Звездный оператор Ходжа

В математике или оператор звезды Ходжа звезда Ходжа — это линейное отображение , определенное на внешней алгебре конечномерного ориентированного , векторного пространства наделенного невырожденной симметричной билинейной формой . Применение оператора к элементу алгебры дает двойственный элемент Ходжу. Эта карта была представлена ​​WVD Hodge .

Например, в ориентированном трехмерном евклидовом пространстве ориентированная плоскость может быть представлена ​​внешним произведением двух базисных векторов, а ее двойственный вектор Ходжа - это нормальный вектор, заданный их векторным произведением ; и наоборот, любой вектор двойственен перпендикулярной ему ориентированной плоскости, наделенной подходящим бивектором. Обобщая это на n -мерное векторное пространство, звезда Ходжа представляет собой взаимно однозначное отображение k -векторов в ( n – k ) -векторы; размерности этих пространств представляют собой биномиальные коэффициенты ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{n-k}}$.

Естественность и, следовательно , звездного оператора означает, что он может играть роль в дифференциальной геометрии, когда применяется к кокасательному расслоению псевдориманова многообразия к дифференциальным k -формам . Это позволяет определить кодифференциал как Ходж, сопряженный к внешней производной , что приводит к оператору Лапласа – де Рама . Это обобщает случай трехмерного евклидова пространства, в котором дивергенция векторного поля может быть реализована как кодифференциал, противоположный оператору градиента , а оператор Лапласа на функции - это дивергенция ее градиента. Важным применением является разложение Ходжа дифференциальных форм на замкнутом римановом многообразии.

Формальное определение k -векторов

Пусть V — n -мерное ориентированное векторное пространство с невырожденной симметричной билинейной формой $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, называемый здесь внутренним продуктом. (В более общих контекстах, таких как псевдоримановы многообразия и пространство Минковского , билинейная форма может не быть положительной.) Это индуцирует скалярное произведение на k -векторах. ${\textstyle \alpha ,\beta \in \bigwedge ^{\!k}V}$, для $0\leq k\leq n$, определив его на разложимых k -векторах $\alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}$ и $\beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}$ равняться определителю Грама

$\langle \alpha ,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle _{i,j=1}^{k}\right)$

расширен до ${\textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$ через линейность.

Единичный n -вектор $\omega \in {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V$ определяется в терминах ориентированного ортонормированного базиса $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ V как :

$\omega :=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}.$

(Примечание: в общем псевдоримановом случае ортонормальность означает $\langle e_{i},e_{j}\rangle \in \{\delta _{ij},-\delta _{ij}\}$для всех пар базисных векторов.) Звездный оператор Ходжа — это линейный оператор на внешней алгебре V – , отображающий k -векторы в ( n для k )-векторы, $0\leq k\leq n$. Он имеет следующее свойство, которое полностью его определяет:

$\alpha \wedge ({\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \,\omega$ для всех k -векторов $\alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.$

Двойственно, в пространстве ${\textstyle \bigwedge }^{\!n}V^{*}$n -форм (чередующихся n -полилинейных функций на $V^{n}$), двойственный к $\omega$ это форма объема $\det$, функция, значение которой на $v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}$ является определяющим фактором $n\times n$ матрица, собранная из векторов-столбцов $v_{j}$ в $e_{i}$-координаты. Применение $\det$ к приведенному выше уравнению мы получаем двойственное определение:

$\det(\alpha \wedge {\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle$ для всех k -векторов $\alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.$

Эквивалентно, взяв $\alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}$, $\beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}$, и $\star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }$:

$\det \left(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).$

Это означает, что, записав ортонормированный базис из k -векторов в виде $e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}$ по всем подмножествам $I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}$ из $[n]=\{1,\ldots ,n\}$двойственный Ходжу — это ( n – k )-вектор, соответствующий дополнительному множеству ${\bar {I}}=[n]\setminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{n-k}\right\}$:

${\star }e_{I}=s\cdot t\cdot e_{\bar {I}},$

где $s\in \{1,-1\}$ это знак перестановки $i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}$ и $t\in \{1,-1\}$ это продукт $\langle e_{i_{1}},e_{i_{1}}\rangle \cdots \langle e_{i_{k}},e_{i_{k}}\rangle$. В римановом случае $t=1$.

