Двойная система

Эта статья о двойственных парах векторных пространств. Чтобы узнать о дуальных парах в теории представлений, см. Редуктивную двойственную пару .

В математике — дуальная система , дуальная пара или двойственность над полем. $\mathbb {K}$ это тройка $(X,Y,b)$ состоящее из двух векторных пространств , $X$ и $Y$, над $\mathbb {K}$ и невырожденное билинейное отображение $b:X\times Y\to \mathbb {K}$.

Математическая двойственность представляет собой исследование двойственных систем и играет важную роль в функциональном анализе . Он имеет обширные приложения к квантовой механике, возникающие в теории гильбертовых пространств . Кроме того, это может быть очень полезно при работе с квантовой механикой и квантовой физикой.

Определение, обозначения и соглашения

Пейринги

А спаривание или пара по полю $\mathbb {K}$ это тройка $(X,Y,b),$ что также можно обозначить через $b(X,Y),$ состоящий из двух векторных пространств $X$ и $Y$ над $\mathbb {K} ,$ и билинейная карта $b:X\times Y\to \mathbb {K}$ называется билинейным отображением, связанным с спариванием , пары или, проще говоря, карта или ее билинейная форма . Приведенные здесь примеры описывают только случаи, когда $\mathbb {K}$ это либо действительные числа $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C}$.

Для каждого $x\in X$, определять $${\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}$$и для каждого $y\in Y,$ определять $${\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}$$Каждый $b(x,\,\cdot \,)$ является линейным функционалом от $Y$ и каждый $b(\,\cdot \,,y)$ является линейным функционалом от $X$. Поэтому оба $$b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},$$образуют векторные пространства линейных функционалов .

Это обычная практика писать $\langle x,y\rangle$ вместо $b(x,y)$, при этом в некоторых случаях спаривание может обозначаться через $\left\langle X,Y\right\rangle$ скорее, чем $(X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$. Однако в этой статье будет оговорено использование $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ для канонической оценочной карты (определенной ниже), чтобы избежать путаницы у читателей, не знакомых с этим предметом.

Двойные пары

Пейринг $(X,Y,b)$ называется двойная система , двойная пара , или двойственность закончилась $\mathbb {K}$ если билинейная форма $b$ невырожден , что означает , что он удовлетворяет следующим двум аксиомам разделения:

1. $Y$ разделяет (выделяет) точки $X$: если $x\in X$ таков, что $b(x,\,\cdot \,)=0$ затем $x=0$; или, что то же самое, для всех ненулевых $x\in X$, карта $b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K}$ не тождественно $0$ (т.е. существует $y\in Y$ такой, что $b(x,y)\neq 0$ для каждого $x\in X$);
2. $X$ разделяет (выделяет) точки $Y$: если $y\in Y$ таков, что $b(\,\cdot \,,y)=0$ затем $y=0$; или, что то же самое, для всех ненулевых $y\in Y,$ карта $b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K}$ не тождественно $0$ (т.е. существует $x\in X$ такой, что $b(x,y)\neq 0$ для каждого $y\in Y$).

В этом случае $b$ невырождено что , и можно сказать, $b$ места $X$ и $Y$ в дуальности (или, избыточно, но явно, в отдельной дуальности ), и $b$ называется двойственным спариванием тройки $(X,Y,b)$.

Всего подмножеств

Подмножество $S$ из $Y$ называется итого , если для каждого $x\in X$, $$b(x,s)=0\quad {\text{ for all }}s\in S$$ подразумевает $x=0.$ Полное подмножество $X$ определяется аналогично (см. сноску). Таким образом $X$ разделяет точки $Y$ тогда и только тогда, когда $X$ представляет собой полное подмножество $X$, и аналогично для $Y$.

Ортогональность

Векторы $x$ и $y$ ортогональны записаны , $x\perp y$, если $b(x,y)=0$. Два подмножества $R\subseteq X$ и $S\subseteq Y$ ортогональны записаны , $R\perp S$, если $b(R,S)=\{0\}$; то есть, если $b(r,s)=0$ для всех $r\in R$ и $s\in S$. определяется определение подмножества, ортогонального вектору Аналогично .

Ортогональное дополнение или аннулятор подмножества $R\subseteq X$ является $$R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}$$Таким образом $R$ представляет собой полное подмножество $X$ тогда и только тогда, когда $R^{\perp }$ равно $\{0\}$.

Полярные множества

Основная статья: Полярный набор

Учитывая тройку $(X,Y,b)$ определение пары над $\mathbb {K}$, абсолютное полярное множество или полярное множество подмножества $A$ из $X$ это набор: $$A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.$$Симметрично , абсолютное полярное множество или полярное множество подмножества. $B$ из $Y$ обозначается $B^{\circ }$ и определяется $$B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.$$

Использовать бухгалтерию, помогающую отслеживать антисимметрию двух сторон дуальности, абсолютную полярность подмножества. $B$ из $Y$ также можно назвать преполяром или преполяром абсолютным $B$ и тогда может быть обозначено $B^{\circ }.$

Полярный $B^{\circ }$ обязательно является выпуклым множеством, содержащим $0\in Y$ где если $B$ сбалансирован, то так же $B^{\circ }$ и если $B$ является векторным подпространством $X$ тогда тоже так $B^{\circ }$ векторное подпространство $Y.$

Если $A$ является векторным подпространством $X,$ затем $A^{\circ }=A^{\perp }$ и это также равно поляру реальному $A.$ Если $A\subseteq X$ тогда биполярное расстройство $A$, обозначенный $A^{\circ \circ }$, является полярой ортогонального дополнения к $A$, то есть набор ${}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).$ Аналогично, если $B\subseteq Y$ тогда биполярное расстройство $B$ является $B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.$

Двойные определения и результаты

Учитывая пару $(X,Y,b),$ определить новую пару $(Y,X,d)$ где $d(y,x):=b(x,y)$ для всех $x\in X$ и $y\in Y$.

В теории дуальности существует устойчивая идея: любое определение пары $(X,Y,b)$ имеет соответствующее двойственное определение для спаривания $(Y,X,d).$

Условное обозначение и определение : Учитывая любое определение пары. $(X,Y,b),$ получается, двойственное определение если применить его к спариванию $(Y,X,d).$ Эти соглашения также применимы к теоремам.

