Лемма Пуанкаре

В математике лемма Пуанкаре дает достаточное условие точности замкнутой дифференциальной формы (при этом точная форма обязательно замкнута). Точнее, оно утверждает, что каждая замкнутая p -форма на открытом шаре в R ^н является точным для p с 1 ≤ p ≤ n . Лемма была введена Анри Пуанкаре в 1886 году.

особенно в исчислении Лемма Пуанкаре, , также гласит, что каждая замкнутая 1-форма на односвязном открытом подмножестве в $\mathbb {R} ^{n}$ это точно.

На языке когомологий лемма Пуанкаре говорит, что открытого подмножества многообразия M k -я группа когомологий де Рама стягиваемого ( например , $M=\mathbb {R} ^{n}$) исчезает для $k\geq 1$. В частности, это означает, что комплекс де Рама дает разрешение постоянного пучка $\mathbb {R} _{M}$ на М. ​Сингулярные когомологии стягиваемого пространства исчезают в положительной степени, но лемма Пуанкаре из этого не следует , поскольку тот факт, что сингулярные когомологии многообразия можно вычислить как его когомологии де Рама, т. е. теорема де Рама , опирается на лемму Пуанкаре. Однако это означает, что достаточно доказать лемму Пуанкаре для открытых шаров; тогда версия для стягиваемых многообразий следует из топологических соображений.

Лемма Пуанкаре также является частным случаем гомотопической инвариантности когомологий де Рама ; на самом деле лемму обычно устанавливают, показывая гомотопическую инвариантность или, по крайней мере, ее версию.

Доказательства

Стандартное доказательство леммы Пуанкаре использует формулу гомотопической инвариантности (см. доказательства ниже, а также Интегрирование по слоям#Пример ). Локальная форма гомотопического оператора описана в Edelen (2005) , а связь леммы с формой Маурера-Картана объяснена в Sharpe (1997) .

Прямое доказательство

Докажем лемму для открытого подмножества $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ имеет форму звезды или конуса над $[0,1]$; то есть, если $x$ находится в $U$, затем $tx$ находится в $U$ для $0\leq t\leq 1$. Этот случай, в частности, охватывает случай открытого шара, поскольку можно предположить, что открытый шар центрирован в начале координат без потери общности.

Хитрость заключается в том, чтобы рассмотреть дифференциальные формы на $U\times [0,1]\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ (мы используем $t$ для координаты $[0,1]$). Сначала определите оператор $\pi _{*}$ (называемое послойным интегрированием ) для k -форм на $U\times [0,1]$ к

$\pi _{*}\left(\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k-1}}\alpha _{i}dt\wedge dx^{i}+\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}\beta _{j}dx^{j}\right)=\left(\int _{0}^{1}\alpha _{i}(\cdot ,t)\,dt\right)\,dx^{i}$

где $dx^{i}=dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}$, $\alpha _{i}=\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}$ и аналогично для $dx^{j}$ и $\beta _{j}$. Теперь для $\alpha =f\,dt\wedge dx^{i}$, с $d\alpha =-\sum _{l}{\frac {\partial f}{\partial x_{l}}}dt\wedge dx_{l}\wedge dx^{i}$, используя дифференцирование под знаком интеграла , имеем:

$\pi _{*}(d\alpha )=-d(\pi _{*}\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )$

где $\alpha _{0},\alpha _{1}$ обозначают ограничения $\alpha$ к гиперплоскостям $t=0,t=1$ и они равны нулю, поскольку $dt$ там ноль. Если $\alpha =f\,dx^{j}$, то аналогичное вычисление дает

$\pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )$.

Таким образом, приведенная выше формула справедлива для любого $k$-форма $\alpha$ на $U\times [0,1]$. Наконец, позвольте $h(x,t)=tx$ а затем установить $J=\pi _{*}\circ h^{*}$. Тогда с обозначениями $h_{t}=h(\cdot ,t)$, получаем: для любого $k$-форма $\omega$ на $U$,

$h_{1}^{*}\omega -h_{0}^{*}\omega =Jd\omega +dJ\omega ,$

формула, известная как формула гомотопии. Оператор $J$ называется гомотопическим оператором (также называемым цепной гомотопией ). Теперь, если $\omega$ закрыто, $Jd\omega =0$. С другой стороны, $h_{1}^{*}\omega =\omega$ и $h_{0}^{*}\omega =0$. Следовательно,

$\omega =dJ\omega ,$

что доказывает лемму Пуанкаре.