Поскольку звезда Ходжа переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, это изометрия внешней алгебры. ${\textstyle \bigwedge V}$.

Геометрическое объяснение

Звезда Ходжа мотивирована соответствием между подпространством W в V и его ортогональным подпространством (относительно скалярного произведения), где каждое пространство наделено ориентацией и числовым масштабным коэффициентом. В частности, ненулевой разложимый k -вектор $w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V$ соответствует вложению Плюкера подпространству $W$ с ориентированным базисом $w_{1},\ldots ,w_{k}$, наделенный масштабным коэффициентом, равным k -мерному объему параллелепипеда, натянутого на этот базис (равный Грамиану , определителю матрицы скалярных произведений $\langle w_{i},w_{j}\rangle$). Звезду Ходжа, действующую на разложимый вектор, можно записать как разложимый ( n − k )-вектор:

$\star (w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{n-k},$

где $u_{1},\ldots ,u_{n-k}$ образуют ориентированный базис ортогонального пространства $U=W^{\perp }\!$. Кроме того, ( n − k )-объем $u_{i}$-параллелепипед должен равняться k -объему $w_{i}$-параллелепипед и $w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n-k}$ должны сформировать ориентированную основу $V$.

Общий k -вектор представляет собой линейную комбинацию разложимых k -векторов, а определение звезды Ходжа распространяется на общие k -векторы, определяя ее как линейную.

Примеры

Два измерения

В двух измерениях с нормализованной евклидовой метрикой и ориентацией, заданной порядком ( x , y ) , звезда Ходжа на k -формах определяется выражением

$${\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}$$

На комплексной плоскости, рассматриваемой как вещественное векторное пространство со стандартной полуторалинейной формой в качестве метрики, звезда Ходжа обладает замечательным свойством: она инвариантна относительно голоморфных изменений координат. Если z = x + iy — голоморфная функция от w = u + iv , то по уравнениям Коши–Римана имеем, что ∂ x / ∂ u = ∂y ​ / ∂v и ​ ∂ y / ∂ u = − ∂ Икс / ∂ v . В новых координатах

$$\alpha \ =\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)\,dv\ =\ p_{1}\,du+q_{1}\,dv,$$

так что

$${\begin{aligned}{\star }\alpha &=-q_{1}\,du+p_{1}\,dv\\[4pt]&=-\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)dv\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial y}{\partial v}}du-{\frac {\partial y}{\partial u}}dv\right)+p\left(-{\frac {\partial x}{\partial v}}du+{\frac {\partial x}{\partial u}}dv\right)\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)+p\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)\\[4pt]&=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}$$

доказывая заявленную инвариантность.

Три измерения

Типичным примером оператора звезды Ходжа является случай n = 3 , когда его можно рассматривать как соответствие между векторами и бивекторами. В частности, для евклидова R ³ с основой $dx,dy,dz$ одноформ , часто используемых в векторном исчислении , можно обнаружить, что

$${\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}$$

Звезда Ходжа связывает внешний вид и перекрестное произведение в трех измерениях:

$${\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .$$

Применительно к трем измерениям звезда Ходжа обеспечивает изоморфизм между осевыми векторами и бивекторами , поэтому каждый осевой вектор a связан с бивектором A и наоборот, то есть: $\mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A}$.

Звезду Ходжа также можно интерпретировать как форму геометрического соответствия между осью вращения и бесконечно малым вращением (см. также: группа трехмерного вращения#Алгебра Ли ) вокруг оси со скоростью, равной длине оси вращения. Внутренний продукт в векторном пространстве $V$ дает изоморфизм $V\cong V^{*}\!$ выявление $V$ с его двойственным пространством и векторным пространством $L(V,V)$ естественно изоморфно тензорному произведению $V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V$. Таким образом, для $V=\mathbb {R} ^{3}$, звездное картографирование ${\textstyle \textstyle \star \colon V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}$ принимает каждый вектор $\mathbf {v}$ к бивектору $\star \mathbf {v} \in V\otimes V$, что соответствует линейному оператору $L_{\mathbf {v} }\colon V\to V$. Конкретно, $L_{\mathbf {v} }$ является кососимметричным оператором, который соответствует бесконечно малому вращению: то есть макроскопическим вращениям вокруг оси $\mathbb {v}$ задаются матричной экспонентой $\exp(tL_{\mathbf {v} })$. Что касается основы $dx,dy,dz$ из $\mathbb {R} ^{3}$, тензор $dx\otimes dy$ соответствует координатной матрице с 1 в $dx$ ряд и $dy$ колонна и т. д., а клин $dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx$ — кососимметричная матрица $\scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]$и т. д. То есть мы можем интерпретировать звездный оператор как:

$$\mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].$$

При этом соответствии векторное произведение векторов соответствует коммутаторной скобке Ли линейных операторов: $L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }-L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }=-\left[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }\right]$.