Например, если " $X$ различает точки $Y$" (соответственно " $S$ представляет собой полное подмножество $Y$") определяется, как указано выше, то это соглашение немедленно приводит к двойному определению " $Y$ различает точки $X$" (соответственно " $S$ представляет собой полное подмножество $X$").

Следующее обозначение почти повсеместно распространено и позволяет нам избежать присвоения символа $d.$

Соглашение и обозначения : Если определение и его обозначения для пары $(X,Y,b)$ зависит от порядка $X$ и $Y$ (например, определение топологии Макки $\tau (X,Y,b)$ на $X$), затем, изменив порядок $X$ и $Y,$ то имеется в виду, что определение применимо к $(Y,X,d)$ (продолжая тот же пример, топология $\tau (Y,X,b)$ на самом деле будет обозначать топологию $\tau (Y,X,d)$).

Другой пример: как только слабая топология на $X$ определяется, обозначается $\sigma (X,Y,b)$, то это двойное определение будет автоматически применено к спариванию $(Y,X,d)$ чтобы получить определение слабой топологии на $Y$, и эта топология будет обозначаться через $\sigma (Y,X,b)$ скорее, чем $\sigma (Y,X,d)$.

Идентификация $(X,Y)$ с $(Y,X)$

Хотя это технически неверно и является злоупотреблением обозначениями, в этой статье будет придерживаться почти повсеместного соглашения о спаривании. $(X,Y,b)$ взаимозаменяемо с $(Y,X,d)$ а также обозначения $(Y,X,d)$ к $(Y,X,b).$

Примеры

Ограничение спаривания

Предположим, что $(X,Y,b)$ это пара, $M$ является векторным подпространством $X,$ и $N$ является векторным подпространством $Y$. Тогда ограничение ​ $(X,Y,b)$ к $M\times N$ это спаривание $\left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).$ Если $(X,Y,b)$ является двойственностью, то ограничение может не быть двойственностью (например, если $Y\neq \{0\}$ и $N=\{0\}$).

В этой статье будет использована общепринятая практика обозначения ограничения $\left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)$ к $(M,N,b).$

Каноническая двойственность в векторном пространстве

Предположим, что $X$ является векторным пространством и пусть $X^{\#}$ обозначают алгебраическое дуальное пространство $X$ (т. е. пространство всех линейных функционалов на $X$). Существует каноническая двойственность $\left(X,X^{\#},c\right)$ где $c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),$ которое называется оценочной картой или естественным или каноническим билинейным функционалом на $X\times X^{\#}.$ Особо отметим, что для любого $x^{\prime }\in X^{\#},$ $c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)$ это просто еще один способ обозначения $x^{\prime }$; т.е. $c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.$

Если $N$ является векторным подпространством $X^{\#}$, то ограничение $\left(X,X^{\#},c\right)$ к $X\times N$ называется канонической парой, причем, если эта пара является двойственностью, то вместо этого она называется канонической двойственностью . Четко, $X$ всегда различает точки $N$, поэтому каноническое спаривание является двойственной системой тогда и только тогда, когда $N$ разделяет точки $X.$ Следующие обозначения сейчас почти повсеместно распространены в теории двойственности.

Оценочную карту будем обозначать $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)$ (а не через $c$) и $\langle X,N\rangle$ будет написано, а не $(X,N,c).$

Предположение : Как это обычно бывает, если $X$ является векторным пространством и $N$ — векторное пространство линейных функционалов на $X,$ тогда, если не указано иное, будет считаться, что они связаны с каноническим спариванием $\langle X,N\rangle .$

Если $N$ является векторным подпространством $X^{\#}$ затем $X$ различает точки $N$ (или, что то же самое, $(X,N,c)$ является двойственностью) тогда и только тогда, когда $N$ различает точки $X,$ или эквивалентно, если $N$ является тотальным (т. $n(x)=0$ для всех $n\in N$ подразумевает $x=0$).

Каноническая двойственность в топологическом векторном пространстве

Предполагать $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством $X^{\prime }.$ Тогда ограничение канонической двойственности $\left(X,X^{\#},c\right)$ к $X$ × $X^{\prime }$ определяет пару $\left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)$ для чего $X$ разделяет точки $X^{\prime }.$ Если $X^{\prime }$ разделяет точки $X$ (что верно, если, например, $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством), то это спаривание образует двойственность.

Предположение : Как это обычно делается, всякий раз, когда $X$ является TVS, то, если не указано иное, без комментариев предполагается, что он связан с каноническим спариванием $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .$

Полары и двойники TVS

Следующий результат показывает, что непрерывные линейные функционалы на TVS — это в точности те линейные функционалы, которые ограничены в окрестности начала координат.

Теорема - Позволять $X$ быть TVS с алгебраически двойственным $X^{\#}$ и пусть ${\mathcal {N}}$ быть основой кварталов $X$ в начале. В условиях канонической двойственности $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,$ непрерывное двойственное пространство $X$ это союз всех $N^{\circ }$ как $N$ колеблется в пределах ${\mathcal {N}}$ (где поляры взяты в $X^{\#}$).

Внутренние пространства произведений и комплексно-сопряженные пространства.

Догильбертово пространство $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ является дуальной парой тогда и только тогда, когда $H$ векторное пространство над $\mathbb {R}$ или $H$ имеет размерность $0.$ Здесь предполагается, что полуторалинейная форма $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ сопряжено однородно по второй координате и однородно по первой координате.

• Если $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ является реальным гильбертовым пространством тогда $(H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ образует двойственную систему.
• Если $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ является комплексным гильбертовым пространством, тогда $(H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ образует двойственную систему тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} H=0.$ Если $H$ нетривиально, то $(H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ даже не образует спаривания, поскольку скалярное произведение является полуторалинейным, а не билинейным.

Предположим, что $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ — комплексное прегильбертово пространство со скалярным умножением, обычно обозначаемым сопоставлением или точкой $\cdot .$ Определите карту $$\,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,$$где правая часть использует скалярное умножение $H.$ Позволять ${\overline {H}}$ обозначаем комплексно-сопряженное векторное пространство $H,$ где ${\overline {H}}$ обозначает аддитивную группу $(H,+)$ (поэтому сложение векторов в ${\overline {H}}$ идентично сложению векторов в $H$), но со скалярным умножением в ${\overline {H}}$ быть картой $\,\cdot \,\perp \,\cdot \,$ (вместо скалярного умножения, которое $H$ наделен).