Фактически то же доказательство показывает лемму Пуанкаре для любого стягиваемого открытого подмножества U многообразия. Действительно, для такого U имеем гомотопию $h_{t}$ с $h_{1}=$ личность и $h_{0}(U)=$ точка. Аппроксимируя такие $h_{t}$, мы можем предположить $h_{t}$ на самом деле гладко. оптоволокна Интеграция $\pi _{*}$ также определяется для $\pi :U\times [0,1]\to U$. Следовательно, действует тот же аргумент.

Доказательство с использованием производных Ли.

Волшебная формула Картана для производных Ли может быть использована для краткого доказательства леммы Пуанкаре. Формула утверждает, что производная Ли вдоль векторного поля $\xi$ дается как:

$L_{\xi }=d\,i(\xi )+i(\xi )d$

где $i(\xi )$ обозначает интерьерное изделие ; то есть, $i(\xi )\omega =\omega (\xi ,\cdot )$.

Позволять $f_{t}:U\to U$ — гладкое семейство гладких отображений некоторого открытого подмножества U множества $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что $f_{t}$ определено для t в некотором замкнутом интервале I и $f_{t}$ является диффеоморфизмом для t внутри I . Позволять $\xi _{t}(x)$ обозначим касательные векторы к кривой $f_{t}(x)$; то есть, ${\frac {d}{dt}}f_{t}(x)=\xi _{t}(f_{t}(x))$. Для фиксированного t внутри I пусть $g_{s}=f_{t+s}\circ f_{t}^{-1}$. Затем $g_{0}=\operatorname {id} ,\,{\frac {d}{ds}}g_{s}|_{s=0}=\xi _{t}$. Таким образом, по определению производной Ли

$(L_{\xi _{t}}\omega )(f_{t}(x))={\frac {d}{ds}}g_{s}^{*}\omega (f_{t}(x))|_{s=0}={\frac {d}{ds}}f_{t+s}^{*}\omega (x)|_{s=0}={\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega (x)$.

То есть,

${\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega =f_{t}^{*}L_{\xi _{t}}\omega .$

Предполагать $I=[0,1]$. Тогда, интегрируя обе части вышесказанного, а затем используя формулу Картана и дифференцирование под знаком интеграла , получаем: $0<t_{0}<t_{1}<1$,

$f_{t_{1}}^{*}\omega -f_{t_{0}}^{*}\omega =d\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt+\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})d\omega \,dt$

где интегрирование означает интегрирование каждого коэффициента в дифференциальной форме. Сдача в аренду $t_{0},t_{1}\to 0,1$, тогда мы имеем:

$f_{1}^{*}\omega -f_{0}^{*}\omega =dJ\omega +Jd\omega$

с обозначением $J\omega =\int _{0}^{1}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt.$

Теперь предположим $U$ представляет собой открытый шар с центром $x_{0}$; тогда мы сможем взять $f_{t}(x)=t(x-x_{0})+x_{0}$. Тогда приведенная выше формула принимает вид:

$\omega =dJ\omega +Jd\omega$,

что доказывает лемму Пуанкаре, когда $\omega$ закрыт.

Доказательство в двумерном случае.

В двумерном пространстве лемму Пуанкаре можно доказать непосредственно для замкнутых 1-форм и 2-форм следующим образом.