Четыре измерения

В случае $n=4$, звезда Ходжа действует как эндоморфизм второй внешней степени (т.е. отображает 2-формы в 2-формы, поскольку 4 − 2 = 2 ). Если сигнатура метрического тензора вся положительна, т. е. на римановом многообразии , то звезда Ходжа является инволюцией . Если сигнатура смешанная, т. е. псевдориманова , то двукратное применение оператора вернет аргумент до знака – см. § Двойственность ниже. Это особое свойство эндоморфизма 2-форм в четырех измерениях делает самодвойственные и антиавтодуальные две формы естественными геометрическими объектами для изучения. То есть можно описать пространство 2-форм в четырех измерениях с базисом, «диагонализующим» звездный оператор Ходжа с собственными значениями $\pm 1$ (или $\pm i$, в зависимости от подписи).

Для конкретики мы обсудим звездный оператор Ходжа в пространстве-времени Минковского, где $n=4$ с метрической сигнатурой (− + + +) и координатами $(t,x,y,z)$. ориентирована Форма объёма как $\varepsilon _{0123}=1$. Для одной формы ,

$${\begin{aligned}\star dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dy&=-dt\wedge dz\wedge dx\,,\\\star dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}$$

в то время как для 2-форм ,

$${\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\\star (dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\\star (dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\\star (dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\\star (dz\wedge dx)&=dt\wedge dy\,,\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}$$

Они суммированы в индексных обозначениях как

$${\begin{aligned}\star (dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _{\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}$$

Дуальность Ходжа к трех- и четырехформам легко вывести из того факта, что в лоренцевой сигнатуре $(\star )^{2}=1$ для нечетных форм и $(\star )^{2}=-1$для четных форм. Для этих операций Ходжа легко запомнить следующее правило: если задана форма $\alpha$, это двойник Ходжа ${\star }\alpha$ можно получить, написав компоненты, не участвующие в $\alpha$ в таком порядке, что $\alpha \wedge (\star \alpha )=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz$. Лишний знак минус войдет только в том случае, если $\alpha$ содержит $dt$. (Для (+ − − −) знак минус ставится только в том случае, если $\alpha$ включает в себя нечетное количество пространственно-ассоциированных форм $dx$, $dy$ и $dz$.)

Обратите внимание, что комбинации

$$(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}$$

брать $\pm i$ в качестве собственного значения оператора звезды Ходжа, т. е.

$$\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }=\pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm },$$

и поэтому заслуживают названия самодвойственных и антисамодвойственных двухформ. Понимание геометрии или кинематики пространства-времени Минковского в самодуальных и антиавтодуальных секторах оказывается полезным как с математической , так и с физической точки зрения, позволяя использовать двухспинорный в современной физике язык, такой как спинорный язык. -формализм спиральности или твисторная теория .

Конформная инвариантность

Звезда Ходжа конформно инвариантна относительно n форм в 2n-мерном векторном пространстве V, т.е. если $g$ является показателем $V$ и $\lambda >0$, то индуцированные звезды Ходжа

$$\star _{g},\star _{\lambda g}\colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V$$

одинаковы.

Пример: Производные в трех измерениях

Сочетание $\star$оператор и внешняя производная d порождают классические операторы grad , curl и div на векторных полях в трехмерном евклидовом пространстве. Это работает следующим образом: d переводит 0-форму (функцию) в 1-форму, 1-форму в 2-форму, 2-форму в 3-форму (и переводит 3-форму в 3-форму). нуль). Для 0-формы $f=f(x,y,z)$, первый случай, записанный в компонентах, дает:

$$df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.$$

Внутренний продукт идентифицирует 1-формы с векторными полями как $dx\mapsto (1,0,0)$и т. д., так что $df$ становится ${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$.