Карта $b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C}$ определяется $b(x,y):=\langle x,y\rangle$ линейна по обеим координатам и так $\left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$ образует двойную пару.

Другие примеры

• Предполагать $X=\mathbb {R} ^{2},$ $Y=\mathbb {R} ^{3},$ и для всех $\left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,$ позволять $$b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.$$ Затем $(X,Y,b)$ такое спаривание, что $X$ различает точки $Y,$ но $Y$ не различает точки $X.$ Более того, $X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.$
• Позволять $0<p<\infty ,$ $X:=L^{p}(\mu ),$ $Y:=L^{q}(\mu )$ (где $q$ таков, что ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$), и $b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .$ Затем $(X,Y,b)$ представляет собой двойную систему.
• Позволять $X$ и $Y$ быть векторными пространствами над одним и тем же полем $\mathbb {K} .$ Тогда билинейная форма $b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle$ места $X\times Y$ и $X^{\#}\times Y^{\#}$ в двойственности.
• Пространство последовательности $X$ и его бета-дуал $Y:=X^{\beta }$ с билинейным отображением, определяемым как $\langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}$ для $x\in X,$ $y\in X^{\beta }$ образует двойственную систему.

Слабая топология

Основные статьи: Слабая топология и топология Weak-*

Предположим, что $(X,Y,b)$ представляет собой пару векторных пространств над $\mathbb {K} .$ Если $S\subseteq Y$ тогда слабая топология на $X$ вызванный $S$ (и $b$) — самая слабая топология TVS на $X,$ обозначается $\sigma (X,S,b)$ или просто $\sigma (X,S),$ делаю все карты $b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K}$ непрерывный как $y$ колеблется в пределах $S.$ Если $S$ не ясно из контекста, то следует предположить, что это все $Y,$ в этом случае это называется слабой топологией на $X$ (вызванный $Y$). Обозначения $X_{\sigma (X,S,b)},$ $X_{\sigma (X,S)},$ или (если не возникнет путаницы) просто $X_{\sigma }$ используется для обозначения $X$ наделен слабой топологией $\sigma (X,S,b).$ Важно отметить, что слабая топология полностью зависит от функции $b,$ обычная топология на $\mathbb {C} ,$ и $X$структуре векторного пространства , но не на структурах алгебраических $Y.$

Аналогично, если $R\subseteq X$ то двойственное определение слабой топологии на $Y$ вызванный $R$ (и $b$), что обозначается $\sigma (Y,R,b)$ или просто $\sigma (Y,R)$ (подробности см. в сноске).

Определение и обозначения : Если " $\sigma (X,Y,b)$"прилагается к топологическому определению (например, $\sigma (X,Y,b)$-сходится, $\sigma (X,Y,b)$-ограниченный, $\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),$ и т.д.), то это означает, что определение, когда первый пробел (т.е. $X$) несет $\sigma (X,Y,b)$ топология. Упоминание о $b$ или даже $X$ и $Y$ можно опустить, если не возникает путаницы. Так, например, если последовательность $\left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $Y$ " $\sigma$-сходится» или «слабо сходится», то это означает, что он сходится в $(Y,\sigma (Y,X,b))$ тогда как если бы это была последовательность в $X$, то это означало бы, что оно сходится в $(X,\sigma (X,Y,b))$).

Топология $\sigma (X,Y,b)$ поскольку локально выпукла, определяется семейством полунорм $p_{y}:X\to \mathbb {R}$ определяется $p_{y}(x):=|b(x,y)|,$ как $y$ колеблется в пределах $Y.$ Если $x\in X$ и $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $X,$ затем $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $\sigma (X,Y,b)$-сходится к $x$ если $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ сходится к $x$ в $(X,\sigma (X,Y,b)).$ сеть $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $\sigma (X,Y,b)$-сходится к $x$ тогда и только тогда, когда для всех $y\in Y,$ $b\left(x_{i},y\right)$ сходится к $b(x,y).$ Если $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ есть последовательность ортонормированных векторов в гильбертовом пространстве, то $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ слабо сходится к 0, но не сходится по норме к 0 (или любому другому вектору).

Если $(X,Y,b)$ это пара и $N$ является собственным векторным подпространством $Y$ такой, что $(X,N,b)$ является двойной парой, то $\sigma (X,N,b)$ строго грубее, чем $\sigma (X,Y,b).$

Ограниченные подмножества

Подмножество $S$ из $X$ является $\sigma (X,Y,b)$-ограничен тогда и только тогда, когда $$\sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,$$ где $|b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}.$

Хаусдорфность

Если $(X,Y,b)$ является парой, то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ различает точки $Y$;
2. Карта $y\mapsto b(\,\cdot \,,y)$ определяет инъекцию из $Y$ в алгебраическое дуальное пространство $X$;
3. $\sigma (Y,X,b)$ является Хаусдорф .

Теорема о слабом представлении

Следующая теорема имеет фундаментальное значение для теории двойственности, поскольку она полностью характеризует непрерывное дуальное пространство $(X,\sigma (X,Y,b)).$

Теорема о слабом представлении - Позволять $(X,Y,b)$ быть парой на поле $\mathbb {K} .$ Тогда непрерывное дуальное пространство $(X,\sigma (X,Y,b))$ является $$b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.$$ Более того,

1. Если $f$ является непрерывным линейным функционалом на $(X,\sigma (X,Y,b))$ тогда существует некоторый $y\in Y$ такой, что $f=b(\,\cdot \,,y)$; если такой $y$ существует, то он единственен тогда и только тогда, когда $X$ различает точки $Y.$
   • Обратите внимание, независимо от того, $X$ различает точки $Y$ не зависит от конкретного выбора $y.$
2. Непрерывное двойственное пространство $(X,\sigma (X,Y,b))$ можно отождествить с факторпространством $Y/X^{\perp },$ где $X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0{\text{ for all }}x\in X\}.$
   • Это верно независимо от того, $X$ различает точки $Y$ или $Y$ различает точки $X.$

