Бета-двойственное пространство

В функциональном анализе и смежных областях математики бета -двойственное или β- двойственное пространство — это некоторое линейное подпространство алгебраически двойственного последовательностей пространства .

Определение

Для пространства последовательностей X β - двойственное пространство X определяется как

$X^{\beta }:=\left\{x\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\ :\ \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}{\text{ converges }}\quad \forall y\in X\right\}.$

Здесь, $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ так что $\mathbb {K}$ обозначает либо действительное, либо комплексное скалярное поле.

Если X — FK-пространство , то каждый y из X ^б определяет непрерывную линейную форму на X

$f_{y}(x):=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\qquad x\in X.$

Примеры

• $c_{0}^{\beta }=\ell ^{1}$
• $(\ell ^{1})^{\beta }=\ell ^{\infty }$
• $\omega ^{\beta }=\{0\}$

Характеристики

Бета-дуальное FK-пространство E является линейным подпространством непрерывного двойственного к E . Если E — пространство FK-AK , то бета-двойственное пространство линейно изоморфно непрерывному дуальному пространству.