Во втором случае векторное поле $\mathbf {F} =(A,B,C)$ соответствует 1-форме $\varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz$, который имеет внешнюю производную:

$$d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.$$

Применение звезды Ходжа дает 1-форму:

$$\star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,$$

которое становится векторным полем ${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}$.

В третьем случае $\mathbf {F} =(A,B,C)$ снова соответствует $\varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz$. Применяем звезду Ходжа, внешнюю производную и еще раз звезду Ходжа:

$${\begin{aligned}\star \varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}$$

Одним из преимуществ этого выражения является то, что тождество d ² = 0 , что верно во всех случаях, в качестве особых случаев имеет два других тождества: 1) curl grad f = 0 и 2) div cur F = 0 . В частности, уравнения Максвелла принимают особенно простую и элегантную форму, когда выражаются через внешнюю производную и звезду Ходжа. Выражение $\star d\star$(умноженный на соответствующую степень -1) называется кодифференциалом ; он определен в полной общности, для любого измерения, далее в статье ниже.

Можно также получить лапласиан Δ f = div grad f с помощью вышеуказанных операций:

$$\Delta f=\star d{\star df}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$$

Лапласиан также можно рассматривать как частный случай более общего оператора Лапласа – де Рама. $\Delta =d\delta +\delta d$ где $\delta =(-1)^{k}\star d\star$ является кодифференциалом для $k$-формы. Любая функция $f$ является 0-формой, и $\delta f=0$и таким образом это сводится к обычному лапласиану. Для 1-го класса $\varphi$ выше, кодифференциал $\delta =-\star d\star$ и после некоторых простых вычислений получаем лапласиан, действующий на $\varphi$.

Двойственность

Двукратное применение звезды Ходжа оставляет k -вектор неизменным, за исключением, возможно, его знака: для $\eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V$ в n -мерном пространстве V имеем

${\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)}s\,\eta ,$

где s — четность сигнатуры скалярного произведения на V , то есть знак определителя матрицы скалярного произведения по отношению к любому базису. Например, если n = 4 и сигнатура скалярного произведения равна (+ − − −) или (− + + +), то s = −1 . Для римановых многообразий (включая евклидовы пространства) всегда s = 1 .

Из приведенного выше тождества следует, что обратное $\star$ может быть дано как

${\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}V\\\eta &\mapsto (-1)^{k(n-k)}\!s\,{\star }\eta \end{aligned}}$

Если n нечетно, то k ( n − k ) четно для любого k , тогда как если n четно, тогда k ( n − k ) имеет четность k . Поэтому:

${\star }^{-1}={\begin{cases}s\,{\star }&n{\text{ is odd}}\\(-1)^{k}s\,{\star }&n{\text{ is even}}\end{cases}}$

где k — степень воздействующего элемента.

О коллекторах

Для n -мерного ориентированного псевдориманова многообразия M мы применим приведенную выше конструкцию к каждому кокасательному пространству ${\text{T}}_{p}^{*}M$ и его внешние полномочия ${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$, а значит, и к дифференциальным k -формам ${\textstyle \zeta \in \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge ^{k}{\text{T}}^{*}\!M\right)}$, разделы пакета глобальные ${\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M}$. Риманова метрика индуцирует скалярный продукт на ${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$ в каждой точке $p\in M$. Определим Ходжу k -форму двойственную по $\zeta$, определяя ${\star }\zeta$ как единственная ( n – k )-форма, удовлетворяющая

$$\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta ,\zeta \rangle \,\omega$$

для каждой k -формы $\eta$, где $\langle \eta ,\zeta \rangle$ является вещественной функцией на $M$, а форма объема $\omega$индуцируется римановой метрикой. Интегрируя это уравнение по $M$, правая сторона становится $L^{2}$ ( интегрируемое с квадратом ) скалярное произведение на k -формах , и мы получаем:

$$\int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \ \omega .$$

В более общем смысле, если $M$неориентируема, звезду Ходжа k- формы можно определить как ( n – k ) -псевдодифференциальную форму ; то есть дифференциальная форма со значениями в каноническом линейном расслоении .

Вычисление в индексной записи

Мы вычисляем в терминах обозначений тензорного индекса относительно (не обязательно ортонормированного) базиса. ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$ в касательном пространстве $V=T_{p}M$ и его двойственная основа $\{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}$ в $V^{*}=T_{p}^{*}M$, имея метрическую матрицу ${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$ и ее обратная матрица $(g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )$. Двойственная по Ходжу разложимая k -форма:

$$\star \left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.$$

Здесь $\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}$ является символом Леви-Чивита с $\varepsilon _{1\dots n}=1$, и мы неявно берем сумму по всем значениям повторяющихся индексов $j_{1},\ldots ,j_{n}$. Факториал $(n-k)!$ учитывает двойной счет и отсутствует, если индексы суммирования ограничены таким образом, что $j_{k+1}<\dots <j_{n}$. Абсолютное значение определителя необходимо, поскольку оно может быть отрицательным, как и в касательных пространствах к лоренцевым многообразиям .

Произвольную дифференциальную форму можно записать следующим образом:

$$\alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.$$

Факториал $k!$снова включается для учета двойного счета, когда мы допускаем невозрастающие индексы. Мы хотели бы определить двойственный компонент $\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}$ так что форма, двойственная Ходжу, имеет вид

$$\star \alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}(\star \alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.$$

Используя приведенное выше выражение для двойственного Ходжа $dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}$, мы нашли:

$$(\star \alpha )_{j_{k+1},\dots ,j_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}\,g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\,\varepsilon _{j_{1},\dots ,j_{n}}\,.$$

Хотя это выражение можно применить к любому тензору $\alpha$, результат антисимметричен, поскольку сжатие с полностью антисимметричным символом Леви-Чивита отменяет всю часть тензора, кроме полностью антисимметричной. Таким образом, это эквивалентно антисимметризации с последующим применением звезды Ходжа.

Форма единицы объема ${\textstyle \omega =\star 1\in \bigwedge ^{n}V^{*}}$ дан кем-то:

$$\omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$$

Кодифференциал

Наиболее важным применением звезды Ходжа на многообразиях является определение кодифференциала $\delta$ на $k$-формы. Позволять

$$\delta =(-1)^{n(k+1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d\,{\star }$$

где $d$ является внешней производной или дифференциалом, и $s=1$для римановых многообразий. Затем

$$d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)$$

пока

$$\delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).$$

Кодифференциал не является антидифференциалом внешней алгебры, в отличие от внешней производной.

Кодифференциал является сопряженным к внешней производной относительно интегрируемого с квадратом внутреннего продукта:

$$\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,$$

где $\zeta$ это $k$-форма и $\eta$ а $(k\!-\!1)$-форма. Это свойство полезно, поскольку его можно использовать для определения кодифференциала, даже если многообразие неориентируемо (и оператор звезды Ходжа не определен). Тождество можно доказать с помощью теоремы Стокса для гладких форм:

$$0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta +(-1)^{k-1}\eta \wedge {\star }\,{\star }^{-1}d\,{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,$$

предоставил $M$ имеет пустую границу, или $\eta$ или $\star \zeta$имеет нулевые граничные значения. (Правильное определение вышеизложенного требует указания топологического векторного пространства , замкнутого и полного на пространстве гладких форм. пространство Соболева ; оно допускает сходящиеся последовательности форм Обычно используется $\zeta _{i}\to \zeta$ (как $i\to \infty$) можно заменить комбинированными дифференциальными и интегральными операциями, так что $\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle$ и аналогично для последовательностей, сходящихся к $\eta$.)

Поскольку дифференциал удовлетворяет $d^{2}=0$, кодифференциал обладает соответствующим свойством

$$\delta ^{2}=(-1)^{n}s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{nk+k+1}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.$$

Оператор Лапласа – деРема имеет вид

$$\Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta$$

и лежит в основе теории Ходжа . Он симметричен:

$$\langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle$$

и неотрицательный:

$$\langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.$$

Звезда Ходжа посылает гармонические формы в гармонические формы. Как следствие теории Ходжа , когомологии де Рама естественно изоморфны пространству гармонических k -форм, и поэтому звезда Ходжа индуцирует изоморфизм групп когомологий.

$${\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),$$

что, в свою очередь, дает каноническую идентификацию через Пуанкаре двойственность H ^к ( M ) с его двойственным пространством .