Следовательно, непрерывное дуальное пространство $(X,\sigma (X,Y,b))$ является $$(X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.$$

Что касается канонического спаривания, если $X$ есть TVS, непрерывное двойственное пространство которого $X^{\prime }$ разделяет точки на $X$ (т.е. такой, что $\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)$ является Хаусдорфом, откуда следует, что $X$ также обязательно хаусдорфово), то непрерывное двойственное пространство к $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$ равно множеству всех «оценок в точке» $x$"карты как $x$ колеблется в пределах $X$ (т.е. карта, которая отправляет $x^{\prime }\in X^{\prime }$ к $x^{\prime }(x)$). Обычно это пишут как $$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.$$Этот очень важный факт объясняет, почему результаты для полярных топологий в непрерывных дуальных пространствах, таких как сильная дуальная топология, $\beta \left(X^{\prime },X\right)$ на $X^{\prime }$ например, тоже часто можно применять к оригинальным ТВС $X$; например, $X$ отождествляясь с $\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$ означает, что топология $\beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)$ на $\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$ вместо этого можно рассматривать как топологию на $X.$ Более того, если $X^{\prime }$ имеет более тонкую топологию, чем $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ то непрерывное двойственное пространство $X^{\prime }$ обязательно будет содержать $\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$ как подмножество. Так, например, когда $X^{\prime }$ наделен сильной дуальной топологией (и поэтому обозначается $X_{\beta }^{\prime }$) затем $$\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X$$что (помимо прочего) позволяет $X$ наделить его топологией подпространства, индуцированной, скажем, сильной дуальной топологией $\beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)$ (эта топология также называется сильной бидуальной топологией и появляется в теории рефлексивных пространств : хаусдорфова локально выпуклая TVS $X$ называется полурефлексивным, если $\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X$ и она будет называться рефлексивной, если к тому же сильная бидуальная топология $\beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)$ на $X$ равно $X$исходная/начальная топология).

Ортогоналы, факторы и подпространства

Если $(X,Y,b)$ тогда является парой для любого подмножества $S$ из $X$:

• $S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }$ и этот набор $\sigma (Y,X,b)$-закрыто;
• $S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)$;
  • Таким образом, если $S$ это $\sigma (X,Y,b)$-замкнутое векторное подпространство $X$ затем $S\subseteq S^{\perp \perp }.$
• Если $\left(S_{i}\right)_{i\in I}$ это семья $\sigma (X,Y,b)$-замкнутые векторные подпространства $X$ затем $$\left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).$$
• Если $\left(S_{i}\right)_{i\in I}$ представляет собой семейство подмножеств $X$ затем $\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.$

Если $X$ является нормированным пространством, то при канонической двойственности $S^{\perp }$ норма закрыта в $X^{\prime }$ и $S^{\perp \perp }$ норма закрыта в $X.$

Подпространства

Предположим, что $M$ является векторным подпространством $X$ и пусть $(M,Y,b)$ обозначают ограничение $(X,Y,b)$ к $M\times Y.$ Слабая топология $\sigma (M,Y,b)$ на $M$ идентична топологии подпространства , которая $M$ наследует от $(X,\sigma (X,Y,b)).$

Также, $\left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)$ является парным пространством (где $Y/M^{\perp }$ означает $Y/\left(M^{\perp }\right)$) где $b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K}$ определяется $$\left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).$$

Топология $\sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)$ равна топологии подпространства , которая $M$ наследует от $(X,\sigma (X,Y,b)).$ Кроме того, если $(X,\sigma (X,Y,b))$ это двойная система, то и так $\left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).$

Коэффициенты

Предположим, что $M$ является векторным подпространством $X.$ Затем $\left(X/M,M^{\perp },b/M\right)$представляет собой парное пространство, где $b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K}$ определяется $$(x+M,y)\mapsto b(x,y).$$

Топология $\sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)$ идентична обычной фактортопологии, индуцированной $(X,\sigma (X,Y,b))$ на $X/M.$

Поляры и слабая топология

Если $X$ — локально выпуклое пространство, и если $H$ является подмножеством непрерывного дуального пространства $X^{\prime },$ затем $H$ является $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-ограничен тогда и только тогда, когда $H\subseteq B^{\circ }$ за какую-то бочку $B$ в $X.$

Следующие результаты важны для определения полярных топологий.

Если $(X,Y,b)$ это пара и $A\subseteq X,$ затем:

1. Полярный $A^{\circ }$ из $A$ является закрытым подмножеством $(Y,\sigma (Y,X,b)).$
2. Поляры следующих наборов идентичны: (а) $A$; (б) выпуклая оболочка $A$; (в) сбалансированный корпус $A$; (г) $\sigma (X,Y,b)$-закрытие $A$; (е) $\sigma (X,Y,b)$-замыкание выпуклой сбалансированной оболочки $A.$
3. Биполярная теорема : Биполярная $A,$ обозначается $A^{\circ \circ },$ равен $\sigma (X,Y,b)$-замыкание выпуклой сбалансированной оболочки $A.$
   • В частности, биполярная теорема «является незаменимым инструментом в работе с дуальностью».
4. $A$ является $\sigma (X,Y,b)$-ограничен тогда и только тогда, когда $A^{\circ }$ поглощает ​ ​ $Y.$
5. Если вдобавок $Y$ различает точки $X$ затем $A$ является $\sigma (X,Y,b)$- ограничен тогда и только тогда, когда $\sigma (X,Y,b)$- полностью ограничен .

Если $(X,Y,b)$ это пара и $\tau$ является локально выпуклой топологией на $X$ что согласуется с двойственностью, то подмножество $B$ из $X$ это бочка в $(X,\tau )$ тогда и только тогда, когда $B$ это полярник какого-то $\sigma (Y,X,b)$-ограниченное подмножество $Y.$

Транспонирует

Транспонирует линейное отображение относительно спариваний

См. также: Транспонирование линейной карты , Транспонирование и Транспонирование § Транспонирование линейных карт и билинейных форм.

Позволять $(X,Y,b)$ и $(W,Z,c)$ быть в парах $\mathbb {K}$ и пусть $F:X\to W$ быть линейной картой.

Для всех $z\in Z,$ позволять $c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K}$ быть картой, определенной $x\mapsto c(F(x),z).$ Говорят, что $F$' Транспонирование если или сопряжение корректно определены, выполняются следующие условия:

1. $X$ различает точки $Y$ (или, что то же самое, карта $y\mapsto b(\,\cdot \,,y)$ от $Y$ в алгебраическую двойственную $X^{\#}$ инъективен ) , и
2. $c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),$ где $c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\}$ и $b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}$.

В этом случае для любого $z\in Z$ существует (по условию 2) единственное (по условию 1) $y\in Y$ такой, что $c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)$), где этот элемент $Y$ будет обозначаться ${}^{t}F(z).$ Это определяет линейное отображение $${}^{t}F:Z\to Y$$

называется транспонированием или сопряжением $F$ относительно $(X,Y,b)$ и $(W,Z,c)$ (не следует путать с эрмитовым сопряженным ). Легко видеть, что два упомянутых выше условия (т.е. условия «корректность транспонирования») необходимы и для ${}^{t}F$ быть четко определенным. Для каждого $z\in Z,$ определяющее условие для ${}^{t}F(z)$ является $$c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),$$ то есть, $$c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)$$ для всех $x\in X.$

Согласно соглашениям, упомянутым в начале этой статьи, это также определяет транспонирование линейных отображений вида $Z\to Y,$$X\to Z,$$W\to Y,$$Y\to W,$ и т. д. (см. сноску).

Свойства транспонирования

Через, $(X,Y,b)$ и $(W,Z,c)$ быть в парах $\mathbb {K}$ и $F:X\to W$ будет линейной картой, транспонирование которой ${}^{t}F:Z\to Y$ четко определен.

• ${}^{t}F:Z\to Y$ является инъективным (т.е. $\operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}$) тогда и только тогда, когда диапазон $F$ плотный в $\left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right).$
• Если в дополнение к ${}^{t}F$ будучи четко определенным, транспонирование ${}^{t}F$ также четко определено, тогда ${}^{tt}F=F.$
• Предполагать $(U,V,a)$ это спаривание окончено $\mathbb {K}$ и $E:U\to X$ является линейным отображением, транспонирование которого ${}^{t}E:Y\to V$ четко определен. Затем транспонирование $F\circ E:U\to W,$ который ${}^{t}(F\circ E):Z\to V,$ четко определен и ${}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.$
• Если $F:X\to W$ является изоморфизмом векторного пространства, то ${}^{t}F:Z\to Y$ биективен, транспонирование $F^{-1}:W\to X,$ который ${}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z,$ четко определен, и ${}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}$
• Позволять $S\subseteq X$ и пусть $S^{\circ }$ обозначает абсолютную поляру $A,$ затем:
  1. $[F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)$;
  2. если $F(S)\subseteq T$ для некоторых $T\subseteq W,$ затем ${}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }$;
  3. если $T\subseteq W$ таков, что ${}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ },$ затем $F(S)\subseteq T^{\circ \circ }$;
  4. если $T\subseteq W$ и $S\subseteq X$ являются слабозамкнутыми дисками, то ${}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }$ тогда и только тогда, когда $F(S)\subseteq T$;
  5. $\operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.$

Эти результаты справедливы, когда реальная поляра . вместо абсолютной поляры используется

Если $X$ и $Y$ являются нормированными пространствами относительно их канонической двойственности, и если $F:X\to Y$ является непрерывным линейным отображением, то $\|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.$

Слабая непрерывность

Линейная карта $F:X\to W$ слабо непрерывен (относительно $(X,Y,b)$ и $(W,Z,c)$) если $F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))$ является непрерывным.

Следующий результат показывает, что существование транспонированного отображения тесно связано со слабой топологией.

Предложение . Предположим, что $X$ различает точки $Y$ и $F:X\to W$ представляет собой линейную карту. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $F$ слабо непрерывна (т. е. $F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))$ является непрерывным);
2. $c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)$;
3. транспонирование $F$ четко определен.

Если $F$ слабо непрерывен, то

• ${}^{t}F:Z\to Y$ слабо непрерывна, то есть ${}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))$ является непрерывным;
• транспонирование ${}^{t}F$ корректно определено тогда и только тогда, когда $Z$ различает точки $W,$ в этом случае ${}^{tt}F=F.$

Слабая топология и каноническая двойственность

Предположим, что $X$ является векторным пространством и что $X^{\#}$ это его алгебраически двойственный. Затем каждый $\sigma \left(X,X^{\#}\right)$-ограниченное подмножество $X$ содержится в конечномерном векторном подпространстве, и каждое векторное подпространство $X$ является $\sigma \left(X,X^{\#}\right)$-закрыто.

Слабая полнота

Если $(X,\sigma (X,Y,b))$ является полным топологическим векторным пространством, скажем, что $X$ является $\sigma (X,Y,b)$-полный или (если не может возникнуть двусмысленность) слабо-полный . Существуют банаховы пространства , которые не являются слабо полными (несмотря на то, что они полны в своей топологии нормы).

Если $X$ является векторным пространством, то при канонической двойственности $\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$ завершен. И наоборот, если $Z$ является хаусдорфовой локально выпуклой ТВС с непрерывным дуальным пространством $Z^{\prime },$ затем $\left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)$ полно тогда и только тогда, когда $Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}$; то есть тогда и только тогда, когда карта $Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}$ определяется отправкой $z\in Z$ к оценочной карте на $z$ (т.е. $z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)$) является биекцией.

В частности, относительно канонической двойственности, если $Y$ является векторным подпространством $X^{\#}$ такой, что $Y$ разделяет точки $X,$ затем $(Y,\sigma (Y,X))$ полно тогда и только тогда, когда $Y=X^{\#}.$ Другими словами, не существует собственного векторного подпространства. $Y\neq X^{\#}$ из $X^{\#}$ такой, что $(X,\sigma (X,Y))$ это Хаусдорф и $Y$ полно в слабой топологии (т. е. в топологии поточечной сходимости). Следовательно, когда непрерывное дуальное пространство $X^{\prime }$ хаусдорфовой TVS выпуклой локально $X$ наделен топологиейweak- * , то $X_{\sigma }^{\prime }$ полно тогда и только тогда, когда $X^{\prime }=X^{\#}$ (т. е. тогда и только тогда, когда каждый линейный функционал на $X$ является непрерывным).

Отождествление Y с подпространством алгебраически двойственного

Если $X$ различает точки $Y$ и если $Z$ обозначает диапазон впрыска $y\mapsto b(\,\cdot \,,y)$ затем $Z$ является векторным подпространством алгебраического двойственного пространства $X$ и спаривание $(X,Y,b)$ становится канонически отождествляемым с канонической парой $\langle X,Z\rangle$ (где $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)$ – естественная оценочная карта). будем считать, В частности, в этой ситуации без ограничения общности что $Y$ является векторным подпространством $X$алгебраическое двойственное и $b$ это оценочная карта.

Конвенция : Часто, всякий раз, когда $y\mapsto b(\,\cdot \,,y)$ инъективен (особенно, когда $(X,Y,b)$ принято считать, образует двойственную пару), то без ограничения общности что $Y$ является векторным подпространством алгебраического двойственного пространства $X,$ что $b$ – естественная оценочная карта, а также обозначим $Y$ к $X^{\prime }.$

Совершенно аналогично, если $Y$ различает точки $X$ тогда это возможно для $X$ быть идентифицировано как векторное подпространство $Y$Алгебраическое дуальное пространство.

Алгебраический сопряженный

В частном случае, когда двойственности являются каноническими двойственностями $\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$ и $\left\langle W,W^{\#}\right\rangle ,$ транспонирование линейной карты $F:X\to W$ всегда четко определен. Такое транспонирование называется сопряжением алгебраическим $F$ и это будет обозначаться $F^{\#}$; то есть, $F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.$ В этом случае для всех $w^{\prime }\in W^{\#},$$F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F$ где определяющее условие для $F^{\#}\left(w^{\prime }\right)$ является: $$\left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}>x\in X,$$ или эквивалентно, $F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad {\text{ for all }}x\in X.$

Если $X=Y=\mathbb {K} ^{n}$ для некоторого целого числа $n,$ ${\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}$ является основой для $X$ с двойным основанием ${\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},$ $F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}$ является линейным оператором, а матричное представление $F$ относительно ${\mathcal {E}}$ является $M:=\left(f_{i,j}\right),$ затем транспонирование $M$ является матричным представлением относительно ${\mathcal {E}}^{\prime }$ из $F^{\#}.$

Слабая преемственность и открытость

Предположим, что $\left\langle X,Y\right\rangle$ и $\langle W,Z\rangle$ являются каноническими парами (поэтому $Y\subseteq X^{\#}$и $Z\subseteq W^{\#}$), которые являются двойственными системами и пусть $F:X\to W$ быть линейной картой. Затем $F:X\to W$ является слабо непрерывным тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. $F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))$ является непрерывным.
2. $F^{\#}(Z)\subseteq Y$
3. транспонирование F , ${}^{t}F:Z\to Y,$ относительно $\left\langle X,Y\right\rangle$ и $\langle W,Z\rangle$ четко определен.

Если $F$ слабо непрерывен, то ${}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))$ будет непрерывным и, кроме того, ${}^{tt}F=F$

Карта $g:A\to B$ между топологическими пространствами относительно открыт , если $g:A\to \operatorname {Im} g$ — открытое отображение , где $\operatorname {Im} g$ это диапазон $g.$

Предположим, что $\langle X,Y\rangle$ и $\langle W,Z\rangle$ представляют собой двойственные системы и $F:X\to W$ является слабо непрерывным линейным отображением. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))$ относительно открыт.
2. Диапазон ${}^{t}F$ является $\sigma (Y,X)$-закрыто в $Y$;
3. $\operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }$

Более того,

• $F:X\to W$ инъективен (соответственно биективен) тогда и только тогда, когда ${}^{t}F$ является сюръективным (соответственно биективным);
• $F:X\to W$ сюръективно тогда и только тогда, когда ${}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))$ относительно открыт и инъективен.

Транспонирование карты между TVS

Транспонирование отображения между двумя TVS определяется тогда и только тогда, когда $F$ является слабо непрерывным.

Если $F:X\to Y$ является линейным отображением двух хаусдорфовых локально выпуклых топологических векторных пространств, тогда:

• Если $F$ непрерывен, то он слабо непрерывен и ${}^{t}F$ является одновременно непрерывным по Макки и сильно непрерывным.
• Если $F$ слабо непрерывен, то он одновременно непрерывен по Макки и сильно непрерывен (определено ниже).
• Если $F$ слабо непрерывен, то он непрерывен тогда и только тогда, когда ${}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }$ отображает равнонепрерывные подмножества $Y^{\prime }$ к равнонепрерывным подмножествам $X^{\prime }.$
• Если $X$ и $Y$ являются нормированными пространствами, тогда $F$ непрерывен тогда и только тогда, когда он слабо непрерывен, и в этом случае $\|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.$
• Если $F$ является непрерывным, тогда $F:X\to Y$ относительно открыт тогда и только тогда, когда $F$ слабо относительно открыт (т.е. $F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)$ относительно открыто) и каждое равностепенно непрерывное подмножество $\operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)$ есть образ некоторых равнонепрерывных подмножеств $Y^{\prime }.$
• Если $F$ это непрерывный впрыск, тогда $F:X\to Y$ является TVS-вложением (или, что то же самое, топологическим вложением ) тогда и только тогда, когда каждое эквинепрерывное подмножество $X^{\prime }$ есть образ некоторых равнонепрерывных подмножеств $Y^{\prime }.$

Метризуемость и разделимость

Позволять $X$ — локально выпуклое пространство с непрерывным двойственным пространством $X^{\prime }$ и пусть $K\subseteq X^{\prime }.$

1. Если $K$ является равнонепрерывным или $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-компактный, и если $D\subseteq X^{\prime }$ таков, что $\operatorname {span} D$плотный в $X,$ то топология подпространства, которая $K$ наследует от $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)$ идентична топологии подпространства, которая $K$ наследует от $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).$
2. Если $X$ является отделимым и $K$ является равнонепрерывным, то $K,$ когда он наделен топологией подпространства, индуцированной $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),$ является метризуемым .
3. Если $X$ сепарабельна и метризуема , то $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$ является разделимым.
4. Если $X$ это нормированное пространство, тогда $X$ сепарабельна тогда и только тогда, когда замкнутая единица вызывает непрерывное двойственное пространство $X$ метризуемо, если задана топология подпространства, индуцированная $\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).$
5. Если $X$ является нормированным пространством, непрерывное двойственное пространство которого является сепарабельным (если задана обычная топология нормы), то $X$ является разделимым.