Если ω = p dx + q dy — замкнутая 1-форма на ( a , b ) × ( c , d ) , то p _y = q _x . Если ω = df , то p = f _x и q = f _y . Набор

$g(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt,$

так что g _x = p . Тогда h = f - g должно удовлетворять условиям h _x = 0 и h _y = q - g _y . Правая часть здесь не зависит от x , поскольку ее частная производная по x равна 0. Итак

$h(x,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds-g(a,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds,$

и, следовательно,

$f(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt+\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds.$

Аналогично, если Ω = r dx ∧ dy , то Ω = d ( a dx + b dy ) с b _x − a _y = r . Таким образом, решение дается a = 0 и

$b(x,y)=\int _{a}^{x}r(t,y)\,dt.$

Импликация для когомологий де Рама

По определению, k -я когомологий де Рама группа $\operatorname {H} _{dR}^{k}(U)$ открытого подмножества U многообразия M определяется как фактор-векторное пространство

$\operatorname {H} _{dR}^{k}(U)=\{{\textrm {closed}}\,k{\text{-forms}}\,{\textrm {on}}\,U\}/\{{\textrm {exact}}\,k{\text{-forms}}\,{\textrm {on}}\,U\}.$

Следовательно, вывод леммы Пуанкаре состоит именно в том, что $\operatorname {H} _{dR}^{k}(U)=0$ для $k\geq 1$. Теперь дифференциальные формы определяют коцепный комплекс, называемый комплексом де Рама:

$\Omega ^{*}:0\to \Omega ^{0}{\overset {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d^{1}}{\to }}\cdots \to \Omega ^{n}\to 0$

где n = размерность M и $\Omega ^{k}$ обозначает пучок дифференциальных k -форм; то есть, $\Omega ^{k}(U)$ состоит из k -форм на U для каждого открытого подмножества U в M . Затем возникает комплекс (дополненный комплекс)

$0\to \mathbb {R} _{M}{\overset {\epsilon }{\to }}\Omega ^{0}{\overset {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}{\overset {d^{1}}{\to }}\cdots \to \Omega ^{n}\to 0$

где $\mathbb {R} _{M}$ — постоянный пучок со значениями в $\mathbb {R}$; т. е. это пучок локально постоянных вещественных функций и $\epsilon$ включение.

Ядро $d^{0}$ является $\mathbb {R} _{M}$, поскольку гладкие функции с нулевыми производными локально постоянны. Кроме того, последовательность пучков точна тогда и только тогда, когда она точна локально. Таким образом, лемма Пуанкаре утверждает, что остальная часть последовательности также точна (поскольку каждая точка имеет в качестве окрестности открытый шар). На языке гомологической алгебры это означает, что комплекс де Рама определяет резольвенту постоянного пучка $\mathbb {R} _{M}$. Отсюда следует теорема де Рама ; т. е. когомологии де Рама многообразия совпадают с его сингулярными когомологиями (короче, потому что сингулярные когомологии можно рассматривать как когомологии пучков).

Зная теорему де Рама, заключение леммы Пуанкаре можно получить чисто топологически. Например, отсюда следует версия леммы Пуанкаре для односвязных открытых множеств (см. §Односвязный случай ).

Просто связанный случай

В частности, в исчислении лемма Пуанкаре формулируется для односвязного открытого подмножества. $U\subset \mathbb {R} ^{n}$. В этом случае лемма говорит, что каждая замкнутая 1-форма на U точна. Эту версию можно увидеть с помощью алгебраической топологии следующим образом. Рациональная теорема Гуревича (точнее, ее реальный аналог) гласит, что $\operatorname {H} _{1}(U;\mathbb {R} )=0$ поскольку U односвязен. С $\mathbb {R}$ — поле, k -я когомология $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )$ — двойственное векторное пространство k -й гомологии $\operatorname {H} _{k}(U;\mathbb {R} )$. В частности, $\operatorname {H} ^{1}(U;\mathbb {R} )=0.$ По теореме де Рама (следующей из леммы Пуанкаре для открытых шаров) $\operatorname {H} ^{1}(U;\mathbb {R} )$ то же самое, что и первая группа когомологий де Рама (см. § Импликация к когомологиям де Рама ). Следовательно, каждая замкнутая 1-форма на U точна.

Аналог сложной геометрии

На комплексных многообразиях применение операторов Дольбо $\partial$ и ${\bar {\partial }}$ для комплексных дифференциальных форм , уточняющих внешнюю производную по формуле $d=\partial +{\bar {\partial }}$, приводят к представлению о ${\bar {\partial }}$-закрытый и ${\bar {\partial }}$-точные дифференциальные формы. Результат локальной точности для таких замкнутых форм известен как лемма Дольбо – Гротендика (или ${\bar {\partial }}$-лемма Пуанкаре). Важно отметить, что геометрия области, на которой ${\bar {\partial }}$-замкнутая дифференциальная форма ${\bar {\partial }}$-точный более ограничен, чем для леммы Пуанкаре, поскольку доказательство леммы Дольбо – Гротендика выполняется на полидиске (произведении дисков на комплексной плоскости, к которому может быть применена многомерная интегральная формула Коши ) и существуют контрпримеры, лемма даже в сжимаемых областях. ${\bar {\partial }}$-Лемма Пуанкаре справедлива в более общем плане для псевдовыпуклых областей .

Используя как лемму Пуанкаре, так и ${\bar {\partial }}$- Лемма Пуанкаре, изысканный местный житель $\partial {\bar {\partial }}$- Можно доказать лемму Пуанкаре , которая справедлива в областях, к которым применимы обе вышеупомянутые леммы. Эта лемма утверждает, что $d$-замкнутые комплексные дифференциальные формы фактически локально $\partial {\bar {\partial }}$-точный (а не просто $d$ или ${\bar {\partial }}$-точно, как это следует из предыдущих лемм).

Относительная лемма Пуанкаре

Относительная лемма Пуанкаре обобщает лемму Пуанкаре от точки до подмногообразия (или некоторого более общего локально замкнутого подмножества ). Он гласит: пусть V — подмногообразие многообразия M , а U трубчатая окрестность V — . Если $\sigma$ является замкнутой k -формой на U , k ≥ 1, обращающейся в нуль на V , то существует ( k -1)-форма $\eta$ на U такое, что $d\eta =\sigma$ и $\eta$ исчезает на V .

Относительная лемма Пуанкаре может быть доказана так же, как доказывается исходная лемма Пуанкаре. Действительно, поскольку U — трубчатая окрестность, существует гладкий ретракт сильной деформации от U к V ; т. е. существует гладкая гомотопия $h_{t}:U\to U$ из проекции $U\to V$ к идентичности такой, что $h_{t}$ является тождеством на V . Тогда мы имеем гомотопическую формулу на U :

$h_{1}^{*}-h_{0}^{*}=dJ+Jd$

где $J$ — гомотопический оператор, заданный либо производными Ли , либо интегрированием по слоям . Сейчас, $h_{0}(U)\subset V$ и так $h_{0}^{*}\sigma =0$. С $d\sigma =0$ и $h_{1}^{*}\sigma =\sigma$, мы получаем $\sigma =dJ\sigma$; брать $\eta =J\sigma$. Что $\eta$ обращается в нуль на V, следует из определения J и того факта, что $h_{t}(V)\subset V$. (Таким образом, доказательство действительно проходит, если U не является трубчатой ​​окрестностью, но если U деформационно стягивается к V с гомотопией относительно V .) $\square$

О сингулярных пространствах

Лемма Пуанкаре, вообще говоря, неверна для сингулярных пространств. Например, если рассматривать алгебраические дифференциальные формы на комплексном алгебраическом многообразии (в топологии Зариского), для этих дифференциальных форм лемма неверна.

Однако варианты леммы, вероятно, все еще верны для некоторых сингулярных пространств (точная формулировка и доказательство зависят от определений таких пространств и негладких дифференциальных форм на них). Например, Концевич и Сойбельман утверждают, что лемма справедлива для некоторых вариантов различные формы (называемые ПА-формами) на своих кусочно-алгебраических пространствах .

Ссылки

• Иллюзия, Люк (2012), Вокруг леммы Пуанкаре, по Бейлинсону (PDF) (заметки для обсуждения)
• Нэпьер, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4693-6
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Спрингер, ISBN  0-387-90894-3

Дальнейшее чтение

• https://ncatlab.org/nlab/show/Poincaré+lemma
• https://mathoverflow.net/questions/287385/p-adic-poincaré-lemma