Биполярная теорема

В математике — биполярная теорема это теорема функционального анализа , характеризующая биполярность (то есть поляру поляры) множества. В выпуклом анализе биполярная теорема относится к необходимым и достаточным условиям, при которых конус равен своему биполярному . Биполярную теорему можно рассматривать как частный случай теоремы Фенхеля – Моро .

Предварительные сведения

Основная статья: Полярный набор

Предположим, что $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством $X^{\prime }$ и пусть $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)$ для всех $x\in X$ и $x^{\prime }\in X^{\prime }.$ Выпуклая оболочка множества $A,$ обозначается $\operatorname {co} A,$ — наименьшее выпуклое множество, содержащее $A.$ Выпуклая сбалансированная оболочка набора $A$ — наименьшее выпуклое сбалансированное множество, содержащее $A.$

Поляра ​ подмножества $A\subseteq X$ определяется как: $$A^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.$$ в то время как преполяр подмножества $B\subseteq X^{\prime }$ является: $${}^{\circ }B:=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in B}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.$$Биполярное расстройство подмножества $A\subseteq X,$ часто обозначается $A^{\circ \circ }$ это набор $$A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in A^{\circ }}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.$$

Положение в функциональном анализе

Позволять $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ обозначим слабую топологию на $X$ (то есть самая слабая топология TVS на $A$ превращая все линейные функционалы в $X^{\prime }$ непрерывный).

Биполярная теорема : Биполярное расстройство подмножества $A\subseteq X$ равен $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$-замыкание выпуклой сбалансированной оболочки $A.$

Утверждение в выпуклом анализе

Биполярная теорема : Для любого непустого конуса $A$ в некотором линейном пространстве $X,$ биполярный набор $A^{\circ \circ }$ дается:

$$A^{\circ \circ }=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{ra:r\geq 0,a\in A\}).$$

Особый случай

Подмножество $C\subseteq X$ является непустым замкнутым выпуклым конусом тогда и только тогда, когда $C^{++}=C^{\circ \circ }=C$ когда $C^{++}=\left(C^{+}\right)^{+},$ где $A^{+}$ обозначает положительный двойственный конус множества $A.$Или, в более общем плане, если $C$ является непустым выпуклым конусом, то биполярный конус определяется формулой $$C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} C.$$

Связь с теоремой Фенхеля – Моро.

Позволять $$f(x):=\delta (x|C)={\begin{cases}0&x\in C\\\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$$ быть индикаторной функцией конуса $C.$Тогда выпуклое сопряжение , $$f^{*}(x^{*})=\delta \left(x^{*}|C^{\circ }\right)=\delta ^{*}\left(x^{*}|C\right)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle$$ является функцией поддержки для $C,$ и $f^{**}(x)=\delta (x|C^{\circ \circ }).$ Поэтому, $C=C^{\circ \circ }$ тогда и только тогда, когда $f=f^{**}.$

См. также

• Двойная система
• Теорема Фенхеля – Моро – Математическая теорема выпуклого анализа – Обобщение биполярной теоремы.
• Полярное множество - подмножество всех точек, ограниченное некоторой заданной точкой двойственной пары (в дуальной паре).

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .