8284-0316-0 .
• Сильвестр, Дж. Дж. (1853), «О теории сизигетических отношений двух рациональных интегральных функций, включающая приложение к теории функций Штурма и теории наибольшей алгебраической общей меры» , «Философские труды Лондонского королевского общества », 143 : 407–548, номер документа : 10.1098/rstl.1853.0018 , JSTOR   108572 .
• Вайнрайх, Габриэль (1998), Геометрические векторы , Чикагские лекции по физике, Издательство Чикагского университета, стр. 126, ISBN  9780226890487

Внешние ссылки

• «Ковариантный тензор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Контравариантный тензор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Ковариантный тензор» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Контравариантный тензор» . Математический мир .
• Инвариантность, контравариантность и ковариантность
• Даллемонд, Кес; Петерс, Каспер (2010). «Введение в тензорное исчисление» (PDF) .