Полярные топологии и топологии, совместимые с сопряжением

Основная статья: Полярная топология

Начиная со слабой топологии, использование полярных наборов дает ряд локально выпуклых топологий. Такие топологии называются полярными топологиями . Слабая топология — это самая слабая топология этого диапазона.

Через, $(X,Y,b)$ будет пара $\mathbb {K}$ и ${\mathcal {G}}$ будет непустой коллекцией $\sigma (X,Y,b)$-ограниченные подмножества $X.$

Полярные топологии

Основная статья: Полярная топология

Учитывая коллекцию ${\mathcal {G}}$ подмножеств $X$, полярная топология на $Y$ определяется ${\mathcal {G}}$ (и $b$) или ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ — это уникальная топология топологического векторного пространства (TVS) на $Y$ для чего $$\left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}$$образует подбазис окрестностей в начале координат. Когда $Y$ наделен этим ${\mathcal {G}}$-топология, то она обозначается Y _{${\mathcal {G}}$}. Любая полярная топология обязательно локально выпукла . Когда ${\mathcal {G}}$ является ориентированным множеством относительно включения подмножества (т.е. если для всех $G,K\in {\mathcal {G}}$ существует какой-то $K\in {\mathcal {G}}$ такой, что $G\cup H\subseteq K$), то этот подбазис окрестности в точке 0 фактически образует базис окрестности в точке 0.

В следующей таблице перечислены некоторые наиболее важные полярные топологии.

Обозначение : Если $\Delta (X,Y,b)$ обозначает полярную топологию на $Y$ затем $Y$ наделенный этой топологией, будем обозначать $Y_{\Delta (Y,X,b)},$ $Y_{\Delta (Y,X)}$ или просто $Y_{\Delta }$ (например, для $\sigma (Y,X,b)$ у нас будет $\Delta =\sigma$ так что $Y_{\sigma (Y,X,b)},$ $Y_{\sigma (Y,X)}$ и $Y_{\sigma }$ все обозначают $Y$ наделен $\sigma (X,Y,b)$).

${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X$ («топология равномерной сходимости на...»)	Обозначения	Имя («топология...»)	Альтернативное название
конечные подмножества $X$ (или $\sigma (X,Y,b)$-замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств $X$)	$\sigma (X,Y,b)$ $s(X,Y,b)$	поточечная/простая сходимость	слабая/слабая* топология
$\sigma (X,Y,b)$-компакт- диски	$\tau (X,Y,b)$		Топология Макки
$\sigma (X,Y,b)$-компактные выпуклые подмножества	$\gamma (X,Y,b)$	компактная выпуклая сходимость
$\sigma (X,Y,b)$-компактные подмножества (или сбалансированный $\sigma (X,Y,b)$-компактные подмножества)	$c(X,Y,b)$	компактная конвергенция
$\sigma (X,Y,b)$-ограниченные подмножества	$b(X,Y,b)$ $\beta (X,Y,b)$	ограниченная сходимость	сильная топология Самая сильная полярная топология

Определения, связанные с полярными топологиями

Непрерывность

Линейная карта $F:X\to W$ является непрерывным по Макки (относительно $(X,Y,b)$ и $(W,Z,c)$) если $F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))$ является непрерывным.

Линейная карта $F:X\to W$ сильно непрерывен (относительно $(X,Y,b)$ и $(W,Z,c)$) если $F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))$ является непрерывным.

Ограниченные подмножества

Подмножество $X$ является слабо ограниченным (соответственно ограниченным по Макки , сильно ограниченным ), если оно ограничено в $(X,\sigma (X,Y,b))$ (соответственно ограничено $(X,\tau (X,Y,b)),$ ограниченный $(X,\beta (X,Y,b))$).

Топологии, совместимые с парой

Если $(X,Y,b)$ это спаривание окончено $\mathbb {K}$ и ${\mathcal {T}}$ представляет собой векторную топологию на $X$ затем ${\mathcal {T}}$ является топологией спаривания и что она совместима (или непротиворечива ) с спариванием $(X,Y,b)$ если оно локально выпукло и если непрерывное двойственное пространство к $\left(X,{\mathcal {T}}\right)=b(\,\cdot \,,Y).$ Если $X$ различает точки $Y$ затем, определив $Y$ как векторное подпространство $X$алгебраически двойственное, определяющим условием становится: $\left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.$ Некоторые авторы (например, [Trèves 2006] и [Schaefer 1999]) требуют, чтобы топология пары также была Хаусдорфовой, что это должно было бы быть, если бы $Y$ различает точки $X$ (что предполагают эти авторы).

Слабая топология $\sigma (X,Y,b)$ совместим с сопряжением $(X,Y,b)$ (как было показано в теореме о слабом представлении), и на самом деле это самая слабая такая топология. Существует самая сильная топология, совместимая с этим парным соединением, и это топология Макки . Если $N$ является нормированным пространством, не рефлексивным , то обычная топология нормы на его непрерывном двойственном пространстве несовместима с двойственностью $\left(N^{\prime },N\right).$

Теорема Макки – Аренса

Основные статьи: теорема Макки – Аренса , топология Макки и пространство Макки.

Ниже приводится одна из наиболее важных теорем теории двойственности.

