Характеристическая функция (выпуклый анализ)

В области математики, известной как выпуклый анализ , характеристическая функция набора — это выпуклая функция , которая указывает на членство (или нечленство) данного элемента в этом наборе. Она похожа на обычную индикаторную функцию , и между ними можно свободно конвертировать, но характеристическая функция, определенная ниже, лучше подходит для методов выпуклого анализа.

Определение

Позволять $X$ быть множеством , и пусть $A$ быть подмножеством $X$ . Характеристическая функция $A$ это функция

\chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}

принимая значения в расширенной строке действительных чисел, определяемой

\chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}

Связь с индикаторной функцией

Позволять $\mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R}$ обозначим обычную индикаторную функцию:

\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A;\\0,&x\not \in A.\end{cases}}

Если принять конвенции, которые

для любого $a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ , $a+(+\infty )=+\infty$ и $a(+\infty )=+\infty$ , кроме $0(+\infty )=0$ ;
${\frac {1}{0}}=+\infty$ ; и
${\frac {1}{+\infty }}=0$ ;