Тензор неметричности

В математике тензор неметричности в дифференциальной геометрии является ковариантной производной метрического тензора . это тензорное поле третьего порядка Следовательно , . В случае римановой геометрии оно исчезает и может бытьиспользуется для изучения неримановых пространств-временей.

Определение

По компонентам он определяется следующим образом.

$Q_{\mu \alpha \beta }=\nabla _{\mu }g_{\alpha \beta }$

Он измеряет скорость изменения компонент метрического тензора вдоль потока заданного векторного поля, поскольку

$\nabla _{\mu }\equiv \nabla _{\partial _{\mu }}$

где $\{\partial _{\mu }\}_{\mu =0,1,2,3}$ — координатный базис векторных полей касательного расслоения в случае наличия 4-мерного многообразия .

Отношение к соединению

Мы говорим, что связь $\Gamma$ совместим с метрикой, когда связанная с ней ковариантная производная метрического тензора (назовем ее $\nabla ^{\Gamma }$, например) равно нулю, т.е.

$\nabla _{\mu }^{\Gamma }g_{\alpha \beta }=0.$

Если связность также не имеет кручения (т. е. полностью симметрична), то она известна как связность Леви-Чивита , которая является единственной связностью без кручения и совместимой с метрическим тензором. Если мы посмотрим на это с геометрической точки зрения, ненулевой тензор неметричности для метрического тензора $g$ следует, что модуль вектора, определенного на касательном расслоении к некоторой точке $p$ многообразия изменяется , когда оно оценивается вдоль направления (потока) другого произвольного вектора.

Внешние ссылки

• Иосифидис, Дамианос; Петку, Анастасиос К.; Цагас, Христос Г. (май 2019 г.). «Двойственность кручения/неметричности в гравитации f(R)» . Общая теория относительности и гравитация . 51 (5): 66. arXiv : 1810.06602 . Бибкод : 2019GReGr..51...66I . дои : 10.1007/s10714-019-2539-9 . ISSN   0001-7701 . S2CID   53554290 .