В координатах, в указанных выше обозначениях, кодифференциал вида $\alpha$ может быть записано как

$$\delta \alpha =\ -{\frac {1}{k!}}g^{ml}\left({\frac {\partial }{\partial x_{l}}}\alpha _{m,i_{1},\dots ,i_{k-1}}-\Gamma _{ml}^{j}\alpha _{j,i_{1},\dots ,i_{k-1}}\right)dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}},$$

где здесь $\Gamma _{ml}^{j}$ обозначает символы Кристоффеля ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$.

Лемма

По аналогии с леммой Пуанкаре для внешней производной можно определить ее версию для кодифференциала, которая гласит:

Если $\delta \omega =0$ для $\omega \in \Lambda ^{k}(U)$, где $U$ является звездной областью на многообразии, то существует $\alpha \in \Lambda ^{k+1}(U)$ такой, что $\omega =\delta \alpha$.

Практичный способ найти $\alpha$ заключается в использовании оператора когомотопии $h$, это локальная инверсия $\delta$. Необходимо определить гомотопический оператор

$H\beta =\int _{0}^{1}{\mathcal {K}}\lrcorner \beta |_{F(t,x)}t^{k}dt,$

где $F(t,x)=x_{0}+t(x-x_{0})$ является линейной гомотопией между своим центром $x_{0}\in U$ и точка $x\in U$и вектор (Эйлера) ${\mathcal {K}}=\sum _{i=1}^{n}(x-x_{0})^{i}\partial _{x^{i}}$ для $n=\dim(U)$ вставляется в форму $\beta \in \Lambda ^{*}(U)$. Тогда мы можем определить оператор когомотопии как

$h:\Lambda (U)\rightarrow \Lambda (U),\quad h:=\eta \star ^{-1}H\star$,

где $\eta \beta =(-1)^{k}\beta$ для $\beta \in \Lambda ^{k}(U)$.

Когомотопический оператор удовлетворяет формуле (ко)гомотопической инвариантности

$\delta h+h\delta =I-S_{x_{0}}$,

где $S_{x_{0}}=\star ^{-1}s_{x_{0}}^{*}\star$, и $s_{x_{0}}^{*}$это откат по постоянной карте $s_{x_{0}}:x\rightarrow x_{0}$.

Следовательно, если мы хотим решить уравнение $\delta \omega =0$, применяя формулу когомотопической инвариантности, получаем

$\omega =\delta h\omega +S_{x_{0}}\omega ,$ где $h\omega \in \Lambda ^{k+1}(U)$ - это дифференциальная форма, которую мы ищем, и ″константа интегрирования″ $S_{x_{0}}\omega$ исчезает, если $\omega$ это высшая форма.

Оператор когомотопии обладает следующими свойствами: $h^{2}=0,\quad \delta h\delta =\delta ,\quad h\delta h=h$. Они позволяют использовать его для определения антикоэкзактные формы на $U$ к ${\mathcal {Y}}(U)=\{\omega \in \Lambda (U)|\omega =h\delta \omega \}$, что вместе с точными формами ${\mathcal {C}}(U)=\{\omega \in \Lambda (U)|\omega =\delta h\omega \}$ провести в прямую сумму разложение

$\Lambda (U)={\mathcal {C}}(U)\oplus {\mathcal {Y}}(U)$.

Эта прямая сумма — еще один способ сказать, что формула когомотопической инвариантности представляет собой разложение единицы, а операторы проектирования слагаемых удовлетворяют идемпотентности : формулам $(h\delta )^{2}=h\delta ,\quad (\delta h)^{2}=\delta h$.

Эти результаты являются расширением аналогичных результатов для внешней производной.

Ссылки

• Дэвид Бликер (1981) Калибровочная теория и вариационные принципы . Издательство Аддисон-Уэсли. ISBN   0-201-10096-7 . Глава. 0 содержит краткий обзор неримановой дифференциальной геометрии.
• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-42627-2 .
• Чарльз В. Миснер , Кип С. Торн , Джон Арчибальд Уиллер (1970) Гравитация . У. Х. Фриман. ISBN   0-7167-0344-0 . Базовый обзор дифференциальной геометрии в частном случае четырехмерного пространства-времени .
• Стивен Розенберг (1997) Лапласиан на римановом многообразии . Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-46831-0 . Введение в уравнение теплопроводности и теорему Атьи-Зингера .
• Тевиан Дрей (1999) Двойственный оператор Ходжа . Подробный обзор определения и свойств звездного оператора Ходжа.