Теорема Макки–Аренса I. - Позволять $(X,Y,b)$ будет такая пара, что $X$ различает точки $Y$ и пусть ${\mathcal {T}}$ быть локально выпуклой топологией на $X$ (не обязательно Хаусдорф). Затем ${\mathcal {T}}$ совместим с сопряжением $(X,Y,b)$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {T}}$ — полярная топология, определяемая некоторым набором ${\mathcal {G}}$ из $\sigma (Y,X,b)$-компактные диски с обложками $Y.$

Отсюда следует, что топология Макки $\tau (X,Y,b),$ отзыв которого представляет собой полярную топологию, порожденную всеми $\sigma (X,Y,b)$-компактные диски в $Y,$ является сильнейшей локально выпуклой топологией на $X$ который совместим с сопряжением $(X,Y,b).$ Локально выпуклое пространство, заданная топология которого идентична топологии Макки, называется пространством Макки . Следующее следствие приведенной выше теоремы Макки-Аренса также называют теоремой Макки-Аренса.

Теорема Макки – Аренса II. - Позволять $(X,Y,b)$ будет такая пара, что $X$ различает точки $Y$ и пусть ${\mathcal {T}}$ быть локально выпуклой топологией на $X.$ Затем ${\mathcal {T}}$ совместимо с спариванием тогда и только тогда, когда $\sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b).$

Теорема Макки, бочки и замкнутые выпуклые множества

Если $X$ это ТВС (более $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$) то полупространство есть множество вида $\{x\in X:f(x)\leq r\}$ для какого-то настоящего $r$ и некоторый непрерывный действительный линейный функционал $f$ на $X.$

Теорема — Если $X$ — локально выпуклое пространство (над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$) и если $C$ является непустым замкнутым и выпуклым подмножеством $X,$ затем $C$ равно пересечению всех замкнутых полупространств, содержащих его.

Из приведенной выше теоремы следует, что замкнутое и выпуклое подмножества локально выпуклого пространства полностью зависят от непрерывного дуального пространства. Следовательно, замкнутое и выпуклое подмножества одинаковы в любой топологии, совместимой с двойственностью, т. е. если ${\mathcal {T}}$ и ${\mathcal {L}}$ существуют ли локально выпуклые топологии на $X$ с теми же непрерывными дуальными пространствами, то выпуклое подмножество $X$ закрыто в ${\mathcal {T}}$ топология тогда и только тогда, когда она замкнута в ${\mathcal {L}}$ топология. Это подразумевает, что ${\mathcal {T}}$-замыкание любого выпуклого подмножества $X$ равен своему ${\mathcal {L}}$-закрытие и это для любого ${\mathcal {T}}$-закрытый диск $A$ в $X,$ $A=A^{\circ \circ }.$ В частности, если $B$ является подмножеством $X$ затем $B$ это бочка в $(X,{\mathcal {L}})$ тогда и только тогда, когда это бочка $(X,{\mathcal {L}}).$

Следующая теорема показывает, что бочки (т.е. замкнутые поглощающие диски ) являются в точности полярами слабо ограниченных подмножеств.

Теорема - Позволять $(X,Y,b)$ будет такая пара, что $X$ различает точки $Y$ и пусть ${\mathcal {T}}$ быть топологией пары. Тогда подмножество $X$ это бочка в $X$ тогда и только тогда, когда оно равно поляру некоторого $\sigma (Y,X,b)$-ограниченное подмножество $Y.$

Если $X$ является топологическим векторным пространством, тогда:

1. Закрытый поглощающий и сбалансированный подмножество. $B$ из $X$ поглощает каждое выпуклое компактное подмножество $X$ (т.е. существует реальный $r>0$ такой, что $rB$ содержит этот набор).
2. Если $X$ является Хаусдорфом и локально выпуклым, то каждый бочонок в $X$ поглощает каждое выпуклое ограниченное полное подмножество $X.$

Все это приводит к теореме Макки, которая является одной из центральных теорем теории дуальных систем. Короче говоря, он утверждает, что ограниченные подмножества одинаковы для любых двух хаусдорфовых локально выпуклых топологий, совместимых с одной и той же двойственностью.

Теорема Макки — Предположим, что $(X,{\mathcal {L}})$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством с непрерывным двойственным пространством $X^{\prime }$ и рассмотрим каноническую двойственность $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .$ Если ${\mathcal {L}}$ есть ли топология на $X$ что совместимо с двойственностью $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$ на $X$ тогда ограниченные подмножества $(X,{\mathcal {L}})$ такие же, как ограниченные подмножества $(X,{\mathcal {L}}).$

Пространство конечных последовательностей

Позволять $X$ обозначаем пространство всех последовательностей скаляров $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ такой, что $r_{i}=0$ для всех достаточно больших $i.$ Позволять $Y=X$ и определим билинейную карту $b:X\times X\to \mathbb {K}$ к $$b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.$$ Затем $\sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b).$ Более того, подмножество $T\subseteq X$ является $\sigma (X,X,b)$-ограниченный (отв. $\beta (X,X,b)$-ограниченный) тогда и только тогда, когда существует последовательность $m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ положительных действительных чисел таких, что $\left|t_{i}\right|\leq m_{i}$ для всех $t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T$ и все индексы $i$ (соответственно и $m_{\bullet }\in X$).

Отсюда следует, что существуют слабо ограниченные (т. е. $\sigma (X,X,b)$-ограниченные) подмножества $X$ которые не являются сильно ограниченными (т.е. не $\beta (X,X,b)$-ограниченный).

См. также

• Бета-двойственное пространство
• Биортогональная система
• Двойное пространство - в математике векторное пространство линейных форм.
• Двойная топология
• Дуальность (математика) - общее понятие и действие в математике.
• Внутренний продукт – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• L-полувнутренний продукт - обобщение внутренних произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
• Пейринг – Билинейная карта по математике
• Полярное множество - подмножество всех точек, ограниченное некоторой заданной точкой двойственной пары (в дуальной паре).
• Полярная топология - топология дуального пространства равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных подмножеств.
• Редуктивная двойная пара
• Сильное двойственное пространство - непрерывное двойственное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.
• Сильная топология (полярная топология) . Непрерывное двойственное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Слабая топология - математический термин

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Майкл Рид и Барри Саймон, Методы современной математической физики, Том. 1, Функциональный анализ, Раздел III.3. Academic Press, Сан-Диего, 1980. ISBN   0-12-585050-6 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шмитт, Лотар М (1992). «Эквивариантная версия теоремы Хана – Банаха» . Хьюстон Дж. Математики . 18 : 429–447.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

Внешние ссылки

• Теория двойственности