Интерьерное изделие

Не путать с Внутренним продуктом .

В математике внутренний продукт (также известный как внутренняя производная , внутреннее умножение , внутреннее умножение , внутренняя производная , оператор вставки или внутренний вывод ) представляет собой степени -1 (анти)вывод на внешней алгебре дифференциальных форм на гладком многообразии . Внутренний продукт, названный в противоположность внешнему продукту , не следует путать с внутренним продуктом . Продукт для интерьера $\iota _{X}\omega$ иногда пишется как $X\mathbin {\lrcorner } \omega .$

Определение

Внутренний продукт определяется как сжатие дифференциальной формы с векторным полем . Таким образом, если $X$ векторное поле на многообразии $M,$ затем $$\iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)$$ это карта , которая отправляет $p$-форма $\omega$ к $(p-1)$-форма $\iota _{X}\omega$ определяется свойством, которое $$(\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)$$ для любых векторных полей $X_{1},\ldots ,X_{p-1}.$

Когда $\omega$ — скалярное поле (0-форма), $\iota _{X}\omega =0$ по соглашению.

Внутреннее произведение — это единственный первообразователь степени −1 на внешней алгебре такой, что на одноформах $\alpha$ $$\displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle ,$$ где $\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ это дуальное соединение между $\alpha$ и вектор $X.$ Явно, если $\beta$ это $p$-форма и $\gamma$ это $q$-форма, то $$\iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=\left(\iota _{X}\beta \right)\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge \left(\iota _{X}\gamma \right).$$ Приведенное выше соотношение говорит о том, что продукт интерьера подчиняется градуированному правилу Лейбница . Операция, удовлетворяющая линейности и правилу Лейбница, называется выводом.

Характеристики

Если в местных координатах $(x_{1},...,x_{n})$ векторное поле $X$ дается

$X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

тогда внутреннее произведение определяется выражением $$\iota _{X}(dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n},$$ где $dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n}$ - это форма, полученная опусканием $dx_{r}$ от $dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n}$.

По антисимметрии форм, $$\iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega ,$$ и так $\iota _{X}\circ \iota _{X}=0.$ Это можно сравнить с внешней производной $d,$ который имеет свойство $d\circ d=0.$

Внутреннее произведение относительно коммутатора двух векторных полей $X,$ $Y$ удовлетворяет тождеству $$\iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right]=\left[\iota _{X},{\mathcal {L}}_{Y}\right].$$Доказательство. Для любой k-формы $\Omega$, $${\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\Omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\Omega )=({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)+\Omega ({\mathcal {L}}_{X}Y,-)-({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)=\iota _{{\mathcal {L}}_{X}Y}\Omega =\iota _{[X,Y]}\Omega$$и аналогично для другого результата.

Картановская идентичность

Внутреннее произведение связывает внешнюю производную и производную Ли дифференциальных форм формулой Картана (также известной как тождество Картана , формула гомотопии Картана или волшебная формула Картана ) : $${\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .$$

где антикоммутатор использовался . Это тождество определяет двойственность между внешними и внутренними производными. Тождество Картана важно в симплектической геометрии и общей теории относительности : см. карту моментов . Гомотопическая формула Картана названа в честь Эли Картана .

Доказательство прямым вычислением.

Поскольку векторные поля локально интегрируемы, мы всегда можем найти локальную систему координат. $(\xi ^{1},\dots ,\xi ^{n})$ такое, что векторное поле $X$ соответствует частной производной по первой координате, т. е. $X=\partial _{1}$.

Ввиду линейности внутреннего произведения, внешней производной и производной Ли достаточно доказать магическую формулу Картана для монома $k$-формы. Есть только два случая:

Случай 1: $\alpha =a\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}$. Прямое вычисление дает: $${\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=a\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d(\iota _{X}\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}+\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d\alpha &=\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\\iota _{X}(d\alpha )&=-\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}.\end{aligned}}$$

Случай 2: $\alpha =a\,d\xi ^{2}\wedge d\xi ^{3}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}$. Прямое вычисление дает: $${\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=0,\\d\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}+\sum _{i=k+2}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\\iota _{X}(d\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}.\end{aligned}}$$

Доказательство с помощью абстрактной алгебры, авторство принадлежит Шиинг-Шен Черну.

Внешняя производная $d$ является антидифференцированием на внешней алгебре. Аналогично интерьерное изделие $\iota _{X}$ с векторным полем $X$ также является антидеривацией. С другой стороны, производная Ли $L_{X}$ является производным.

Антикоммутатор двух антидифференцирований является деривацией.

Чтобы показать, что два дифференцирования внешней алгебры равны, достаточно показать, что они согласуются на множестве образующих. Локально внешняя алгебра порождается 0-формами (гладкими функциями $f$) и их дифференциалы, точные 1-формы ( $df$). Проверьте магическую формулу Картана в этих двух случаях.

См. также

• Продукт Cap - Метод в алгебраической топологии
• Внутренний продукт – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Тензорное сжатие - операция в математике и физике

Ссылки

• Теодор Франкель, Геометрия физики: введение ; Издательство Кембриджского университета, 3-е изд. 2011 год
• Лоринг В. Ту, Введение в многообразия , 2e, Springer. 2011. дои : 10.1007/978-1-4419-7400-6